(完整版)求函数定义域及值域方法及典型题归纳
函数定义域、值域、解析式习题及答案
函数定义域、值域、解析式习题及答案一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$先求分母的取值范围，$x+3\neq 0$，$x\neq -3$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。
然后考虑分子的取值范围，$x^2-2x-15$的值域为$(-\infty,-16]\cup [3,\infty)$，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$，$4-x^2$的值域为$[-4,\infty)$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-3)\cup (-3,1)\cup (1,3)\cup (3,\infty)$。
⑵ $y=1-\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{x^2-4}$先求分母的取值范围，$x^2-4\neq 0$，$x\neq \pm 2$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。
然后考虑分子的取值范围，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。
⑶ $y=x+1-\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}}$先求分母的取值范围，$x-1\neq 0$，$x\neq 1$；$4-x^2\neq 0$，$x\neq \pm 2$。
然后考虑分母的值域，$1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}>0$，即$\frac{2x-1}{x^2-4}>-\frac{1}{x-1}$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。
4）$f(x)=\frac{x-3}{x^2-2}$的定义域为$(-\infty,-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2},3)\cup (3,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)$。
求函数定义域、值域、对应关系(知识点+例题)pdf版
2
2
综上 1 y 1 ．
2
2
答案：[ 1 , 1 ] 22
（6）单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值 域．
例 17 求函数 y 4x 1 3x 的值域．
解析：由解析式知1 3x 0 ，即 x 1 3
4x 单调递增， 1 3x 也递增，则 y 4x 1 3x 在定义域内单调递增
x3
x3
答案：{y | y 2}
（5）判别式法：把函数转化为关于 x 的二次方程，通过方程有实根，判别式 0 ，从而 求得原函数的值域．
例 15
求函数
y
3x x2
4
的值域．
解析：将函数化为 yx2 3x 4y 0
原函数有意义，等价于此方程有解
y 0 时， x 0 有解符合题意
y 0 时，判别式 9 16y2 0 ，解得 3 y 0或0 y 3
{x | x 0}
R 决定 [1,1] [1,1]
R (, 2 k ) (2 k , )
2．函数的定义域的求法
函数的定义域就是使得整个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．
（1）求定义域注意事项：★
①分式分母不为 0；
②偶次根式的被开方数大于等于 0；
③零次幂底数不为 0；
④对数的真数大于 0；
例 21 已知 f ( 2 1) lg x ，求 f (x) 的解析式． x
解析：令 2 1 t ，则 x 2 且 t 1
x
t 1
带入原式得 f (t) lg 2 (t 1) t 1
f (x) lg 2 (x 1) ． x 1
答案： f (x) lg 2 (x 1) x 1
例 22 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x) 的解析式．
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
函数的定义域和值域的求法
(题型二) :已知f gx的定义域,求f (x)的定义域
例2.已知f 2x 1的定义域 (1,5], 求f (x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
f (x)的定义域为 3,9
变式练习
已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
2、求函数的值域通常有： （１）直接法； （２）分离常数法； （3）图像法；（4）判别式法；（5）换元法
方法一、直接法（观察法）
例1，（1）已知函数f(x)=2x－3, x∈{0,1,2,3,5},求f(x)的值域
（2）已知函数y=-2x+1,x∈（3,6），求该函 数的值域
变式练习：求下列函数的值域：(观察法)
x2-x+3 x2-x+1
的值域
方法归纳：形如y= aa12xx22++bb12xx++cc1（2 a1≠0或a2 ≠0) 的值域的求法。一般可用判别式△≥0求得。
练习：1 求函数y= 2 求函数y=
3x x2+4 的值域 2x2+4x-7 x2+2x+3 的值5 x 3x 1
函数的定义域指自变量的取值集合。 中学数学中涉及的求定义域问题一般 有两大类：一类是求初等函数的定义 域问题；一类是求抽象函数的定义域 问题。
使函数有意义的x的取值范围
1、整式： R 2、分式： 使分母不为0的x的集合 3、偶次根式：被开方式≥0
4、零次幂式： 底式不等于0 5、几个因式的和（差、积）的形式：列方程组（不等
解 ： 令t 3x 1,则x 1（t 2 1) 3
且t 0,
函数值域的求法及例题
函数值域的求法及例题
函数值域是一个重要的概念。
它指函数的定义域中的所有可能函数值的集合。
了解函数值域的求法，可以帮助我们更有效地使用函数，对解决实际问题也很有帮助。
函数值域的求法有两种：直接和间接。
直接求法：如果可以确定函数的解析式，则可以直接求出函数值域。
具体步骤如下：
(1) 求函数定义域：即可以使用此函数的所有自变量x的取值范围
(2)求函数值域：即当自变量x在定义域内任意取值时，函数的值的取值范围。
例子：若函数：y=3x+2，
它的定义域为x∈R
那么，函数值域就是y∈R
间接求法：当不能确定函数的解析式时，可以采用间接的求法，即分情况求解。
即将函数定义域上的所有取值情况分类讨论，将其分解为一些能求出函数值域的子问题。
