定积分的应用
定积分的简单应用 课件
1．利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图 象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在 x 轴上方与下方 的部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数 和，求出面积．
bF(x)dx
＝a移动到x＝b.则变力F(x)作的功W＝
a
.
不分割型平面图形的面积的求解 如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为 一个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分 求出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线 和抛物线的交点的横坐标．
2．变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v
bv(t)dt
＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝
a
.
3．变力做功 一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体
沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所作的功为W＝Fs.
如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x
[解析] 解方程组yy＝ ＝x2x2，， 得x1＝0，x2＝2. 故所求图形的面积为
S＝22xdx－2x2dx＝x202
－13x3 20
＝43.
0
0
分割型平面图形面积的求解
求由曲线y＝
x
，y＝2－x，y＝－
1 3
x所围成图形
的面积．
[分析] 画出三条曲(直)线，求出交点坐标，将平面图形按
交点分割成可求积分的几部分再求解．
例谈定积分的应用
例谈定积分的应用
定积分是利用积分技术来搭建企业系统的一种服务方式，通过定积分，企业可以解决营销，客户追踪，价格管理，订单跟踪等问题，让企业
既有资源利用效率，又能惠及消费者。
一、定积分的应用
1、促销活动：利用定积分可以创建各种丰富多彩的促销活动，满减、
团购、买赠、金币锁定等，激励消费者购买和积累积分。
2、客户管理：定积分能够建立细致复杂的客户档案，包括客户经理内容，购买次数，消费金额，积分余额等，更好地进行客户管理。
3、价格管理：通过定积分，可以根据不同客户的特征，设置特定的价格，比如会员价，大客户价等，更好地提高定价精确度和竞争力。
4、订单追踪：定积分的订单追踪系统可以记录客户的订单信息，有利
于企业更好地追溯客户信息以及及时为客户提供优质服务。
二、定积分的优势
1、可靠性：定积分系统可以提供可靠性能，降低前端和后端系统出现
的异常和故障，防止客户和企业受到损害。
2、安全性：定积分的安全性也得到有效保障，内部数据交换完全采用
加密技术，保证信息不受外部干涉。
3、兼容性：定积分具有可行性和兼容性，它可以按照各种不同环境定
制与企业系统相协调的服务，能够提供企业最适合的解决方案。
4、易用性：定积分使用界面简洁明了，业务流程简单可靠，容易上手，操作简单易懂，为客户提供更贴心的服务。
三、总结
定积分的引入为企业的经营活动带来了更多的便利，有效提高了企业
的经营效率，也让消费者能够从消费上受到更多的好处。
由此可见，
定积分不仅是企业的一种低成本的服务方式，也是一个更加有效的、
更加充分的消费积分服务体系，为企业和消费者都更好地搭建企业系统。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用定积分是微积分中的重要内容，它在物理及其他领域的应用也非常广泛。
在物理学中，定积分被用来描述物体的质量、位置、速度和加速度等物理量。
在工程、经济学和生物学等领域，定积分也有着重要的应用。
本文将重点讨论定积分在物理及其他领域的具体应用。
我们来看一下定积分在物理学中的应用。
在牛顿的运动定律中，质点的位移与质点的速度成正比。
如果我们要求一个质点在某段时间内的位移，我们就需要对质点的速度进行定积分。
即位移等于速度对时间的定积分。
通过定积分，我们可以得到在某段时间内物体的实际位移。
接着，定积分还可以用来求解力的做功。
在物理学中，力对物体做功可表示为力在位移方向上的分量乘以位移。
通过对力在位移方向上的分量进行定积分，我们可以求得力对物体所做的总功。
这在热力学和动力学的研究中非常重要。
