)积分中值定理的推广和应用情形

积分中值定理的推广和应用
———积分中值定理的推广定理和应用情形
The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading and
Application
——Extension theorem of integral mean value theorem and its
application
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摘要
积分中值定理和微分中值定理在微积分学中有着重要的地位，微分中值定理是研究函数的有力工具，反映了导数的局部性和与函数的整体性之间的关系，而积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。

它是数学分析课程中定积分部分的一个基本定理之一。

积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,在之前的数学分析课程中我们已经学习了这两个定理的证明，但这两个定理的推广与应用尚未提及。

在这里，我讨论了积分第一中值定理和积分第二中值定并给出了这些定理的详细证明过程，并且给出了集中推广形式。

在积分中值定理的应用方面，我给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号等，并且通过列举例题，加以归纳总结，并且充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用。

The integral mean value theorem and the differential mean value theorem play an important role in the calculus.Differential mean value theorem is a powerful tool to study the function.It reflects the relation between the local property of the derivative and the integral of the function. And the integral mean value theorem plays a very important role in the proof of the mean value problem.It is one of the basic theorems of the definite integral part in the course of mathematical analysis.The integral mean value theorem includes the first mean value theorem of integrals and the second mean value theorem of integrals,we have learned the proof of the two theorems In the course of mathematical analysis.But the extension and application of these two theorems have not been mentioned yet.Here, I discuss the first mean value theorem of integrals and the second mean value of the integrals and give a detailed proof of these theorems and I give the form of centralized generalizations here.
In the application of the integral mean value theorem, I give some simple situations such as the estimation of the integral value, and the limit of the definite integral, the integral number and so on.And by citing examples,I summarized and fully reflect the integral mean value theorem in the application of learning problem solving exercises.
关键词：积分中值定理；推广；应用
Keyword:mean value theorem of integrals; extension; Application
1 引言
中值定理在数学分析中占有非常重要的地位，学好积分中值定理和微分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。

积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

本文将通过对积分中值定理的证明，给出了积分中值定理几种推广形式，同时给出了它们确定数列极限及函数极限等方面的应用,加深对这一定理的更深层次的理解。

2 积分中值定理的证明 2.1积分第一中值定理
定理1 若
()f x 在[],a b 上连续，则至少存在一点ξ
∈[],a b ，使得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
.
证 由于
()f x 在[],a b 上连续，因此存在最大值M
和最小值m .由
[](),,m f x M x a b ≤≤∈，
使用积分不等式性质得到
()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-⎰，
或
1()b
a m f x dx M
b a
≤≤-⎰. 再由连续函数的介值性，至少存在一点ξ
∈[],a b ，使得
1()()b
a f f x dx
b a
ξ=
-⎰， 即有
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
.
定理2 若
()f x 在[],a b 上连续，则至少存在一点ξ∈[],a b ，使得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
.
证 由于
()f x 在[],a b 上连续，从而()f x 在[],a b 上可积。

设其原函数为()F x ，则根据
原函数存在定理可知，()F x 在[],a b 上连续，且()F x 在[],a b 上可导，由拉格朗日中值
定理知存在一点ξ
∈(),a b 使得，
()()
'()F b F a F b a
ξ-=
-
则得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
.
显然定理2的结论要强于定理1的结论,所以将积分第一中值定理叙述成定理2的形式更好一些。

2.2积分第二中值定理
积分第二中值定理则比积分第一中值定理更为精细,下面我同样会给出积分第二中值定理与其证明。

定理3若()f x 在[],a b 上可积，()g x 在[],a b 上单调且在,a b 上连续，那么存在一
点ξ
∈[],a b ，使得()f x 在[],a b 上可积
()()()()()()b
b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ
=+⎰
⎰⎰. ()1
证 假设()g x 在[],a b 上单调减少且非负，将区间[]
,a b 分成几部分，即
012;n a x x x x b ∆
=<<=<=
而1(1,2,)k
k k x x x k n -∆=-=，记max{}k x λ=∆则：
[]1
10
1
()()lim ()(),,,k
k n
b
x k k k k a
x k f x g x dx g f x dx x x λξξ--→==∈∑⎰
⎰
由于()g x 在
[],a b 上单调减少且非负，即12()()()0n g g g ξξξ≥≥≥
1
1
inf
()()()sup ()k
k n
x
x x
k a
x a
a x
b a x b k f u du g f x dx f u du ξ-≤≤≤≤=≤≤∑⎰
⎰
⎰
根据阿贝尔引理有：
11()inf
()()()()sup ()x
b x
k k a
a
a
a x
b a x b g f u du f x g x dx g f u du ξξ≤≤≤≤≤≤⎰
⎰⎰
当0λ
→时，有1()()g g a ξ→即：
()inf
()()()()()sup x
b x
a
a
a
a x
b a x b
g a f u f x g x dx g a f u du ≤≤≤≤≤≤⎰
⎰⎰，
所以，当()
g x 0≠时有：()0g a =时成立的）
1inf
()()()()()sup x
b
x a
a a a x
b a x b
f u f x
g x dx f u du g a ≤≤≤≤≤
≤⎰
⎰⎰， 而当()0g a =时也成立。

