正态分布的概率密度与分布函数
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即有
(x) 1 ex2 2 ,
2π
Φ(x) 1 e x t2 2dt . 2π
标准正态分布的图形
标准正态分布分布函数的性质
(0)0.5; ( )1; ( x ) 1 (x ).
证明 Φ ( x ) 1 Φ (x ).
证明
x
Φ(x)
1
x2
e 2 dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
x
1
e
x2 2
dx，
2π
2π
1Φ(x).
[例1] 设X服从标准正态分布N(0,1), 求
(1 ) P (X 1 .9)6 ; ( 2 )P ( 1 .6 X 2 .5 ).
解：(1) P(X1.9)6(1.96)0.97;5
( 2 ) P ( 1 .6 X 2 .5 )
第四章 正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函 数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下， 某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的
和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
2π
2π
f (x)的图形如图所示 .
性质:
1曲线x关 对 于.称 这表明对于任 h意 0,
有 P { h X } P { X h } .
2当x
时取到最大f (值 )
1 2 π
.
3在x处曲线有;拐点
4曲线以 x轴为渐近; 线
5如果固定,改变 的值 , 则图形沿着Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
度曲 y线 f(x)的位置完全 所由 确 .参 称定数
为位置参数.
6当固定 μ,改变σ的大小,时 f (x)图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小, 图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
分布函数为
F(x) 1
xe(t2u2)2dt
2π
当0, 1时称X服从标准正态 . 分
其概率密度分 和别 分 (用 布 x)Φ , 函 (x)表 数示 ,
(2 .5 )( 1 .6 ) (2 .5 ) [ 1 ( 1 .6 )]
( 2 .5 ) 1 ( 1 .6 )
0 .99 1 3 0 .98452
0.93.90
正态分布概率的计算
P{Xx} F( x) 1
e dt x (t2σμ2)2
原函数不是 初等函数
2πσ
?
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
P(X2)2(2)10.954, 4 P(X3)2(3)10.99.73
说明： 若 X~N(,2), 则
P(X3) 1 P (X 3 )
10.9973 0.00270.00. 3
由此可知 X落在( 3 , 3 )之外的概率小于
3‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间
( 3 , 3 )看作是随机变量 X的实际 可能的取值
有 P {x 1X x 2}P x1X x2
Φ x2Φ x1.
[例2] 设随机变量 X服从正态分布N(1,22),求概率
P ( 1 .6 X 2 .4 ).
解：P ( 1 .6 X 2 .4 )(2.41)(1.61)
2
2
(0 .7 )( 1 .3 )
( 0 .7 ) [ 1 ( 1 .3 )]
0.75(8 10.90)32 0.61 6 2.
例3 设某城市成年男子的身高 X ~ N (170, 62 ) (单位 : cm) (1)求成年男子身高大于165cm的比例； (2)问应如何设计公共汽车车门的高度 ,使男子与 车门顶碰头的几率小于0.01 ?
解（1） P {X 1} 6 P 5 X 6 1 710 6 6 15 70
[例4] 设随机变量X服从正态分布N(,2), 求 X落
在区间 ( k , k )内的概率，这里 k1,2,3,.
解：
P(Xk) P ( k X k)
( k ) ( k )
(k) ( k)
(k ) [1 (k )]
2(k)1, k1,2,3,.
查附表2得
P(X) 2(1)10.682,6
区间.这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或 "3法则 ").
小结
1.正态分布N(,2)的概率密度：
f(x) 21πe(x22)2, x .
2.标准正态分布N(0,1)的概率密度与分布函数：
(x)
1
x2
e 2,
2π
.
Φ(x) 1
x t2
e 2d.t
2π
思考题
若随机变量 X~N(2,2),且 P (2 X 4 ) 0 .3 ,
则 P(X0)___.___
定理 若 X~N (,2),则 ZX ~N(0,1).
证 ZX的分布函数为
P{Zx}PX
xP {X x }
1
2π
xe(t22)2dt，
令t
u,得
P{Zx}1 2π
e x u2 2du Φ(x)
由此知 Z X ~N(0,1).
[定理] 设 X~N (,2),则对于任意(x区 1,x2间 ],
1(0.8)3 (0.83)0.79.67
(2)由题X设 ~N (1知 7 ,620 ),
P { X l } 1 P { X l }
1P X6170l6 17 0
1(l 17)00.01,
6
即 (l17) 00.99. 查表 l1 得 702.33 ,
6
6
故 l1.8 9(c 3 8)m .
令 (x)t,得到
1 e(x22)2dx
2
1
2
e t2 2dt，
记I et22dt, 则有I 2 e(t2u2)2dtdu
利用极坐标将它化成累次积分, 得到
I 2 2π rer22drd 2 π， 00
而I0, 故有 I2π , 即有 e t2 2dt 2π ,
于是
1
e(x22)2dx1 e t2 2dt 1 .
得到的.
正态分布的概率密度函数
若连续型随X机 的变 概量 率密度为 f (x) 1 e , (x2σμ2)2 x , 2πσ
其μ 中 ,σ(σ0)为常 ,则数 称 X服从参数 μ,σ为 的
正态分布或高斯分布. 记X 为 ~N (μ ,σ 2).
显f(然 x)0,下面来 f(证 x)dx明 1.