定积分还可以用来描述物体的质心位置。
质心是一个物体所有质点的平均位置，其坐标可以通过对物体的质量分布进行定积分来求解。
定积分可以用来计算物体在不同形状和密度分布下的质心位置。
这对于物体的平衡和运动学特性的分析非常重要。
除了物理学，定积分在工程中的应用也非常广泛。
在建筑工程中，定积分可以用来计算墙体的承重能力，来确定弯曲蒙皮板的形状，以及计算电梯的负载能力等。
在土木工程中，定积分可以用来计算建筑物的重力中心位置，来确定建筑物的结构设计。
在电子工程中，定积分可以用来描述电路中的电流、电压和功率等物理量的变化。
通过对电路中电压或电流随时间的变化进行定积分，我们可以得到电路中的能量变化情况。
这对于电路设计和能源管理非常重要。
在计算机科学中，定积分可以用来描述算法的时间复杂度和空间复杂度。
我们可以通过对算法的执行时间随问题规模的变化进行定积分来求解算法的时间复杂度。
这对于选择合适的算法来解决特定的问题非常重要。
在生物学和医学领域，定积分可以用来描述生物体内物质的扩散和传播过程。
在医学影像学中，定积分可以用来对人体组织中的病变进行定量分析，来帮助医生诊断疾病。
定积分在数学中的作用
定积分在数学中的作用概述在数学中，定积分是微积分的一个重要概念，具有广泛的应用。
定积分可以用于计算曲线下面的面积、求解曲线的弧长、计算物体的质量、计算函数的平均值等。
本文将探讨定积分在数学中的作用及其应用领域。
定义定积分是将函数关于某一区间内的曲线下面的面积定义为一个数值的操作。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分的定义如下：∫[a, b] f(x)dx = lim(n→∞) Σ(f(xi)Δx)其中，xi是[a, b]上的任意一点，Δx是区间[a, b]划分成的n 个小区间的宽度。
作用计算曲线下的面积定积分最基本的作用是计算曲线下的面积。
对于一个非负连续函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示曲线f(x)与x轴之间的面积。
定积分将曲线下的无限多个小面积累加起来，得到整个曲线下的总面积。
求解曲线的弧长除了计算面积，定积分还可用于求解曲线的弧长。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续且可导，则曲线y=f(x)在区间[a, b]上的弧长可以表示为定积分的形式：L = ∫[a, b] √(1 + f'(x)²)dx其中f’(x)是f(x)的导数。
计算物体的质量在物理学中，定积分可以用于计算物体的质量。
设物体的密度在空间中的分布为ρ(x, y, z)，则物体的质量可以表示为定积分的形式：m = ∭ρ(x, y, z)dV其中dV为空间元素的体积。
计算函数的平均值定积分还可以用于计算函数在一个区间上的平均值。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则函数f(x)在区间[a, b]上的平均值可以表示为定积分的形式：f_avg = (1 / (b - a)) ∫[a, b] f(x)dx应用领域定积分在数学中的应用非常广泛。
除了上述提到的计算面积、求解弧长、计算质量、计算平均值等基本应用外，定积分还可以应用于以下领域：•物理学：例如计算物体的体积、计算物体的质心、计算物体的转动惯量等；•统计学：例如计算概率密度函数、计算累积分布函数、计算期望值等；•经济学：例如计算消费总量、计算生产总量、计算总收益等；•工程学：例如计算水流的流量、计算材料的强度、计算电路的功率等。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
定积分及其应用
下面我们将应用这一方法来讨论一些问题.
、平面图形的面积
根据围成平面图形的曲线的不同情况，我们分为以下两种情形
(1)由一条曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及x轴围成的平面图形
O
(8,4)
-2
y
y+dy
4
A1
A2
(2,-2)
y2=2x
y=x-4
x
y
图6-11
O
x
a
b
xy=f(x)ຫໍສະໝຸດ 图 6-13( b) y x+dx
x
1
x
O
图6-14
x
图6-15
(a)
y
y+dy
2
1
y
O
(b)
O
a
A(x)
b
x
图 6-16
O B x a P Q
01
02
A
a
x
R
03
图6-17
y
当 在区间[a,b]上的值有正有负时,则由曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及 x轴围成的曲边梯形的面积A是在x轴上方和下方的曲边梯形面积之差.