由介质定理知连续函数()b
a
f u du ⎰
在[],a b 上某点ξ处取得上、下确界之间的中间值
即：
()()()()b
a
a
f x
g x dx g a f x dx ξ
=⎰
⎰（2）
令()
()()G x g x g b =-，由于()g x 单调减少且非负，由（2）得：
[][]()()()()()()()(),b
b a
a
a
f x G x dx f x
g x g b dx g a g b f x dx ξ
=-=-⎰
⎰⎰
即
[]()()()()()()()b
b a
a
a
f x G x dx
g b f x dx g a g b f x dx ξ
=+-⎰
⎰⎰
[]()()()(),,b
a
g a f x dx g b f x dx a b ξξ
ξ=+∈⎰⎰
如果()g x 在a,b 处不一定连续，则公式(1)可改写成：
()()(0)()(0)().b
b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ
=++-⎰
⎰⎰
如果()g x 在[],a b 上具有连续导数，()f
x 在[],a b 上连续则上述定理可用一个比较简
单的方法证明，在证明的过程中主要使用分布积分法和积分第一中值定理。

证 由于
()f x 在[],a b 连续，则()()x
a
F x f x =⎰为其原函数，现对()()b
a f x g x dx
⎰使用分布积分，其中令
()(),()()()()()(),b
b
a
a
u x g x v x F x f x g x dx g x dF x ===⎰⎰
对
()()b
a
F x dg x ⎰
使用积分第一中值定理()()()()b b
a
a
F x dg x F dg x ξ=⎰⎰，
所以
[]()()()()()()()b
b a
a
a
f x
g x dx g b f x dx g b g a f x dx ξ
=--⎰
⎰⎰
()()()()()b a a a g b f x dx f x dx g a f x dx ξξ
⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰
[]()()()(),,.b
a
g a f x dx g b f x dx a b ξξ
ξ=+∈⎰⎰
3积分中值定理的推广
3.1 积分第一中值定理的推广 定理4（定积分中值定理的推广）若
()f x 在闭区间[,]a b 上连续且单调，则在开区间
(,)a b 上存在唯一一点ξ
使得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰。

定理4是在加强了定理1和定理2的条件的基础上得到的。

证 利用微分中值定理来证明，令()()x
a
x f x dx ϕ=
⎰
，
因为()f x 在[,]a b 上连续，所以()x ϕ在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，而且
()x ϕ=()f x ，应用拉格朗日微分中值定理可得，在在(,)a b 内至少存在一点ξ
使
()()()()b a b a ϕϕϕξ-=-
即
()()()(),,b
a
a
a
f x dx f x dx f b a a b ξξ-=-<<⎰
⎰
亦即
()()(),.b
a
f x dx f b a a b ξξ=-<<⎰
定理5（定积分第一中值定理的推广）如果函数()f x 、()g x 在闭区间[,]a b 上可积，
且()g x 在[,]a b 上不变号,()f x 连续，则在积分区间(,)a b 上至少存在一个点ξ
，使下
式成立：
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰。

证 由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令
()()(),()()x x
a
a
F x f t g t dt
G x g t dt ==⎰⎰，很显然，()F x 和()G x 在[,]a b 上连续。

并且
()(),()0.()(),'()()(),'()()b
b
a
a
f t
g t dt G a G b g t dt F f g G g ξξξξξ====⎰
⎰由柯
西中值定理即可得到
()()'()
,(,)()()'()
F b F a F a b
G b G a G ξξξ-=∈-
即
()()()()
,()
()b
a
b
a
f t
g t dt
f g g g t dt
ξξξ=
⎰
⎰
()()()(),(,)b
b
a
a
f t
g t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰
⎰，
定理5即证。

