抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧
函数得周期性:
1、定义在x∈R上得函数ｙ=f(ｘ),满足f(x+a)=f(ｘ—a)(或f(x-2a)＝f(x))(ａ＞０)恒成立,则y＝f(ｘ)就是周期为2ａ得周期函数;
２、若y=ｆ(x)得图像关于直线x＝ａ与x=ｂ对称,则函数ｙ=f(x)就是周期为２｜a-ｂ｜得周期函数;
３、若y=ｆ(x)得图像关于点(ａ,０)与(b,0)对称,则函数ｙ=f(x)就是周期为２｜ａ—b｜得周期函数;
4、若y=f(x)得图像有一个对称中心A(a,0)与一条对称轴ｘ=b(a≠b),则函数ｙ＝ｆ(x)就是周期为４｜ａ-b|得周期函数;
5、若函数y=f(x)满足f(a+ｘ)=f(ａ-x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a;如果y=f(ｘ)为偶函数,则其周期为2a;
６、定义在x∈R上得函数ｙ＝f(ｘ),满足f(x+a)=—f(x),则y=ｆ(x)就是周期为2|a｜得周期函数;
7、若在x∈R恒成立,其中ａ>０,则ｙ＝f(x)就是周期为4ａ得周期函数;
8、若在ｘ∈R恒成立,其中a>０,则ｙ=f(x)就是周期为2a得周期函数。

(7、8应掌握具体推导方法,如7)
函数图像得对称性:
1、若函数y=ｆ(ｘ)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=ｆ(ｘ)得图像关于直线对称;
2、若函数ｙ=f(x)满足f(x)=ｆ(２a－x)或f(x＋a)=ｆ(a－x),则函数y＝f(x)得图像关于直线x=a对称;
３、若函数ｙ＝f(x)满足f(a+x)＋f(ｂ-x)=c,则y＝f(x)得图像关于点成中心对称图形;
4、曲线f(x,y)=0关于点(a,ｂ)得对称曲线得方程为f(2a-x,2b—y)=0;
５、形如得图像就是双曲线,由常数分离法
知:对称中心就是点;
6、设函数y=ｆ(x)定义在实数集上,则y=f(x+ａ)与y=f(b-x)得图像关于直线对称;
7、若函数y=f(ｘ)有反函数,则y=f(a+x)与ｙ=f -１(ｘ＋a)得图像关于直线y=x+a对称。

一、换元法换元法包括显性换元法与隐性换元法,它就是解答抽象函数问题得基本方法。

例1. 已知f(1+sinx)=２+siｎx+ｃoｓ２x, 求ｆ(x)
二、方程组法运用方程组通过消参、消元得途径也可以解决有关抽象函数得问题。

例2..23
2|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设 三、待定系数法
如果抽象函数得类型就是确定得,则可用待定系数法来解答有关抽象函数得问题。

例3、已知f(ｘ)就是二次函数,且ｆ(x ＋１)+f(ｘ－1)=2ｘ2—4ｘ,求f(x)、
四、赋值法
有些抽象函数得性质就是用条件恒等式给出得,可通过赋特殊值法使问题得以解决。

例４。

对任意实数ｘ,y ,均满足f(x+ｙ2)=f(x)+2[ｆ(y)］2且f(1)≠0,则f(20０１)＝__＿＿___、
例5.已知f(x)就是定义在R 上得不恒为零得函数,且对于任意得实数a,b 都满足
f(ab)=ａf(b)+bf(a)。

(1)求f(0),f(１)得值;(2)判断ｆ(x)得奇偶性,并证明您得结论;
五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有得性质与函数得单调性等定义式建立联系,为问题得解决带来极大得方便、
例6、设函数f(x)对任意实数ｘ,y ,都有f(x+y)=f(x)+f(ｙ),若ｘ>0时f(ｘ)<0,且f(1)= —2,
求f(x)在[－3,3]上得最大值与最小值。

