1线性规划的标准化及图解法

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线性规划的标准形式
可以看出，线性规划的标准形式有 如下四个特点：目标最大化、约束为等式、 决策变量均非负、右端项非负。 对于各种非标准形式的线性规划问题， 我们总可以通过以下变换，将其转化 为标准形式:
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将线性规划化成标准形式
1.若目标函数求极小：
但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相 同，但他们最优解的目标函数值 却相差一个符号，即 Min f ＝ - Max z
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将线性规划化成标准形式
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项必须每一个分 量非负。当某一个右端项为负时，如 bi<0，则把该约束两端同时乘以-1，得到： -ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
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将线性规划化成标准形式
例2.3：将以下线性规划问题转化为标准形式
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将线性规划化成标准形式
2、约束条件不是等式的问题：
设约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量 (称为松弛变量)xn+i ， xn+i ≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+ xn+i = bi
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将线性规划化成标准形式
问如何配制多少可使成本最小而又能满 足需要？
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线性规划的应用模型
• 设x1,x2,x3,x4是甲乙丙丁四种饲料的用量，则 要求维生素A的含量大于3，有 0.2x1+0.8x2+1.2x3+0.6x4 3 • 要求维生素B的含量大于5，有 0.8x1+0.3x2+0.9x3+0.7x4 5 • 要求维生素C的含量大于10，有 1.2x1+0.9x2+0.7x3+1.5x4 10 • 目标是成本最小，有 Min 5x1+6x2+6x3+7x4
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由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”, 其中 x2’≥0，x2”≥0 ； 于是，我们可以得到以下标准形式 的线性规划问题：
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线性规划的图解法
• 对两个决策变量的线性规划，可以利用几 何的方法来研究； • 观察线性规划的约束区域； • 观察线性规划的目标函数； • 观察线性规划的最优解；
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线性规划的应用模型
B1
B2
B3
A1
A2
50
60
60
110
70
160
如何调运，才可使总运费最小？
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于是得到如下的线性规划模型：
该问题可推广到m个产地，n个销地的运输 问题。
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线性规划的应用模型
某饲养场使用甲,乙,丙,丁四种饲料，每种饲料的 的维生素A，B，C含量及单位价格和所需的维生素 如下表，要求配制一个混合饲料，每单位混合饲料 的维生素A、B、C的需要量为3，5，10. 甲 A B C 单价 0.2 0.8 1.2 5 乙 0.8 0.3 0.9 6 丙 1.2 0.9 0.7 6 丁 0.6 0.7 1.5 7 需要量 3 5 10
线性规划
Linear Programming
线性规划模型与解的主要概念
线性规划的单纯形法
线性规划的对偶理论
线性规划应用——建模
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线性规划的应用
• 在人力，物力资源有限的条件下，如何安 排生产，达到最大收益？ • 如何用最少的人力，物力资源，完成给定 的任务。 • 许多管理上的问题可以用线性规划来求解。
利润函数600x1+400x2 2x1+3x2 ≤ 100 约束条件 4x1+2x2 ≤ 120
目标函数
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线性规划的数学问题
上述问题可写成如下的数学形式：
它是求目标函数的最大值，决策变量满足一定的 条件（约束条件）。
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线性规划的模型特点
• 这是一个典型的利润最大化的生产 计划问题。 • “Max”是英文单词“Maximize”的缩写， 含义为“最大化”； • “s.t.”是“subject to”的缩写，表示 “满足于……”。 • 上述模型的含义是：在给定条件限制下， 求使目标函数z达到最大的x1 ,x2 的取 值。
解：第一个约束引入松弛变量x4, 第二个约束引入剩余变量x5
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将线性规划化成标准形式
于是，我们可以得到以下标准形式的线性 规划问题：
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将线性规划化成标准形式
3. 变量无符号限制的问题：
在标准形式中，必须每一个变量均有非负 约束。当某一个变量xj没有非负约束时， 可以令 xj = xj’- xj” 其中 xj’≥0，xj”≥0 即用两个非负变量之差来表示一个无符号 限制的变量，当然xj的符号取决于xj’和xj” 的大小。
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线性规划的图解法
对于两个决策变量的线性规划可用作图 方法来求解。图解法求解线性规划问题的步 骤如下：
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线性规划的问题
• 某工厂生产两种型号的电机（记为A和B），每台A 型电机需用原料2个单位，4个工时，每台B型电机 需用原料3个单位，2个工时，工厂共有原料100个 单位，120个工时，A、B型电机的每台利润分别为 600元和400元，问两种电机各生产多少可使利润 最大？
设A、B型电机各生产x1,x2台，x1,x2称为决策变量。
当约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi 时，类似地引入变量xn+i (称为剩余变量) xn+i≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-xn+i = bi
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将线性规划化成标准形式
例 2. ：将以下线性规划问题转化为标 准形式
第一个约束加松弛变量x5,第二约束加剩余变量x6, 第三个约束两端乘-1，再加剩余变量x7.
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将线性规划化成标准形式
解：首先，目标函数是极小化 , 将它化成 求最大。其次考虑3个不等式约束： 第一个约束加松弛变量x5, 2x1-3x2+5x3+6x4+x5= 28 第二约束加剩余变量x6, 4x1+2x2+3x3-9x4–x6= 39 第三个约束两端乘-1，再加剩余变量x7 -6x2- 2x3-3x4-x7= 58
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线性规划的应用模型
于是可得如下的线性规划的模型：
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线性规划的一般形式
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线性规划的数学结构
• • • • 它是求一个函数最大值或最小值问题; 这个函数称为目标函数; 这个目标函数是线性函数; 这个目标函数可以认为定义在一个特定 的区域上. • 这个区域是由一组线性不等式所确定.
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பைடு நூலகம்
线性规划的标准形式