O
x
b
a
y=f ( x)
y=g( x)
图
图 6-9
x
y
O
x
x+dx
y
O
图6-10
y
a
b
x+dx
x
-a
本章的基本要求 理解定积分的概念，了解定积分的性质，知道函数连续是可积的充分条件，函数有界是可积的必要条件；理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿―莱布尼茨公式；熟练掌握定积分的换元法与分部积分法；掌握用定积分表达一些几何量（如面积和体积）的方法；了解反常积分及其收敛、发散的概念等. 重点 定积分的概念和性质， 牛顿―莱布尼茨公式， 定积分换元法和分部积分法， 利用定积分计算平面图形的面积.
定积分在数学中的应用
定积分在数学中有广泛的应用，涵盖了多个领域，包括几何、物理、经济学和工程学等。
以下是一些常见的应用领域：
1. 几何学：定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积、空间曲面的面积和体积等。
通过将几何问题转化为定积分的计算，可以准确求解各种形状的几何量。
2. 物理学：定积分在物理学中的应用非常广泛。
例如，可以用定积分计算物体的质心、转动惯量、流体的压力和力矩等。
还可以通过定积分计算曲线下的面积来求解物体的位移、速度和加速度等运动学问题。
3. 经济学：定积分在经济学中的应用主要用于计算累积量。
例如，可以使用定积分计算总收益、总成本、总利润等经济指标。
还可以通过定积分计算边际收益和边际成本，从而进行经济决策和优化问题的分析。
4. 工程学：定积分在工程学中也具有重要的应用价值。
例如，可以使用定积分计算电路中的电流、电压和功率等物理量。
在结构工程中，可以通过定积分计算材料的体积、质量和重心位置等。
此外，定积分还在概率论、信号处理、图像处理等领域有各种应用。
总之，定积分作为微积分的重要工具，广泛应用于数学及其他学科的建模、计算和问题求解中，提供了丰富的数学工具和方法，有助于深入理解各个学科中的现象和问题。
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将对定积分的应用公式进行总结，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 面积与定积分。
定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴之间的面积。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x) ≥ 0，则曲线y = f(x)与x轴所围成的图形的面积为。
A = ∫[a, b] f(x) dx。
这就是定积分的几何意义，它表示曲线与x轴之间的面积。
2. 物理学中的应用。
在物理学中，定积分常常用来计算曲线下方的面积，从而得到某一变量的总量。
例如，如果我们知道一个物体在 t 时刻的速度 v(t)（单位时间内的位移），则该物体在时间区间 [a, b] 内的位移为。
S = ∫[a, b] v(t) dt。
这里的 S 就表示了物体在时间区间 [a, b] 内的总位移。
3. 概率统计中的应用。
在概率统计中，定积分也有着重要的应用。
例如，如果我们知道某一随机变量X 的概率密度函数为 f(x)，则 X 落在区间 [a, b] 内的概率为。
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx。
这里的 P(a ≤ X ≤ b) 表示了随机变量 X 落在区间 [a, b] 内的概率。
4. 工程中的应用。
在工程领域，定积分也有着广泛的应用。
例如，在计算流体的体积、质量、密度、压力等问题时，定积分常常是不可或缺的工具。
另外，在电路分析、信号处理、控制系统等领域，定积分也有着重要的作用。
5. 经济学中的应用。
在经济学中，定积分常常用来描述某一商品的总收益、总成本、总利润等。
例如，如果知道某一商品的需求函数为 D(p)，则该商品在价格区间 [a, b] 内的总收益为。
R = ∫[a, b] p D(p) dp。
这里的 R 表示了商品在价格区间 [a, b] 内的总收益。
总结。
定积分的应用远不止以上几个领域，它在数学、物理、工程、经济等众多领域都有着重要的作用。
定积分的若干应用