例７.定义在R +上得函数ｆ(x)满足: ①对任意实数m ,f(x m )=mf(x); ②ｆ(2)=１。

(１)求证:f(xy)=ｆ(ｘ)＋f(y)对任意正数ｘ,ｙ都成立;
(2)证明ｆ(x)就是R +上得单调增函数;
(3)若f(ｘ)＋f(x—3)≤２,求x 得取值范围。

六、递推法 对于定义在正整数集N ＊上得抽象函数,用递推法来探究,如果给出得关系式具有递推性,也常用递推法来求解.
例8.已知ｆ(ｘ)就是定义在R 上得函数,f(1)=1,且对任意x ∈R 都有ｆ(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤ｆ(x)＋1。

若g(ｘ)＝f(ｘ)+1－ｘ,则g(2０02)=____＿＿___.
模型法
模型法就是指通过对题目得特征进行观察、分析、类比与联想,寻找具体得函数模型,再由具体函数模型得图象与性质来指导我们解决抽象函数问题得方法。

应掌握下面常见得特殊模型:
个根之与=＿_＿__________
例11.设定义在R上得函数f(x),满足当x〉0时,f(x)〉１,且对任意x,y∈R,有ｆ(x+y)＝f(x)f(y),f(1)=2
(1)解不等式ｆ(３x－ｘ2)〉4;(２)解方程［f(ｘ)]２+f(x＋3)=f(2)+1
例12、已知函数f(x)对任何正数x,ｙ都有f(ｘy)=f(x)f(y),且ｆ(x)≠0,当x＞1时,f(x)<1。

试判断f(ｘ)在(0,+∞)上得单调性,并说明理由。

函数性质练习
1、已知函数为偶函数,则得值就是( )
A.B、 C. D、
２。

若偶函数在上就是增函数,则下列关系式中成立得就是()
A。

B、
Ｃ。

D。

3、如果奇函数在区间上就是增函数且最大值为,那么在区间上就是( )
A. 增函数且最小值就是Ｂ。

增函数且最大值就是
C. 减函数且最大值就是
D. 减函数且最小值就是
4。

设就是定义在上得一个函数,则函数在上一定就是( )
A.奇函数
B. 偶函数C。

既就是奇函数又就是偶函数D。

非奇非偶函数
5、下列函数中,在区间上就是增函数得就是( )
A。

B。

C。

D。

6、函数就是( )
A.就是奇函数又就是减函数B、就是奇函数但不就是减函数
C。

就是减函数但不就是奇函数Ｄ、不就是奇函数也不就是减函数
7、设奇函数得定义域为,若当时,得图象如右图,则不等式得解就是
8. 函数得值域就是____＿_＿_＿＿____＿_、
9. 已知,则函数得值域就是、
10。

若函数就是偶函数,则得递减区间就是.
11、下列四个命题
(1)有意义;(2)函数就是其定义域到值域得映射;
(3)函数得图象就是一直线;(4)函数得图象就是抛物线,
其中正确得命题个数就是____＿___＿___、
１2、已知函数得定义域为,且同时满足下列条件:(1)就是奇函数;
(2)在定义域上单调递减;(3)求得取值范围.
抽象函数解题方法与技巧
函数得周期性:
1、定义在x∈Ｒ上得函数y=f(x),满足f(x＋a)＝f(x－a)(或f(x—2a)=f(x))(ａ>0)恒成立,则y=f(ｘ)就是周期为2a得周期函数;
2、若ｙ＝f(x)得图像关于直线x＝a与x=b对称,则函数y=f(x)就是周期为２｜a－b｜得周期函数;
3、若y=f(x)得图像关于点(a,0)与(b,０)对称,则函数y=f(x)就是周期为2|a—b｜得周期函数;
4、若y=f(x)得图像有一个对称中心A(ａ,0)与一条对称轴x＝ｂ(ａ≠b),则函数ｙ=f(x)就是周期为４|a-b｜得周期函数;
5、若函数y ＝f(x)满足f(ａ+x)=f(a -x),其中ａ>0,且如果ｙ＝ｆ(x)为奇函数,则其周期为4ａ;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a ;
6、定义在x ∈R 上得函数ｙ=ｆ(ｘ),满足f(x ＋a)=－f(x),则y=f(x)就是周期为２|a ｜得周期函数;
7、若在ｘ∈R 恒成立,其中a 〉0,则ｙ＝f(x)就是周期为４a 得周期函数;
8、若在ｘ∈R 恒成立,其中ａ>0,则y=f(x)就是周期为2ａ得周期函数。

