定积分的应用

dV A( x )dx
A(x)
a 立体体积为：
x
x dx
x
b
V A( x )dx
a
14
b
4.旋转体的体积
(1)曲边梯形 旋转一周围成的旋转体的体积为： y
y f ( x)
V
b a
[ f ( x )]2 dx
b
V A( x )dx
a
o a
x
b
x
y (2)曲边梯形 d 绕 y 轴旋转一周围成的旋转体体积为： y d V [ ( y )]2d y c c o
部分量， 而U等于所有部分量之和.
(3) 在[a,b]中任取的小区间[ x , x dx ] 上的部分量 U 可以通过x的某函数 f ( x ) 与区间长度 dx乘积近似表
示为 U f ( x )dx， 则U在[a,b] 上的值可由定积分

b a
f ( x )dx 来计算.
6
二、定积分在几何学上的应用
0
i 1 n
定积分定义

b a
f ( x ) dx lim f ( i )xi
0
i 1
4
n
2.应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是： 第一步，根据具体情况，选取积分变量， 如：x 确定x的变化 区间[a,b].
取一代表区间 第二步，把区间[a,b]分成n个小区间，
求出该区间上所求量的部分量的 [ x , x dx]， 近似表达式 dU f ( x )dx； 称为量U的微元.
第三步，写出定积分的表达式： U

b a
f ( x )dx .
这个方法通常叫做元素法．先作图
元素的几何形状常取为: 条,带,段,环,扇,片,壳等
5
3.使用元素法时应注意：
(1) U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.
(2) U对于区间[a,b]具有可加性， 即如果把区间
[a,b]分成许多部分区间， 则U相应地分成许多
π 2
π
x
= (cos x sin x )dx π (sin x cos x )dx
=2 2.
23
例2.求夹在两曲线 3sin , 1 sin 的内部 y 平面图形的面积.
解:面积公式A
A f ( x )dx
a
b
o a x x dx b x
A [ f ( x ) g( x )]dx
a
b
上曲线
下曲线
x x dx
7
(3)以x ( y ) ( 0)为曲边,以[c, d ]为底的曲边梯形 y 的面积A. dA ( y)d y Y型
A ( y )dy
1. 直角坐标系下平面图形面积的计算
(1)设曲线 y f ( x ) ( 0)与直线
梯形的面积为 A.
y
y f ( x)
X型
dA
(2)由曲线 y f ( x )，y g( x ), a x b, [ f ( x ) g( x )] 所围图形的面积. 其面积元素为： dA [ f ( x ) g( x )]dx，则面积为
积分后得旋转体的侧面积
y (x y f ( x ) fds )
S 2 f ( x ) 1 f 2 ( x ) dx
a
b
o a o a
x
b b
x x
Ax
b
a
2 dx . 2 y 1 y
ds
(注意在不同坐标系 下 ds 的表达式)
20
请熟记以下公式：
y
y f ( x)
y
圆极坐标方程
2 2
2a cos

o
P ( , )

2a x
x y 2ax
y
圆极坐标方程
2 2
2a sin
2a


P ( , )
x y 2ay
o
x
12
2. 极坐标系下平面图形面积的计算 求由曲线 围成的曲边扇形的面积. 解:在区间 上任取小区间 及
a
b
Vx 2πy (y )dy
c
d
s
b a
1 y dx,
2
Ax 2 f ( x ) 1 f 2 x)d x. (
a
21
b
注意：
1) 以上公式都要求 a b, c d .
2) 复杂图形应学会分割. 3) 不能用公式时应会元素法.
x (t ) 4)若曲边梯形的曲边为参数方程 ( t ). y (t )
f ( x )dx
y
面积元素
记为：dA, 则dA f ( x )dx，
A dA
A A dA f ( x )dx，
a
o
y f ( x)
A
b x x dx x
A lim f ( x )dx f ( x )dx .
b a
dA
这种简化以后的定积分方法叫“微元法”或“元素法”
得A的近似值, A (3) 求和，
i 1 n
f ( )x .y
i 1 i i
n
得A的精确值. (4) 求极限，
y f ( x)
A lim f ( i )xi
0
i 1
n

