中山第4版概率论习题解答第二章.docx
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设某一时刻有K台机器正常工作，用§表示
耐灯=%（0・6）气0・4严
每台车床需一个单位电能E,设供应的电能为N,供电
充足即k<N
显一120、 飒和）
查表知：#3.120) = 0.999
•••Nni20 + 3.1x7 = 142
•••至少需142砒量供应
12.设每天到达炼油厂的油船数服从A=2的泊松分布•现港口的设备在一 天内只能为三艘油船服务•如果在一天内冇多于三艘油船到达，超过三艘的油 船必须调往其他港口.求：
k=()2()
-P'q"-( £ 〒=丄pk = 0,l,2,••••••••
(〃 +l)g〃 +l
=pq"(2-qk -qk(1-/?)) =pqk(2-qk-q"'\k= 0,1,2
(3)P(“== j)
if i = j P(〃 =ig = J)~ P(& = j,©>金)=PQk[}~Qk)即$ = j‘§2= M = max{§,&}=金
= •/ ) = "($= j，§2 = ? ) = PQJPC1 ~ P Q1'
ifivj,这不可能・•・p(q = i,&=j) = 0
故
P5 = i
✓*
P& = i
k=0
=< Pg = j
0,i<j
V
pq
=< p
0,/<J
8•任意大学牛，他的牛日在一年屮任一天的概率均为1/365,若某 名人学生，问有4名人学生的生日为元旦的概率是多少？ 解：
第二章：随机变量及其分布函数
2.甲乙两名篮球队员独立的轮流投篮，•直至某人投中篮筐为止。今让甲先投, 果甲投中的概率为0.4,乙为0.6 o求各队员投篮次数的概率分布。
解：
对甲而言：
§二1甲（未中）乙（中）或甲（中）
意味着
&一1
一人
甲（未）乙（未）甲（未）乙（未）甲（中）
或者
k
入
甲（未）乙（未）甲（未）乙（未）
0,其他
•#(、£(、fl6x(l-x)y\0<x<l,0<y<l
[0, other
・•・两者不独立
i Ix y18.设随机变量（§,〃）服从二维止态分布/（x,y）=—
2兀ab
2求（§,〃）取值于椭圆:壬+厶二厂诂的概率。
a b
解:
A二p（（§,〃）w£＞）二J /（x,y）dxdy
作坐标变换:
x = racos&
(2)设设备应增至〃台
贝IJ应满足P^<n) = l-£P(Z:;2)>0.9
k=n+\
查表知当刃=4时，P(^<4) = 1-0.052653=0.947347
故设备应增至4台
(3)最可能到达的油船数是2艘；“§ = 2) = 0.270670
14. r.v.§密度函数为
兀7t
「、67COSX,—<X<—
xvO时，F(x) = 0)?
解：据分布函数的性质
F(+oo)=limA — e~x= 1所以，A-l
17.设(§,〃)具有下述联合分布函数，问§与“是否相互独立？
(2)f(x,y) = Sxy,O<x<y<l
解：
(2)f M\^y = 4X(l-X^<x<l
50,其他
一、\^xydx = 4y\0<y<lz7(y)=r°
所以
P（^ = /：） = （0.6x0-4/-,x0-4 + （0-6x0-4/-,x0-6x0-6 = （0-6x0-4）^,x0-76
其屮£ =1、2、3・・・..