定积分的若干应用定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来计算曲线下面的面积、求解物理学中的质心、计算概率密度函数等。
下面将分别介绍定积分在这些应用中的具体应用。
一、计算曲线下面的面积定积分最基本的应用就是计算曲线下面的面积。
具体来说，如果我们要计算函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲线下面的面积，可以使用下面的公式：$$\int_a^b f(x)dx$$其中，$\int$表示积分符号，$a$和$b$分别是积分区间的下限和上限，$f(x)$是被积函数。
这个公式的意义是将区间$[a,b]$分成无数个小区间，然后计算每个小区间内$f(x)$的面积，最后将所有小区间的面积相加得到整个区间$[a,b]$下面的面积。
二、求解物理学中的质心在物理学中，我们经常需要求解物体的质心。
如果物体是由一些离散的质点组成的，那么可以使用下面的公式求解质心：$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n m_ix_i}{\sum_{i=1}^n m_i}$$其中，$\bar{x}$表示质心的位置，$m_i$表示第$i$个质点的质量，$x_i$表示第$i$个质点的位置。
但是，如果物体是由一些连续的质点组成的，那么就需要使用定积分来求解质心。
具体来说，如果物体的密度分布函数为$\rho(x)$，那么可以使用下面的公式求解质心：$$\bar{x}=\frac{\int_a^b x\rho(x)dx}{\int_a^b \rho(x)dx}$$其中，$a$和$b$分别是物体的起始点和终止点。
这个公式的意义是将物体分成无数个小区间，然后计算每个小区间内的质心位置和质量，最后将所有小区间的质心位置和质量相加得到整个物体的质心位置。
三、计算概率密度函数在概率论中，我们经常需要计算概率密度函数。
如果一个随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，那么可以使用下面的公式计算$X$在区间$[a,b]$内的概率：$$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)dx$$其中，$P(a\leq X\leq b)$表示$X$在区间$[a,b]$内的概率。
定积分应用
(3)、 (3)、引力
由物理学知道， 由物理学知道，质量分别为 m1 , m 2 相距为
m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为 F = k 2 ， r 其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的 为引力系数，
连线方向． 连线方向．
练习：P68 A3，A5，B4 作业题：P68 A4，A6，B3
F (x) = k q r2
（ k 是常数） 是常数） ，
当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴 处时， 移动到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的 功．
o
r
解:
由题意,所求功为 由题意 所求功为
b
+q
• o
⋅• •• • a r
b
+1
• •• ⋅
b
r
kq = kq − 1 = kq 1 − 1 . w = ∫a 2dr r a a b r
4 A1 = ∫ [ x − ( − x )]dx = 0 3
1
第二块的面积： 9 x −3 28 A2 = ∫ [ x − ( )]d x = 1 2 3 32 则 总 面 积 ： A = A1 + A 2 = 3
分析 2 ： 若把围成的平面 区域看成y - 型区域：则 左曲线为： = y 2 , 右曲 x 线为： x = 2y + 3, 下直线 y = -1, 上直线为： y = 3 直接由 y 型区域面积的 计算公式得面积 2 A = ∫ ( 2y + 3 ) - y dy =10 . 3 -1
2 3
练 ： 习 1、 = sin x， = cos x在 2π]上 围 的 积 y y [0， 所 成 面 。