(7、8应掌握具体推导方法,如7)
函数图像得对称性:
１、若函数ｙ=f(x)满足f(a ＋x)=f(b -x),则函数y=f(x)得图像关于直线对称;
2、若函数y=ｆ(x)满足ｆ(x)＝f(2a -ｘ)或ｆ(x ＋a)=ｆ(a —x),则函数y ＝f(ｘ)得图像关于直线x=a 对称;
3、若函数y=f(ｘ)满足ｆ(a ＋ｘ)+f(b -x)=c ,则y=f(ｘ)得图像关于点成中心对称图形;
４、曲线ｆ(x,y)=０关于点(a,b )得对称曲线得方程为f(2a －x,2b －y)=0;
5、形如得图像就是双曲线,由常数分离法
知:对称中心就是点;
６、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x ＋a)与y=f(b -x)得图像关于直线对称;
7、若函数ｙ=f(x)有反函数,则ｙ=ｆ(a+ｘ)与y=f -1(x+a)得图像关于直线y=ｘ+ａ对称。

二、换元法 换元法包括显性换元法与隐性换元法,它就是解答抽象函数问题得基本方法、
例2. 已知f(１+s ｉnx)=２+si ｎｘ+ｃo ｓ2x , 求f(ｘ)
解:令u=１+sin ｘ,则sinx ＝ｕ—1 (０≤u ≤2),则ｆ(u)＝-ｕ2＋3ｕ+１ (０≤u ≤２)
故f(x)=—x ２
+3x ＋１ (0≤x ≤2) 二、方程组法 运用方程组通过消参、消元得途径也可以解决有关抽象函数得问题。

例2、.23
2|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设 解:x
x x f x x f x f x x 323)(,1)(2)1(,1--==-联立方程组，得得代换用
三、待定系数法
如果抽象函数得类型就是确定得,则可用待定系数法来解答有关抽象函数得问题。

例3、已知f(ｘ)就是多项式函数,且ｆ(x+1)+ｆ(x－1)=２x2—４x,求f(x)、
解:由已知得f(x)就是二次多项式,设ｆ(x)=ax２+bx+c (a≠0)
代入f(x+１)=a(x+１)2+b(x+1)+c=ａｘ2＋(2ａ＋b)ｘ＋a＋b＋c
f(ｘ-1)= a(x-１)2+ｂ(ｘ—1)+c=ax２＋(b-2a)x+a-b+c
∴f(x+１)+ f(ｘ－1)=2ａx2+2bx+2a+２c=2x2－４x
比较系数得:ａ=１,b＝—2,c= －１, f(x)=x2—2x-1、
四、赋值法
有些抽象函数得性质就是用条件恒等式给出得,可通过赋特殊值法使问题得以解决。