对乙而言：
P（7j= 0） =P（甲首次即投中）=0・4
P（77= ^）=（0 6x0-4）^1x0-62+（0-6x0-4）axO-4= （0-24）1-1xO-456
y = rbsin0
02兀cib
I 2”I 2] r
戶砂=-护）
9.某车间有200台同一型号的车床，由于种种原因，每台车床时常需要停车, 假定各台车床的停车或开动相互独立的，且每台车床有60%的吋间开动，开动 吋需要消耗的电能为E.问至少要供给这个车间多少电能,才能以99.9%的概率 保证这个车间不致因为供电不足而影响生产。
解：
每台机床需电能E（启动）概率为0.6
/W=22
0,other
(1)系数a
(2)F(x) f(x)图形
(3)求P(0碎兰)
4
解：(1)由规范性：
Jf{x)dx=J：d coscbc = asinx ' ~2
—「；cosxdx =—sinx^ —
2 2 2
沦彳时，心)=1
0,x<--
2
1 1 —+—cosx,
2 2
1, X >—
2
15•问A为何值时,F(x) = A-e-x(^<x<oo)是一随机变量§的分布函数(设当
n= 730,佥=在加欠观察中生口在元旦的人数
求P（佥二4）二P（4 5佥〈5）
根据棣莫佛-拉普拉斯泄理：
364
npq = 2x— = ],9945
365
yfnpq= 1.41
4-2-2 5-232
p(^=<< Baidu Nhomakorabea=) = ——)-e(——)
\[npq yfnpq \{npqL411.41
= 0.06
eA(l-p)
k\
即函数为加的泊松分布。
6.设$与§2和互独立，并具有共同的儿何分布
#{$=£}=pqk（i = l,2;R= 0,1,2,……）
（1）证明：亠。
n+1
（2）求” =max{§,§2}的分布。
（3）求〃与$的联合分布。
卩(鉀常+a山冷/y二n心z”
啲+©2 4£p($=k)pG = “-k) p$pqkpqZ
其中£ =1、2、3・・・..
5.设某个动物生下r个蛋的概率是p(D —宀若每一个蛋能发育成 动物的概率是Q且各个蛋能否发育成小动物是彼此相互独立的。证明恰有k个后代的概率分布是具有参数为Ap的泊松分布。
证明；
令77表示恰有k个后代，k个后代是由于r个蛋孵化出来的，r»k・
那么据全概率公式得
P(?7=k)=工P(§= "P(77 = a|歹=厂)
(1)在一个给定的日子，必须调油船离开的概率.
(2)为90%的FI子里能容许安排所有的油船，现在的设备应增至儿台？(设 一台设备，只能给一艘船服务・)
(3)每天最可能到达的油船数是几艘？并求其概率.
解：
设油厂的油船数为纟
(1)必须调油船离开的概率P=n4)= £p/;2) = 0.142877
k=4
耐灯=%（0・6）气0・4严
每台车床需一个单位电能E,设供应的电能为N,供电
充足即k<N
显一120、 飒和）
查表知：#3.120) = 0.999
•••Nni20 + 3.1x7 = 142
•••至少需142砒量供应
12.设每天到达炼油厂的油船数服从A=2的泊松分布•现港口的设备在一 天内只能为三艘油船服务•如果在一天内冇多于三艘油船到达，超过三艘的油 船必须调往其他港口.求：
k=()2()
-P'q"-( £ 〒=丄pk = 0,l,2,••••••••
(〃 +l)g〃 +l
=pq"(2-qk -qk(1-/?)) =pqk(2-qk-q"'\k= 0,1,2
(3)P(“== j)
if i = j P(〃 =ig = J)~ P(& = j,©>金)=PQk[}~Qk)即$ = j‘§2= M = max{§,&}=金
= •/ ) = "($= j，§2 = ? ) = PQJPC1 ~ P Q1'
ifivj,这不可能・•・p(q = i,&=j) = 0
故
P5 = i
✓*
P& = i
k=0
=< Pg = j
0,i<j
V
pq
=< p
0,/<J
8•任意大学牛，他的牛日在一年屮任一天的概率均为1/365,若某 名人学生，问有4名人学生的生日为元旦的概率是多少？ 解：
第二章：随机变量及其分布函数
2.甲乙两名篮球队员独立的轮流投篮，•直至某人投中篮筐为止。今让甲先投, 果甲投中的概率为0.4,乙为0.6 o求各队员投篮次数的概率分布。
解：
对甲而言：
§二1甲（未中）乙（中）或甲（中）
意味着
&一1
一人
甲（未）乙（未）甲（未）乙（未）甲（中）
或者
k
入
甲（未）乙（未）甲（未）乙（未）
0,其他
•#(、£(、fl6x(l-x)y\0<x<l,0<y<l
[0, other
・•・两者不独立
i Ix y18.设随机变量（§,〃）服从二维止态分布/（x,y）=—
2兀ab
2求（§,〃）取值于椭圆:壬+厶二厂诂的概率。
a b
解:
A二p（（§,〃）w£＞）二J /（x,y）dxdy
作坐标变换:
x = racos&
(2)设设备应增至〃台
贝IJ应满足P^<n) = l-£P(Z:;2)>0.9
k=n+\
查表知当刃=4时，P(^<4) = 1-0.052653=0.947347
故设备应增至4台
(3)最可能到达的油船数是2艘；“§ = 2) = 0.270670
14. r.v.§密度函数为
兀7t
「、67COSX,—<X<—
xvO时，F(x) = 0)?