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用范围。
在实际问题中，定积分可以用于求解曲线下的面积、求解容积、质量、中心矩等问题。
接下来，我们将总结定积分的应用公式，包括面积、体积、质量、中心矩等几个重要应用。
1. 曲线下的面积定积分最常见的应用是求解曲线下的面积。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上，曲线y=f(x)与x轴所围成的面积可以通过定积分来计算。
公式为：S = ∫(a到b)f(x)dx其中S表示曲线下的面积，∫表示定积分，f(x)是函数曲线在x轴上的对应值。
2. 旋转体的体积定积分还可以用于计算旋转体的体积。
考虑一个曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积可以通过定积分来计算。
公式为：V = π∫(a到b)f(x)^2dx其中V表示旋转体的体积，π表示圆周率。
3. 弧长定积分可以用于计算曲线的弧长。
设有曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的弧长可以通过定积分来计算。
公式为：L = ∫(a到b)√(1+(f'(x))^2)dx其中L表示曲线的弧长，f'(x)表示f(x)的导数。
4. 质量和质心对于一条位于直角坐标系中的线密度分布曲线，其质量可以通过定积分来计算。
设密度函数为ρ(x)，曲线上的质量可以表示为：m = ∫(a到b)ρ(x)dx其中m表示曲线上的质量，ρ(x)表示密度函数。
同时，还可以通过定积分来计算曲线的质心。
曲线的质心可以通过以下公式来计算：x_c = (1/m)∫(a到b)xρ(x)dxy_c = (1/m)∫(a到b)yρ(x)dx其中x_c和y_c表示曲线的质心的坐标。
以上的公式总结了定积分的一些重要应用，包括面积、体积、弧长、质量和质心等。
在实际问题中，我们可以根据具体的问题情况，选择适当的公式来计算所需的结果。
这些公式可以帮助我们更好地理解和应用定积分的概念，解决实际问题。
定积分的简单应用李用
b
a
f
x
g
xd. x
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算 例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
返回
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在t＝4 s时的路程为
1
3
4
s＝0(t2－4t＋3)dt－1(t2－4t＋3)dt＋3(t2－4t＋3)dt
＝(13t3－2t2＋3t)|10－(13t3－2t2＋3t)|31＋(13t3－2t2＋3t)|43＝4(m)．
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
定积分的应用
定积分的应用在微积分中，定积分是一种重要的概念和工具。
它不仅可以用于求解曲线下的面积，还可以应用于多个领域，包括物理、经济学和工程学等。
本文将介绍定积分的应用，并通过实际问题进行说明。
一、曲线下的面积定积分最基本的应用之一是求解曲线下的面积。
假设有一个函数f(x)，我们想要计算其在区间[a, b]上的曲线下的面积。
我们可以将[a, b]的区间划分为若干小区间，然后在每个小区间上取一个点，通过计算这些小区间的面积之和来逼近整个曲线下的面积。
随着小区间数目的增加，逼近的精度也会提高，最终可以得到非常准确的结果。
二、物理学中的应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以利用定积分来计算物体的质量、速度和加速度等。
通过将物体运动过程中的力和加速度关系用函数表示，然后对这个函数在一定时间内的积分，就可以得到物体在该时间内的位移。
同样地，通过对速度函数在一段时间内的定积分，可以计算出物体在该时间内的位移。
三、经济学中的应用定积分在经济学中也有重要的应用。
一种常见的应用是计算曲线下的总收益或总成本。
假设有一个企业的收益函数为R(x)，我们可以通过对该函数在某个时间段内的定积分，得到该时间段内企业的总收益。