注：定理5的逆命题为：若函数()f x 在[,]a b 上连续且严格单调，且()g x 在[,]a b 上可积且不变号，则任意的一点[],a b ξ∈，必存在[][],,a b αβ⊂，使得[],ξαβ∈，且满
足
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰
3.2积分第二中值定理的推广
定理6如果函数()g x 在闭区间[,]a b 上有界且L 可积，且()f x 在[,]a b 上单调，则
()()f x g x 也L 可积，且在积分区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式成立：
()()()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f a g x dx f b g x dx ξξ
=+⎰
⎰⎰。

证 因为()g x 在[,]a b 可积，()f x 在[,]a b 上单调，故()()f x g x 在[,]a b 有界且可
测，所以
()()f x g x 在[,]a b 上可积。

下证
()()()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f a g x dx f b g x dx ξ
ξ
=+⎰
⎰⎰。

（1）()g x 在[,]a b 上连续的情形。

令()()x
a
G x g t dt =
⎰
，则'()()G x g x =，因为()f x 在[,]a b 上单调，可知()f x 在
[,]a b 是有界变差的，故()()b a
g x df x ⎰存在，进而有
()()()()|()(),b
b
b a a
a
f x
g x dx f x G x G x df x =-⎰
⎰又由()G x 在[,]a b 上连续，，可得
()G x 在[,]a b 上有最值。

故可设
(),(),max min a x b
a x b
G x m G x M ≤≤≤≤==所以有
()()()()b
b b
a a
a
mdf x G x df x Mdf x ≤≤⎰⎰⎰，则存在[],a b ξ∈，
[]()()()()()b
a
G x df x G f b f a ξ=-⎰
，所以
[]()()()()()()()()()()()()b
b b
a
a
a
a
f x
g x dx f b g x dx f b f a f a g x dx f a f x dx f b g x dx
ξξξ
=--=+⎰
⎰⎰⎰⎰（2）()g x 在[,]a b 上有界且L 可积情形。

因为()g x 在[,]a b 上有界且L 可积，故()g x 是[,]a b 上的可测函数，所以对任意的
0δ>，存在闭集E 及[,]a b 上的连续函数~
()g x ，使得在E 上~
()()g x g x =，且
[](),\m a b E δ
<，对于任意的0ε>，取δ
及~
()g x 使得当[](),\m
a b E δ<时，
有
[
]~~,\()()()()()()b
a
a b E
f x
g x g x dx f x g x g x dx ε⎡⎤
⎡⎤
-=
-<⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
⎰
⎰，
[]~
~
,\()()()()b
a
a b E
g x g x dx g x g x dx ε
-=-<⎰
⎰
由（1）知：
~
()()()()()()b
a
a
a
f x
g x f a g x dx f b g x dx ξξ
--=⎰
⎰⎰
~~()()()()()()b a
f a
g x g x dx f b g x g x dx ξ
ξ⎡⎤⎡⎤
-+-≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰
⎰ ~
~
()
()()()
()()(()())b
a
f a
g x g x dx f b g x g x dx f a f b ξ
ξ
ε-+-≤+⎰
⎰，
所以，对于任意0ε>有
()()()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f a g x dx f b g x dx ξξ
--=⎰
⎰⎰
~~()()()()()()()()()b b b a
a a f x g x g x dx f x g x dx f a g x dx f
b g x dx ξξ⎡⎤
-+--≤
⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰⎰⎰(
)()()1f a f b ε++，
故
()()()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f a g x dx f b g x dx ξ
ξ
=+⎰
⎰⎰。

定理7 特别的：（1）函数
()f x 在[,]a b 上可积, ()g x 在[,]a b 上单调递减,且
()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使得：
()()()()b
a
a
f x
g x dx g a f x dx ξ
=⎰
⎰
（2）函数()f x 在[,]a b 上可积, ()g x 在[,]a b 上单调递增，且()0g x ≥，则
存在[],a b ξ∈
，使得：
()()()().
b
b
a
f x
g x dx g b f x dx ξ
=⎰
⎰
4积分中值定理的应用
因为积分中值定理可以使积分号去掉，简化问题，在数学问题的解决中有很大的应用性，我在这里归纳整理，挑选列出了一些运用积分中值定理解决的数学问题——估计积分值、求含有定积分的极限和确定积分符号，并且列举出一些典型例题和解法，来说明其应用性。