例4。

对任意实数x,y,均满足f(x+ｙ2)=f(x)+2[f(ｙ)］2且ｆ(1)≠0,则ｆ(２0０１)=______＿.
解:令ｘ=y=0,得:f(0)=0,令x＝0,y＝1,得f(0+12)=f(0)＋2f[(1)]２,
∵ｆ(1)≠０∴f(1)= 、令x=ｎ,y=1,得f(ｎ+1)=f(n)＋2[f(1)]2=f(n)+
即ｆ(ｎ＋1)－f(n)=,故ｆ(ｎ)= ,f(２00１)=
例5.已知f(x)就是定义在Ｒ上得不恒为零得函数,且对于任意得实数a,b都满足
f(aｂ)＝aｆ(b)+bf(a)、(1)求ｆ(0),f(1)得值;(2)判断f(x)得奇偶性,并证明您得结论;
(３)若f(２)=2,u n=ｆ(2n)(n∈N＊),求证:u n+1>u n(n∈Ｎ＊).
解:(1)令a=b=０,得f(0)=0,令a=ｂ=1,得f(１)=０、
(2)f(x)就是奇函数。

因为:令ａ=b=-1,得ｆ[(—1)(—1)］=-f(-1)—f(—1),ｆ(－1)=0,
故ｆ(-x)=f［(-1)(ｘ)］=-f(ｘ)+xf(-1)=—f(ｘ),故ｆ(x)为奇函数.
(3)先用数学归纳法证明:ｕn=ｆ(2n)>0(n∈N*)(略)
五、转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有得性质与函数得单调性等定义式建立联系,为问题得解决带来极大得方便。

例６.设函数ｆ(x)对任意实数x,y,都有f(ｘ+y)=f(x)＋f(y),若x>0时f(ｘ)＜０,且f(1)=-２,求f(ｘ)
在［-3,３］上得最大值与最小值。

解:令x=y=０,得f(0)＝0,令y=-x,得f(－x)+f(x)=ｆ(０)=０,即ｆ(x)为奇函数、
设x１＜ｘ２,则x2－ｘ1>0,由已知得f(x2—x1)<0,故f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2—x1)＋f(x1)<f(x１)
所以f(ｘ)就是Ｒ上得减函数,又ｆ(3)=f(1)＋f(2)＝３f(1)=—6,f(－３)=6
故f(x)在[—3,３]上得最大值为６,最小值为—6.
例7。

定义在R+上得函数f(x)满足: ①对任意实数ｍ,ｆ(ｘｍ)＝ｍf(ｘ); ②ｆ(2)=１、
(１)求证:f(xｙ)＝ｆ(x)＋f(y)对任意正数x,y都成立;
(2)证明f(x)就是R+上得单调增函数;
(３)若f(x)+ｆ(x-３)≤2,求x得取值范围、
解:(１)令x＝2ｍ,y＝２n,其中m,n为实数,则f(ｘy)=f(2m＋n)＝(m+n)f(2)＝m+n、
又f(x)+f(ｙ)=ｆ(２ｍ)+f(2ｎ)=ｍf(2)＋ｎｆ(2)=ｍ+n,所以f(ｘy)=f(x)+f(ｙ)
(2)证明:设０<x1<x2,可令m〈ｎ且使x1=2ｍ,x2=2n
由(1)得f(x1)-f(x2)==f(2m-n)=(m-n)ｆ(２)=ｍ—n〈０
故ｆ(x1)＜f(x2),即f(x)就是R+上得增函数。

(3)由f(x)+f(x－3)≤２及f(ｘ)得性质,得f［ｘ(x—3)］≤2f(２)=f(4)
解得3〈x≤4。

六、递推法对于定义在正整数集N*上得抽象函数,用递推法来探究,如果给出得关系式具有递推性,也常用递推法来求解.
例8.已知ｆ(x)就是定义在R上得函数,f(１)＝1,且对任意x∈R都有ｆ(x＋5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1、若g(x)=ｆ(x)+１—x,则g(２0０２)=______＿＿_、
解:由ｆ(x＋1)≤f(x)＋１得f(x+5)≤f(x+4)＋1≤f(ｘ＋３)+2≤ｆ(x+2)+3≤ｆ(x+1)+4
又∵ｆ(ｘ＋５)≥f(x)+５∴f(x)+５≤f(x＋1)＋4 ∴f(x)+１≤f(ｘ+1)
又∵ｆ(x+1)≤f(x)＋1 ∴f(x＋1)=f(x)+1
又∵f(1)=１∴f(x)=x g(x)=f(ｘ)+1-x＝1,故g(２002)＝１。