b a
A
f ( x )dx
o a
xi 1 x i b x
2
对以上过程进行简化: 若用 A表示任一小区间 [ x , x dx ] 上的窄曲边梯形 的面积， x , 则 A 取
17
所以：由连续曲线 y f ( x ), 直线x a, x b(a b)及x轴所 y y f ( x) 围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周
而成的立体的体积.
Vy 2π xf ( x )dx
a
b
o a x x dx b
x
类似地， 如果旋转体是由连续曲线 x ( y ), 直线
则上述公式可以用定积分的换元法处理. 5)若曲边梯形的曲边为极坐标方程 ( ) ( ), 则可转化为直角坐标系下的参数方程：
6)与弧长有关时,其限应 上大下小.
x ( )cos ( ) y ( )sin
22
典型例题分析
第六章定积分的应用
若能把某个量表示 成定积分,我们就可以 应用定积分计算这个量
1
回顾：曲边梯形的面积表示为定积分的步骤：
(1)把区间[a,b]分成n个长度为 xi 的小区间[ xi 1 , xi ]，
而第i个 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形， 小窄曲边梯形的面积为 Ai , 则 A Ai (2)计算 Ai 的近似值，Ai f ( i )xi， i [ xi 1，xi ]
x ( y)
x
15
求旋转体体积 — 柱壳法
求曲边梯形y f ( x )，x a, x b, y 0绕 y轴旋转一周
生成的旋转的体积.
内表面积：
y
y f ( x)
2πxf ( x )
dV 2 xf ( x )dx
o a
dx x x+dx
Vy 2 xf ( x )dx
3
一、定积分的元素法
1.什么问题可以用定积分（元素法）解决 ? 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上有定义的f (x) 有关的 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 表示为 U lim f ( i )xi
10
. o 1 2 3 4

P( , )
x cos , 极坐标与直角坐标的关系: y sin . 过极点且倾角为 的射线的极坐标方程为 y y P ( , ) P ( , ) xa o o M(a,0) x x
a
b
b
x
Байду номын сангаас
16
求旋转体体积— 柱壳法
求曲边梯形y f ( x )，x a, x b, y 0绕 y轴旋转一周
生成的旋转的体积.
y
底面积：
y f ( x)
f ( x )dx
dV 2 xf ( x )dx
dx x x+dx
Vy 2 xf ( x )dx
a
b
o a
b
x
例1.求曲线y sin x, y cos x及x 0, x π所围成
平面图形的面积.
解: y sin x与y cos x的交点 π 2 坐标为( , ), 4 2
y
y sin x
则所求面积为：
o
π
A cos x sin x dx
0 π 4 0
4
π
y cos x
y c, y d (c d )及y轴所围成
的曲边梯形绕x轴旋转一周
而成的立体的体积.
y
d
y dy
x ( y)
Vx 2π y ( y)dy
c
d
y
c o
x
18
5. 弧长 (数1、数2)
y
(1)直角坐标方程 y f ( x )：
y f ( x)
(ds )2 =(dx )2 (dy )2
X型
y
d
y dy
Y型
y
o a x x dx b
b a
x
b a
c o
d c
d
x ( y)
x
d c
A f (x )dx ydx
Vx [ f (x )] d x
2 a b
A ( y )dy xdy
d Vy [( y)] 2 y
c
Vy 2 xf (x )dx
3. 几个常用曲线的极坐标方程

过点M(a,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程 cos a 过点M (b,

2
) 且平行于极
M y P ( , ) b y
.
轴的直线方程为 sin b

o

b
11
x
圆极坐标方程
2 2
r
2
y
x y r
P ( , ) o r x

x ( y)
x
8
右曲线
左曲线
(5)当f ( x)在[a, b]上有正有负时, 设曲线 y f ( x) 与直线
1) f ( x ) 0时, dA f ( x )dx
2) f ( x ) 0时, dA f ( x ) dx
总之 dA f ( x ) dx
y
y f ( x)
注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小

O
x x ) s x d (x ( )d .
2


19
6.旋转体的侧面积 (数1、数2)
设平面光滑曲线
且 f ( x) 0, 求
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
d S 2 y ds
y y
s
b a
2 dx, 1 y
o
x (t ) : (2)参数方程 y (t ) y f (x) y ds 2 2
a
b
2 2
x
2
s

(t ) (t )dt .
dx 2
(3)极坐标方程
(ds ) =(dx ) (dy ) 大 ds s ds. dy 小 ( ) ( )
A

b
a b
f ( x ) dx
y dx .
a
A1
O
A3
A2
b
x
a
9
★回顾：极坐标系 1. 极坐标系的定义： 在平面上取定一点o， 叫做极点. 从极点出发引一条射线Ox,叫极轴， 并取定一个长度单位
和计算角度的正方向(通常取逆时针方向作正方向), 这样 就建立了一个平面极坐标系.
2. 极坐标与直角坐标的互化 x x cos , 0, 0 2 y sin . y ( x, y) 2 2 2 P ( , ) x y , y y x x o tan , (x 0) x
c
d
d y+dy y
x ( y)
(4)由曲线 x ( y) ，x ( y), c y d ,
c o y
x ( y)
x
[ ( y) ( y)] 所围图形的面积.
d 其面积元素为： A [ ( y ) ( y )]dy，y+dy d y 则面积为 d c A [ ( y ) ( y )]dy c o
S圆扇形
1 2 R 2
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
1 2 dA ( ) d 2
所求曲边扇形的面积为

d
d

( )
1 2 A ( )d 2

o
x
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3.已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 的体积元素为： 上连续, 则在小区间