4.1运用积分中值定理估计积分值 例1：估计定积分3020.5sin x
dx x
+⎰
的积分值。

解：因为
111
20.520.5sin 20.5
x ≤≤++-，
所以
12
0.420.5sin 3
x ≤
≤+，
于是
30
1.2
2.20.5sin x
dx
x ππ≤≤+⎰
那么就可以估计出此定积分的积分值为
30
1.2
2.20.5sin x
dx
x
ππ≤≤+⎰
例2
：估计定积分
181
0⎰
解：根据积分第一中值定理的推广形式有
181
1
1800
x dx =
=
⎰
⎰
[]0,1ξ∈ 因为[]0,1ξ∈
1,≤≤ 那么可以得出
1.20≤≤ 所以该定积分的积分估计值为
1.20≤≤ 4.2求含有定积分的极限
例3：求1
4
0lim 1n
n x dx x →∞+⎰的极限。

解：根据积分中值定理可得
1
1
44
00
1
lim 11n n n x dx x dx x ξ→∞=++⎰⎰
1104411|,(01),11(1)(1)
n x n n ξξξ+⎛⎫==≤≤ ⎪++++⎝⎭ 那么
1
4401lim lim 01(1)(1)
n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++⎰
例4：求2
lim
sin n n xdx π
→∞⎰
的极限。

解：如果直接运用积分中值定理那么得到2
lim
sin sin 2
n n n xdx π
π
ξ→∞=
⎰。

但是因为02
π
ξ≤≤
而不能判定sin
0n
ξ→。

所以应进行下列计算：
2220
2lim sin sin sin n
n
n n xdx xdx xdx π
ππ
ε
πε
-→∞-=+⎰⎰⎰，其中ε为人意无穷小正数。

对第一个积分使用积分第一中值定理的推广形式，得到：
20
sin lim sin ,(0)222n n n xdx π
ε
πππεξξε-→∞⎛⎫
=-≤≤-< ⎪⎝⎭
⎰
；
对于第二个积分：
2
2
22
2
2sin sin .n n xdx x dx dx π
π
π
π
π
πε
ε
ε
ε---≤
≤=⎰
⎰
⎰
因为ε为人意无穷小正数，所以可得到积分的极限：
2220
2lim sin sin sin 0n
n
n n xdx xdx xdx π
π
π
ε
πε
-→∞-=+=⎰⎰⎰。

注：解决此类的数学问题的关键是运用积分中值定理去掉积分符号，在运用时，要注意中值ξ不仅由积分区间确定，还有限式中的自变量n 的趋近方式确定。

4.3确定积分符号 例5：确定积分3
53
x x e dx -⎰
的符号。

解：
3
3
3
3
555553
3
()()x
x
x
t
x x e dx x e dx x e dx t e d t x e dx ---=+=---+⎰
⎰⎰⎰⎰
3
3
550
t
x t e dt x e dx -=+⎰⎰
3
50
()x x x e e dx -=-⎰，
利用积分中值定理可得到：
3
553
3()0.x x e dx e e ξξξ--=-≥⎰
（其中03ξ≤≤）
又因为5x
x e 在[]3,3-上不恒等于0，所以可得到积分
3
53
0x x e dx ->⎰。

注：在解决确定积分符号的这类数学问题时，我们通常会把0作为上下限的中界点，然后把原积分写成以0为中界点的两个积分的和，如上题中的
30
3
3
3
--=+⎰⎰
⎰
，然后化成一
个积分的形式，最后再用积分中值定理确定积分的符号。

5结论
积分中值定理是数学分析中的一个基础定理，所起到的重要作用是可以使积分号去掉，简化问题。

当题目中还有函数积分，或者要求证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，就可以考虑使用积分中值定理去解决问题。

我们学习的数学分析课程中并没有提及积分中值定理的推广和应用，在这里，我对积分第一中值定理和积分第二中值定理的几种推广形式进行了列举和证明，并且列举了三种推广定理的运用情况——估计积分值、求积分的极限、确定积分符号，并且举例了5道例题给以具体的解答，对应用情形加以说明。

在应用方面，还有证明积分不等式和判断某些点的存在问题、判断收敛情况、证明函数单调性等等，在这里我不加以说明。

参考文献
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