同样地，如果有一个成本函数C(x)，我们可以通过对该函数在某个时间段内的定积分，得到该时间段内企业的总成本。
这种方法可以帮助经济学家更好地了解企业的经营状况并作出相应的决策。
四、工程学中的应用定积分也在工程学中有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，我们可以利用定积分来计算建筑物的体积。
假设有一个建筑物的截面曲线为f(x)，我们可以通过对该曲线在一定范围内的定积分，得到该范围内建筑物的体积。
同样地，在水力学中，我们可以利用定积分来计算河流的流量，以便更好地了解水流情况并采取相应的措施。
综上所述，定积分是一种重要的工具，可以应用于求解曲线下的面积、物理学、经济学和工程学等多个领域。
通过对函数在一定范围内的定积分，我们可以得到与实际问题相关的重要信息，从而更好地理解和解决问题。
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用定积分是微积分中的一个重要概念，它在物理及其他领域中有着广泛的应用。
在物理学中，定积分的应用可以帮助我们解决各种复杂的实际问题，比如计算物体的质心、计算密度分布的质量、计算电场与磁场的功率等。
在其他领域，定积分也被广泛应用于各种领域，比如经济学、生物学和工程学等。
本文将就定积分在物理及其他领域的应用进行更详细的探讨。
一、定积分在物理学中的应用1. 计算物体的质心物理学中，质心是一个非常重要的概念，它表示一个物体整体的平均位置。
利用定积分的方法，我们可以求得任意形状的物体的质心。
一个均匀细杆，利用定积分可以轻松求得其质心位置。
这对于工程设计或者物体平衡问题都具有重要的意义。
2. 计算密度分布的质量在物理学中，经常需要根据密度分布来计算物体的质量。
利用定积分，我们可以求得密度分布在空间中的质量总量。
这在研究天体物理学或者地球物理学等方面有着非常重要的应用。
3. 计算电场与磁场的功率在电磁学中，电场与磁场的功率计算经常需要用到定积分。
当分布的电荷或者电流密度不均匀时，可以利用定积分来计算电场与磁场的功率。
这对于电路设计或者电动机性能分析等方面都具有着非常重要的应用。
二、定积分在其他领域的应用1. 宏观经济学在宏观经济学中，定积分可以用来描述生产总值、就业率、通货膨胀率等经济指标的变化趋势。
通过对这些指标的定积分分析，可以更好地理解宏观经济运行的规律性，并为制定经济政策提供依据。
2. 生物学在生物学领域，定积分可以被应用于描述生物体内各种物质的浓度变化趋势，比如代谢产物在细胞内的扩散过程等。
定积分也可以用来描述生物体的生长规律以及种群数量的动态变化过程。
3. 工程学在工程学中，定积分是一个非常重要的工具，可以用来计算工程设计中各种复杂形状的物体的体积、质量、重心位置等物理量。
在建筑工程中，可以利用定积分来计算建筑结构的重心位置，以便施工和设计过程中的平衡和稳定性分析。
以上只是定积分在物理及其他领域中部分应用的介绍。
定积分的几何应用总结 知乎
定积分的几何应用总结
对于定积分的几何应用，以下是一些常见的总结：
1.面积计算：定积分可以用于计算曲线与x轴之间的有界区
域的面积。
将曲线或曲线组合表示为函数，并将其积分，
可以得到该区域的面积。
2.弧长计算：曲线的弧长是曲线沿着x轴或y轴的长度。
通
过使用定积分，可以计算曲线的弧长，将其表示为函数，
并应用弧长的求和公式来获得结果。
3.体积计算：通过将曲线或曲面绕着轴旋转，可以使用定积
分来计算所得到的旋转体的体积。
例如，旋转一条曲线或
一个区域围绕x轴或y轴旋转，可以使用定积分来计算所
得到的圆柱体或圆锥体的体积。
4.重心和质心计算：通过将物体划分为无穷小的微元，并使
用定积分来计算每个微元的质量，可以计算出物体的重心
和质心。
这对于研究物体的平衡和运动以及静力学方面很
有用。
5.曲线长度计算：通过将曲线表示为参数方程或极坐标方程，
并使用定积分来计算微元曲线的长度，可以得到整个曲线
的长度。
这些是定积分的一些常见几何应用示例，但实际上，定积分在几何学中还有更多的应用。
它们在计算和描述曲线、平面和空间几何形状的属性时起着关键作用。
定积分计算及其应用
定积分计算及其应用
一、定积分计算
1、图像法：通过图像来计算定积分，一般会将被定积函数的图像在
其中一区间内分割成许多小矩形，每一小矩形的面积就是定积分的值，然
后通过将多个小矩形的面积加和=求出定积分。
