3.2勾股定理的“无字证明”

· 勾股定理的“无字证明”

·教学目标

知识目标: 了解勾股定理的“无字证明”法，能通过拼图并根据面积等验证勾股定。 能力目标: 通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力。 情感目标: 让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手

操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得成功和克服困难的经验，培

养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心。

· 教学重点: 了解勾股定理的“无字证明”法，分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的

方法。

·教学难点: 通过拼图，探求验证勾股定理的“无字证明”法。

·教学方法: 启发、合作交流和直观演示。

·教学过程:

（一）创设情境，引入新课

在精彩的几何学世界中，有着无数条定理，毕达哥拉斯定理（勾股定理）是其中最耀眼的一个。毕达哥拉斯定理被发现到至今已有五千多年的历史了，其证明方法至少有370多种，其中包括大物理学家爱因斯坦和大画家达•芬奇及美国总统詹姆士••阿•加菲尔德（James Abram Garfield,1831–1881）的证法.这真是科学史上的一大奇迹！它是人类科学发现中的一条基本定理，对科技的进步起了不可估量的作用。

在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的勾股定理：

整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的４个直角三角形的面积之和，即为

(a+b)

2=c 2+4（2

1ab ）, 由此可以推出勾股定理

a 2+

b 2=

c 2。

注意：这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无

字证明”。

对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形．昨天已布置同学们，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种相应的资料，现在我们进行交流。

（二） 自主探索、合作交流

方法二： 整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边

上的４个直角三角形的面积之和，即为

(a-b)

2 + 4（21ab ）=c 2, 由此可以推出勾股定理

a 2+

b 2=

c 2．

方法三：美国总统詹姆士••阿•加菲尔德的证法

如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A=90 ,E 是AB 上一

点,AE=BC=a,EB=AD=b ，

梯形的面积S ABCD =S △AED +S △EBC +S △DCE 而S ABCD =

21⨯（BC+AD ）⨯AB=2

1⨯(a+b)⨯(a+b) S △AED =21⨯AE ⨯AD=2

1⨯a ⨯b S △EBC =21⨯EB ⨯BC=2

1⨯a ⨯b S △DCE =21⨯DE ⨯EC=2

1⨯c 2 于是21⨯(a+b)⨯(a+b) =2

1⨯a ⨯b+21 ⨯a ⨯b+21⨯c 2 化简成：a 2+2⨯a ⨯b+b 2=2⨯a ⨯b+ c 2 即：a 2+b 2= c 2,由此证明了毕达哥拉斯定理。

方法四：刘徽的“出入相补法” 约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算

术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理. 如图，证明

时不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的

勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被

称为最美的“无字证明”法。

（三）自我评价、形成知识

我最大的收获 ；

我表现较好的方面 ；

我学会了哪些知识 ；

我还有哪些疑惑 。

c b a c b a C D A B

E