解：据分布函数的性质
F(+oo)=limA — e~x= 1所以，A-l
17.设(§,〃)具有下述联合分布函数，问§与“是否相互独立？
(2)f(x,y) = Sxy,O<x<y<l
解：
(2)f M\^y = 4X(l-X^<x<l
50,其他
一、\^xydx = 4y\0<y<lz7(y)=r°
所以
P（^ = /：） = （0.6x0-4/-,x0-4 + （0-6x0-4/-,x0-6x0-6 = （0-6x0-4）^,x0-76
其屮£ =1、2、3・・・..
对乙而言：
P（7j= 0） =P（甲首次即投中）=0・4
P（77= ^）=（0 6x0-4）^1x0-62+（0-6x0-4）axO-4= （0-24）1-1xO-456
y = rbsin0
02兀cib
I 2”I 2] r
戶砂=-护）
9.某车间有200台同一型号的车床，由于种种原因，每台车床时常需要停车, 假定各台车床的停车或开动相互独立的，且每台车床有60%的吋间开动，开动 吋需要消耗的电能为E.问至少要供给这个车间多少电能,才能以99.9%的概率 保证这个车间不致因为供电不足而影响生产。
解：
每台机床需电能E（启动）概率为0.6
/W=22
0,other
(1)系数a
(2)F(x) f(x)图形
(3)求P(0碎兰)
4
解：(1)由规范性：
Jf{x)dx=J：d coscbc = asinx ' ~2
—「；cosxdx =—sinx^ —
2 2 2
沦彳时，心)=1
0,x<--
2
1 1 —+—cosx,
2 2
1, X >—
2
15•问A为何值时,F(x) = A-e-x(^<x<oo)是一随机变量§的分布函数(设当
n= 730,佥=在加欠观察中生口在元旦的人数
求P（佥二4）二P（4 5佥〈5）
根据棣莫佛-拉普拉斯泄理：
364
npq = 2x— = ],9945
365
yfnpq= 1.41
4-2-2 5-232
p(^=<< Baidu Nhomakorabea=) = ——)-e(——)
\[npq yfnpq \{npqL411.41
= 0.06
eA(l-p)
k\
即函数为加的泊松分布。
6.设$与§2和互独立，并具有共同的儿何分布
#{$=£}=pqk（i = l,2;R= 0,1,2,……）
（1）证明：亠。
n+1
（2）求” =max{§,§2}的分布。
（3）求〃与$的联合分布。
卩(鉀常+a山冷/y二n心z”
啲+©2 4£p($=k)pG = “-k) p$pqkpqZ
其中£ =1、2、3・・・..
5.设某个动物生下r个蛋的概率是p(D —宀若每一个蛋能发育成 动物的概率是Q且各个蛋能否发育成小动物是彼此相互独立的。证明恰有k个后代的概率分布是具有参数为Ap的泊松分布。
证明；
令77表示恰有k个后代，k个后代是由于r个蛋孵化出来的，r»k・
那么据全概率公式得
P(?7=k)=工P(§= "P(77 = a|歹=厂)
(1)在一个给定的日子，必须调油船离开的概率.
(2)为90%的FI子里能容许安排所有的油船，现在的设备应增至儿台？(设 一台设备，只能给一艘船服务・)
(3)每天最可能到达的油船数是几艘？并求其概率.
解：
设油厂的油船数为纟
(1)必须调油船离开的概率P=n4)= £p/;2) = 0.142877
k=4