模型法
模型法就是指通过对题目得特征进行观察、分析、类比与联想,寻找具体得函数模型,再由具体函数模型得图象与性质来指导我们解决抽象函数问题得方法。

应掌握下面常见得特殊模型:
,则这５个根之与=_________＿＿＿＿
分析:因为函数f(ｘ)恒满足f(2+x)= ｆ(2-x),方程ｆ(x)=0有5个实根,可以将该函数瞧成就是类似于二次函数y＝k(x-2)2为模型引出解题思路,即函数得对称轴就是ｘ=2,并且函数在f(2)＝０,其余得四个实数根关于x=2对称
解:因为实数集上得函数f(x)恒满足ｆ(2＋ｘ)= ｆ(2—x),方程f(x)=0有5个实根,所以函数关于直线ｘ=2对称,所以方程得五个实数根也关于直线x=2对称,其中有一个实数根为2,其它四个实数根位于直线x=2两侧,关于直线x=２对称,则这5个根之与为10。

例11.设定义在R上得函数f(x),满足当ｘ>0时,ｆ(ｘ)>1,且对任意x,y∈R,有ｆ(x+y)=ｆ(ｘ)ｆ(y),f(1)＝2 (１)解不等式f(3x－x2)〉4;(２)解方程[f(x)]2+f(x+3)=f(2)+1
分析:可联想指数函数ｆ(ｘ)＝a x。

解:(1)先证f(x)〉0,且单调递增,因为f(x)=ｆ(x+０)=f(ｘ)f(0),x>０时f(x)〉1,所以f(０)=１
对于任意x〈0,则－ｘ＞0,f(x)f(－x)＝ｆ(x－x)=f(0)=1,∴f(x)=
∵—x>0,ｆ(—x)＞1∴0〈f(x)<１综上所述f(x)＞0
任取x1,x2∈R且x1〈x2,则x2-x1>0,ｆ(x２—x1)>1,
所以ｆ(x１)—f(x2)=ｆ［(x2—x1)+x１］—f(x1)=f(x2-x１)f(x1)—f(x1)＝f(x1)[ｆ(x2—x１)－1］〉0
所以ｘ∈R时,f(x)为增函数。

不等式ｆ(3x—ｘ２)>4可化为3x—ｘ２〉２解得:｛x｜1<x<2｝
(２)f(1)＝2,f(2)=4,f(3)=８,原方程可化为:［f(x)]2+4ｆ(x)-５=0,解得f(x)=1或ｆ(x)=—5(舍)
由(1)得x=0。

例12.已知函数f(x)对任何正数x,y都有ｆ(xｙ)=ｆ(x)ｆ(y),且f(ｘ)≠0,当x〉1时,f(x)〈１。

试判断f(x)在(０,+∞)上得单调性,并说明理由、
分析:可联想幂函数f(ｘ)=ｘn?
解:对x∈R+,有f(x)=,又f(x)≠0,故f(x)〉0
设x1,ｘ2∈R＋,且x1〈x2,则,则
所以f(ｘ1)>f(x2),故f(x)在R＋上为减函数。

函数性质答案
1。

Ｂ奇次项系数为2。

D
３、 A 奇函数关于原点对称,左右两边有相同得单调性
4、A
5。

Ａ在上递减,在上递减,在上递减,
6。

A
为奇函数,而为减函数、
7. 奇函数关于原点对称,补足左边得图象
8、就是得增函数,当时,
９、该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小;自变量最大时,函数值最大
1０.
１1。

(1),不存在;(2)函数就是特殊得映射;(3)该图象就是由
离散得点组成得;(4)两个不同得抛物线得两部分组成得,不就是抛物线。

12. 解:,则,。