材料力学——5梁的弯曲应力

荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的 惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。
（1）作弯矩图，
求最大弯矩
梁的弯矩图如图5-8b 所示， 由图知梁在固定端横截面上 的弯矩最大，其值为
M
max
ql 2 600012 3000 N m 2 2
1
§5－１ 纯弯曲
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力Q 内力 剪应力
弯矩M
正应力
2、研究方法 平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面
例如： P1
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
P2
纵向对称面
a A
P
P
B
a 纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩
(), 则 ();
1

C , y.
当 y 0时, 0； y ymax时, max . 与实验结果相符。
9
（2）应力分布规律
在线弹性范围内，应用胡克定律
y E E
y
(b)
对一定材料， E=C； 对一定截面，
1

C.
——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。 当 y 0时,
z y
FBY
FS 90KN
截面惯性矩
bh3 Iz 5.832 105 m 4 12
( )
M
()
x 90KN
max
M max ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
22
ql 2 / 8 67.5kNm
( )
x

67.5 10 3
61.7MPa （压应力）
20
( )
x
y
q=60KN/m
180
120
解
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
z y
2. C 截面最大正应力
C 截面弯矩
M C 60kNm
FBY
C 截面惯性矩
bh3 IZ 5.832 10 5 m 4 12
FS 90KN
( )
M
()
x 90KN
﹡简单截面的惯性矩
矩形截面
y I z y dA h y bdy b 2 3 A
2 h 2 2
h 3 2 h 2
bh 12
3
园形截面
14
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放：
z h
b
b h z´
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
M-图
1、研究对象：等直细长对称截面梁
2、前提: (a)小变形——在弹性变形范围内， (b)满足平面弯曲条件， （c）纯弯曲。 3、实验观察:
M M
M
横截面上 只有正应 力无剪应 力
凹边缩短
长度保持 不变的纵 向纤维
凸边伸长 纵向纤维间无挤压作用

6
中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。 中性轴——中性层与横截面的交线。
FAy 90kN FBy 90kN
( )
M
()
ql 2 / 8 67.5kN
x 90KN
M C 90 1 60 1 0.5 60kNm
bh3 IZ 5.832 10 5 m 4 12 180 60 10 3 ( 30) 10 3 M y 2 K C K IZ 5.832 10 5
3. 对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由剪应力 互等定理，在中性层上也同时有max作用，因而可能沿 中性层发生剪切破坏，所以需要校核其剪应力强度条件。
33
q=3.6kN/m
A Q B
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面
木梁如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力 之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
t ,max t
c,max c
26
例题
t 30 MPa , c 160 MPa, T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
试校核梁的强度。
分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 t ,max t , c,max c
M max （2）设计截面，即已知 M max , [ ],可由 Wz 确定 [ ]
截面的尺寸；
（3）求许可载荷，即已知 WZ , [ ], 可由 M max Wz [ ] 确定。
25
注意： • 变截面梁要综合考虑 M 与 I z • 脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
12
可得挠曲线的曲率方程：
M EI z
1
为常数，挠曲线 是一条圆弧线
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为 横截面上最大正应力为
My Iz
max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。 13
27
52
z1 z
解：（1）求截面形心
yc 80 20 10 120 20 80 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
80 203 Iz 80 20 422 12 201203 20120 282 12 7.64106 m 4
平放：
1 1 2 3 hb , Wz hb Iz 12 6
若h>b, 则
Wz Wz 。
15
d z
Iz

64
d 4,
Wz

32
d 3,
D
d z
Iz

64
(D d )
4 4

64
D4 (1 4 )
Wz

32
d ( ) D
D3 (1 4 )
19
385 106 Pa 385MPa
例 题
y q=60KN/m
120
wk.baidu.com
求: 1.C 截面上K点正应力
180
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
2.C 截面上最大正应力 3.全梁上最大正应力 30 4. C 截面的曲率半径ρ z (已知E=200GPa)
FBY
y
FS 90KN
解 1. 求支反力
变形后
ab o1o2 dx d ab ( y)d
8
所以纵向纤维ab的应变为:
ab ( y )d d yd y dx d ab
(a)
——横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。
曲率
1