2、定积分计算公式：定积分是由定积分计算公式来计算的，定积分
公式结构为：∫a b f(x) dx，它代表的是从a到b的定积分，f(x)是定
积函数，dx是微元。
二、定积分应用
定积分的应用范围广泛，主要有三个方面：
1、地理学：定积分在地理学中有着广泛的应用，可以用定积分计算
地理曲线下面积、地球表面圆锥曲线的一定高度投影的面积等等。
2、力学、物理学：定积分在力学、物理学等学科中有着重要的应用，可以用定积分来计算绳、杆、轴旋转运动的角动量，以及各种复杂力场的
重力矩等等。
3、经济学：在经济学中，定积分可以用来求解复杂的经济关系，如
决定消费者及生产者福利的函数关系。
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. o 1 2 3 4
P( , )
x cos , 极坐标与直角坐标的关系: y sin . 过极点且倾角为 的射线的极坐标方程为 y y P ( , ) P ( , ) xa o o M(a,0) x x
积分后得旋转体的侧面积
y (x y f ( x ) fds )
S 2 f ( x ) 1 f 2 ( x ) dx
a
b
o a o a
x
b b
x x
Ax
b
a
2 dx . 2 y 1 y
ds
(注意在不同坐标系 下 ds 的表达式)
20
请熟记以下公式：
y
y f ( x)
A f ( x )dx
a
b
o a x x dx b x
A [ f ( x ) g( x )]dx
a
b
上曲线
下曲线
x x dx
7
(3)以x ( y ) ( 0)为曲边,以[c, d ]为底的曲边梯形 y 的面积A. dA ( y)d y Y型
A ( y )dy
3. 几个常用曲线的极坐标方程
过点M(a,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程 cos a 过点M (b,
2
) 且平行于极
M y P ( , ) b y
.
轴的直线方程为 sin b
o
b
11
x
圆极坐标方程
2 2
r
2
y
x y r
P ( , ) o r x
第三步，写出定积分的表达式： U
b a
f ( x )dx .
这个方法通常叫做元素法．先作图
元素的几何形状常取为: 条,带,段,环,扇,片,壳等
5
3.使用元素法时应注意：
(1) U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.
(2) U对于区间[a,b]具有可加性， 即如果把区间
[a,b]分成许多部分区间， 则U相应地分成许多
a
b
Vx 2πy (y )dy
c
d
s
b a
1 y dx,
2
Ax 2 f ( x ) 1 f 2 x)d x. (
a
21
b
注意：
1) 以上公式都要求 a b, c d .
2) 复杂图形应学会分割. 3) 不能用公式时应会元素法.
x (t ) 4)若曲边梯形的曲边为参数方程 ( t ). y (t )
部分量， 而U等于所有部分量之和.
(3) 在[a,b]中任取的小区间[ x , x dx ] 上的部分量 U 可以通过x的某函数 f ( x ) 与区间长度 dx乘积近似表
示为 U f ( x )dx， 则U在[a,b] 上的值可由定积分
b a
f ( x )dx 来计算.
6
二、定积分在几何学上的应用
S圆扇形
1 2 R 2
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
1 2 dA ( ) d 2
所求曲边扇形的面积为
d
d
( )
1 2 A ( )d 2
o
x
13
3.已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 的体积元素为： 上连续, 则在小区间
y c, y d (c d )及y轴所围成
的曲边梯形绕x轴旋转一周
而成的立体的体积.
y
d
y dy
x ( y)
Vx 2π y ( y)dy
c
d
y
c o
x
18
5. 弧长 (数1、数2)
y
(1)直角坐标方程 y f ( x )：
y f ( x)
(ds )2 =(dx )2 (dy )2
例1.求曲线y sin x, y cos x及x 0, x π所围成
平面图形的面积.