(x) 1 ex2 2 ,
2π
Φ(x) 1 e x t2 2dt . 2π
标准正态分布的图形
标准正态分布分布函数的性质
(0)0.5; ( )1; ( x ) 1 (x ).
证明 Φ ( x ) 1 Φ (x ).
证明
x
Φ(x)
1
x2
e 2 dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
x
1
e
x2 2
dx，
2π
2π
1Φ(x).
[例1] 设X服从标准正态分布N(0,1), 求
(1 ) P (X 1 .9)6 ; ( 2 )P ( 1 .6 X 2 .5 ).
解：(1) P(X1.9)6(1.96)0.97;5
( 2 ) P ( 1 .6 X 2 .5 )
第四章 正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函 数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下， 某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的
和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
2π
2π
f (x)的图形如图所示 .
性质:
1曲线x关 对 于.称 这表明对于任 h意 0,
有 P { h X } P { X h } .
2当x
时取到最大f (值 )
1 2 π
.
3在x处曲线有;拐点
4曲线以 x轴为渐近; 线
5如果固定,改变 的值 , 则图形沿着Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
度曲 y线 f(x)的位置完全 所由 确 .参 称定数
为位置参数.
6当固定 μ,改变σ的大小,时 f (x)图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小, 图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
分布函数为
F(x) 1
xe(t2u2)2dt
2π
当0, 1时称X服从标准正态 . 分
其概率密度分 和别 分 (用 布 x)Φ , 函 (x)表 数示 ,
(2 .5 )( 1 .6 ) (2 .5 ) [ 1 ( 1 .6 )]
( 2 .5 ) 1 ( 1 .6 )
0 .99 1 3 0 .98452
0.93.90
正态分布概率的计算
P{Xx} F( x) 1
e dt x (t2σμ2)2
原函数不是 初等函数
2πσ
?
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
P(X2)2(2)10.954, 4 P(X3)2(3)10.99.73
说明： 若 X~N(,2), 则
P(X3) 1 P (X 3 )
10.9973 0.00270.00. 3
由此可知 X落在( 3 , 3 )之外的概率小于
3‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间
( 3 , 3 )看作是随机变量 X的实际 可能的取值
有 P {x 1X x 2}P x1X x2
Φ x2Φ x1.
[例2] 设随机变量 X服从正态分布N(1,22),求概率
P ( 1 .6 X 2 .4 ).
解：P ( 1 .6 X 2 .4 )(2.41)(1.61)
2
2
(0 .7 )( 1 .3 )
( 0 .7 ) [ 1 ( 1 .3 )]
0.75(8 10.90)32 0.61 6 2.
例3 设某城市成年男子的身高 X ~ N (170, 62 ) (单位 : cm) (1)求成年男子身高大于165cm的比例； (2)问应如何设计公共汽车车门的高度 ,使男子与 车门顶碰头的几率小于0.01 ?
解（1） P {X 1} 6 P 5 X 6 1 710 6 6 15 70
[例4] 设随机变量X服从正态分布N(,2), 求 X落
在区间 ( k , k )内的概率，这里 k1,2,3,.
解：
P(Xk) P ( k X k)
( k ) ( k )
(k) ( k)
(k ) [1 (k )]
2(k)1, k1,2,3,.
查附表2得
P(X) 2(1)10.682,6
区间.这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或 "3法则 ").
小结
1.正态分布N(,2)的概率密度：
f(x) 21πe(x22)2, x .
2.标准正态分布N(0,1)的概率密度与分布函数：
(x)
1
x2
e 2,
2π
.
Φ(x) 1
x t2
e 2d.t
2π
思考题
若随机变量 X~N(2,2),且 P (2 X 4 ) 0 .3 ,
则 P(X0)___.___
定理 若 X~N (,2),则 ZX ~N(0,1).
证 ZX的分布函数为
P{Zx}PX
xP {X x }
1
2π
xe(t22)2dt，
令t
u,得
P{Zx}1 2π
e x u2 2du Φ(x)
由此知 Z X ~N(0,1).
[定理] 设 X~N (,2),则对于任意(x区 1,x2间 ],
1(0.8)3 (0.83)0.79.67
(2)由题X设 ~N (1知 7 ,620 ),
P { X l } 1 P { X l }
1P X6170l6 17 0
1(l 17)00.01,
6
即 (l17) 00.99. 查表 l1 得 702.33 ,
6
6
故 l1.8 9(c 3 8)m .
令 (x)t,得到
1 e(x22)2dx
2
1
2
e t2 2dt，
记I et22dt, 则有I 2 e(t2u2)2dtdu
利用极坐标将它化成累次积分, 得到
I 2 2π rer22drd 2 π， 00
而I0, 故有 I2π , 即有 e t2 2dt 2π ,
于是
1
e(x22)2dx1 e t2 2dt 1 .
得到的.
正态分布的概率密度函数
若连续型随X机 的变 概量 率密度为 f (x) 1 e , (x2σμ2)2 x , 2πσ
其μ 中 ,σ(σ0)为常 ,则数 称 X服从参数 μ,σ为 的
正态分布或高斯分布. 记X 为 ~N (μ ,σ 2).
显f(然 x)0,下面来 f(证 x)dx明 1.