(), 则 ();
曲率
1

危险截面位于梁根部
• 梁的最大正应力
梁的最大正应力发生在危 险截面上离中性轴最远处
max
M max WZ
24
弯曲正应力强度条件：
M max max [ ] Wz
Mmax WZ [σ]
梁内最大弯矩 危险截面抗弯截面模量
材料的许用应力
可解决三方面问题： （1）强度校核，即已知 M max , [ ],Wz , 检验梁是否安全；
y
28
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4kN.m
4 103 52103 t ,max 7.64106 27.2 106 Pa 27.2MPa t
4 103 88103 c,max 7.64106 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
29
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
c,max 46.1MPa c
4kN.m
（5）C截面要不要校核？
2.5 103 88103 t ,max 7.64106 28.8 106 Pa 28.8MPa t
纵向对称面 中性层
中性轴
4、平面截面假设——横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。
7
§5-2 梁的弯曲正应力
o
（1）变形分布规律
m
o1
n
o2
dx
d

y
变形后 y b
a´ b´
a m
n
——中性层o1o2的曲率半径， o——曲率中心， y——任意纵向纤维至中性层的距离 纵向纤维ab: 变形前
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
+ M
x
qL 3600 3 Qmax 5400 N 2 2
M max qL2 3600 32 4050Nm 8 8
34
qL2 8
q=3.6kN/m
求最大应力并校核强度
M max 6M max 6 4050 max 2 Wz bh 0.12 0.182
( )
M
2
()
x 90KN
C
EI Z MC
ql / 8 67.5kNm
( )
x
200 109 5.832 10 5 60 10 3 194.4m
23
§5-3 梁弯曲时的强度条件
梁的最大正应力
• 梁的危险截面
梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上
危险截面位于梁中部
16
注意：
（1）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布
的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力
最大。 （2）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正
负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来
确定。 （3）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。
17
例 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载
104.17MPa
M (已知E=200GPa) EI Z
y q=60KN/m x
180 120
1
解
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
4. C 截面曲率半径ρ C 截面弯矩
M C 60kNm
z y
FBY
C 截面惯性矩
bh3 IZ 5.832 10 5 m 4 12
FS 90KN
30
§5-4 弯曲时的切应力
1.矩形截面梁
2.工字形截面梁
3 FS max 2 A
腹板 : τ max
FS dh1
31
3.
圆形、圆环形截面梁
max
4 FS 3 A
FS max 2 A
32
梁的剪应力强度条件是： max
下列情况须进行剪应力强度校核：
1. 若梁较短或载荷很靠近支座，梁的最大弯矩Mmax可能 很小而最大剪力Fs,max却相对较大，如果据此时的Mmax 选择截面尺寸,就不一定能满足剪应力强度条件。 2. 对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度b相对于截面高 度很小时，横截面上可能产生较大的剪应力。
Cmax
M C ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
ql 2 / 8 67.5kNm

60 10 3
( )
x
92.55MPa
21
y
q=60KN/m
180
120
解
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
3. 全梁最大正应力 最大弯矩
M max 67.5kNm
A
ydA 0
E

Sz 0
因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。
11
考虑平衡条件

M dA dA
z x
M
z
M
M z A (dA) y

E 2 A y dA M
Iz
y A E dA
2
y
E Iz M
(e)
I z 为截面对中性轴的惯性矩。
0；
应力为零的点的连线。 M
y ymax时, max .
与实验结果相符。
10
（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式

M dA
z(中性轴) M x
由
F 0得 dA =0
x
A
dA

将(b)式代入，得
y(对称轴)

Sz 0
A
E
y

dA 0
(c)
E


没有剪力时，该段梁的变
形称为纯弯曲。如AB段。
横力 F 弯曲 a F (+)
纯弯曲
F
横力 弯曲 纯弯曲——梁弯曲变形时，
F
L
a
横截面上只有弯矩而无剪
F
力（ M 0, FS 0
例:火车轮轴
）。
Fa
FS 图
-F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上既有弯矩又

5
(+)
有剪力（ M 0, FS 0 ）。
18
（2）求最大应力
因危险截面上的弯 矩为负，故截面上缘受 最大拉应力，其值为
T max
M max 3000 y1 0.0152 8 Iz 25.6 10
178 106 Pa 178MPa
在截面的下端受最大压应力，其值为
C max
M max 3000 y2 0.0328 8 Iz 25.6 10