i-截面几何性质-习题答案

习题

I −1 试求平面图形的形心位置。

解：由对称 m 3.0c =z m 357.02

.04.04.02.02.06.07

.02.04.04.04.02.01.02.06.0c =⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=y

解：m 093.04.01.01.03.005

.04.01.015.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=z

m 193.04

.01.01.03.03

.04.01.005.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=

y

I −2 试求平面图形的形心坐标。 解：

O

(c

(a

z

y O (b

l n n dz

z zdz z z l n l

n

2

10

0c

++==⎰⎰

()2

c

+=

-=⎰⎰n l dz

z ydy y l y n

l n l n

n

解：由对称 r z =c

πππ342

322223

2

2

2c r r

r r ydy y r y r

==-=⎰

I −3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。（图中C 为截面形心）

解：3

c **mm 24000302040=⨯⨯==y A S z

z

O

(d

(a)

(b)

解：3

c **mm 422505.322065=⨯⨯==y A S z

I −4 求以下截面对z 轴的惯性矩。（z 轴通过截面形心） 解：()

64

64

64

42414

24

1d d d d I z -=

-

=πππ

解：12

12124

2

414241a a a a I z -=-= I −5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 解：

4302bh y bdy h y I h

z =⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅=⎰

I −6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。

(a)

a (b)

C

d

解：

444m 3927.06422164211=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππd I z 由（I-2）知z 1、 z 0之间的距离π

34c r

y =

所以由 2c 01Ay I I z z += 得 4

2

22

c m 1098.0314213927.010=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-=-=ππAy I I z z

于是 4

2

22

m 30.331412

11098.00=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

⨯⨯+⨯⨯+

=+=ππAa I I z z I −7 在直径D =8a 的圆截面中，开了一个2a ×4a 的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴的和竖直形心轴的惯性矩I z 和I y 。

解：令圆截面的惯性矩为I 1，矩形孔的惯性矩为I 2

()()()a a

a a a a y 18928.0848042

222c =--⨯-⨯=ππ ()()()()42232242

19.18818928.0812*******.0464a a a a a a a a D I I I z z z =⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⨯+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=-=ππ ()43

4

2

13.19012

4264a a a D I I I y y y =⋅-=-=π I −8 正方形截面中开了一个直径d =100mm 的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算截面对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩I z 和I y 。

y c

y c

解：令正方形截面的惯性矩为I 1，半圆形孔的惯性矩为I 2

mm 31.28

100200350481000200222

2

c =⨯-

⨯⨯

⨯-

⨯=πππy ()4

822422421mm

10307.131.2350481005098831.220012200⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=-=ππππz z z I I I

484

421mm 10309.164

1002112200⨯=⨯⨯-=-=πy y y I I I

I −9 图示为由两个18a 号槽钢组成的组合截面，如欲使此截面对两个对称轴的惯性

矩相等，问两根槽钢的间距a 应为多少？

解：查型钢表可知 4cm 254012702=⨯=z I

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯=88.12

699.256.982a I y

由 y z I I = 得 cm 76.9=a

I −10 求图示截面的形心主轴的位置和形心主惯性矩。 解： mm 737.397010101205

70106010120C =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=z

mm 737.1970

101012045

7010510120C =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=

y

习题I −9图