解: y sin x与y cos x的交点 π 2 坐标为( , ), 4 2
y
y sin x
则所求面积为：
o
π
A cos x sin x dx
0 π 4 0
4
π
y cos x
注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小
O
x x ) s x d (x ( )d .
2
19
6.旋转体的侧面积 (数1、数2)
设平面光滑曲线
且 f ( x) 0, 求
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
d S 2 y ds
y y
0
i 1 n
定积分定义
b a
f ( x ) dx lim f ( i )xi
0
i 1
4
n
2.应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是： 第一步，根据具体情况，选取积分变量， 如：x 确定x的变化 区间[a,b].
取一代表区间 第二步，把区间[a,b]分成n个小区间，
求出该区间上所求量的部分量的 [ x , x dx]， 近似表达式 dU f ( x )dx； 称为量U的微元.
c
d
d y+dy y
x ( y)
(4)由曲线 x ( y) ，x ( y), c y d ,
c o y
x ( y)
x
[ ( y) ( y)] 所围图形的面积.
d 其面积元素为： A [ ( y ) ( y )]dy，y+dy d y 则面积为 d c A [ ( y ) ( y )]dy c o
y
圆极坐标方程
2 2
2a cos
o
P ( , )
2a x
x y 2ax
y
圆极坐标方程
2 2
2a sin
2a
P ( , )
x y 2ay
o
x
12
2. 极坐标系下平面图形面积的计算 求由曲线 围成的曲边扇形的面积. 解:在区间 上任取小区间 及
x ( y)
x
15
求旋转体体积 — 柱壳法
求曲边梯形y f ( x )，x a, x b, y 0绕 y轴旋转一周
生成的旋转的体积.
内表面积：
y
y f ( x)
2πxf ( x )
dV 2 xf ( x )dx
o a
dx x x+dx
Vy 2 xf ( x )dx
得A的近似值, A (3) 求和，
i 1 n
f ( )x .y
i 1 i i
n
得A的精确值. (4) 求极限，
y f ( x)
A lim f ( i )xi
0
i 1
n
b a
A
f ( x )dx
o a
xi 1 x i b x
2
对以上过程进行简化: 若用 A表示任一小区间 [ x , x dx ] 上的窄曲边梯形 的面积， x , 则 A 取
A
b
a b
f ( x ) dx
y dx .
a
A1
O
A3
A2
b
x
a
9
★回顾：极坐标系 1. 极坐标系的定义： 在平面上取定一点o， 叫做极点. 从极点出发引一条射线Ox,叫极轴， 并取定一个长度单位
和计算角度的正方向(通常取逆时针方向作正方向), 这样 就建立了一个平面极坐标系.
2. 极坐标与直角坐标的互化 x x cos , 0, 0 2 y sin . y ( x, y) 2 2 2 P ( , ) x y , y y x x o tan , (x 0) x
x ( y)
x
8
右曲线
左曲线
(5)当f ( x)在[a, b]上有正有负时, 设曲线 y f ( x) 与直线
1) f ( x ) 0时, dA f ( x )dx
2) f ( x ) 0时, dA f ( x ) dx
总之 dA f ( x ) dx
y
y f ( x)
f ( x )dx
y
面积元素
记为：dA, 则dA f ( x )dx，
A dA
A A dA f ( x )dx，
a
o
y f ( x)
A
b x x dx x
A lim f ( x )dx f ( x )dx .
b a
dA
这种简化以后的定积分方法叫“微元法”或“元素法”
a
b
b
x
16
求旋转体体积— 柱壳法
求曲边梯形y f ( x )，x a, x b, y 0绕 y轴旋转一周
生成的旋转的体积.
y
底面积：
y f ( x)
f ( x )dx
dV 2 xf ( x )dx
dx x x+dx
Vy 2 xf ( x )dx
a
b
o a
b
x
17
所以：由连续曲线 y f ( x ), 直线x a, x b(a b)及x轴所 y y f ( x) 围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周