例子：若函数：y=x²，
它的定义域为x∈R
这里分情况讨论：
当x ≥ 0 时，y ≥ 0；
当 x＜0 时，y＜0；
即函数值域为y∈[0，+∞) ∪ (-∞，0]，
总之，了解函数值域的求法是有必要的，有助于我们理解函数的概念，也有助于解决各种函数问题。
完整版)高一数学函数经典习题及答案
完整版)高一数学函数经典习题及答案函数练题一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y = (x-1)/(2x^2-2x-15)⑵y = 1-[(2x-1)+4-x^2]/[1/(x+1)+1/(x+3)-3]2、设函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x-2)的定义域为[-2,-1]；函数f(2x-1)的定义域为[(1/2,1)]。
3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域为[-3/2,2]；函数f(2)的定义域为[1,4]。
4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，且函数F(x) = f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴y = x+2/x-3 (x∈R)⑵y = x+2/x-3 (x∈[1,2])⑶y = 2/(3x-1)-3/(x-1) (x∈R)⑷y = (x+1)/(x+1) if x≥5y = 5x^2+9x+4/2x-6 (x<5)⑸y = (x-3)/(x+2)⑹y = x-3+x+1⑺y = (x^2-x)/(2x-1)(x+2)⑼y = -x^2+4x+5⑽y = 4-1/(x^2+4x+5)⑾y = x-1-2x/(2x^2+ax+b)6、已知函数f(x) = 2x+1/(x∈R)的值域为[1,3]，求a,b的值。
三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1) = x-4x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式。
2、已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1) = 2x-4x，求f(x)的解析式。
3、已知函数2f(x)+f(-x) = 3x+4，则f(x) = (3x+4)/5.4、设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x) =x/(1+x)，则f(x)在R上的解析式为f(x) = x/(1+x)-2/(1-x^2)。
5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x) = 3x，则f(x) = x，g(x) = 3x-x^3.四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴y = x+2/x+3⑵y = -x^2+2x+3⑶y = x-6/x-127、函数f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数，则f(1-x)的单调递增区间是(0,1]。
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
函数的定义域与值域求法典型例题(解析版)
专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。
x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。
二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。
（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。
其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。
例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。
2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。
2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。
例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。
解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。
即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。
三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。
高中函数定义域、值域经典习题及答案
高中函数定义域、值域经典习题及答案1、求函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$首先要注意分母不能为0，所以$x\neq-3$和$x\neq1$。
又因为分式中有$x-1$的项，所以还要满足$x\neq1$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-3)\cup(-3,1)\cup(1,+\infty)$。
⑵ $y=1-\frac{1}{x+1}$分母不能为0，所以$x\neq-1$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$。
⑶ $y=\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}}+\frac{2x-1}{2-x^2}$分母不能为0，所以$x\neq1$。
分式中有$x-1$的项，所以还要满足$x\neq1$。
分母不能为0，所以$x\neq\pm\sqrt{2}$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2},1)\cup(1,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$。
2、设函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，则函数$f(x+2)$的定义域为$[2,3]$；函数$f(2x)$的定义域为$[0,\frac{1}{2}]$。
3、若函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[-\frac{5}{2},2]$；函数$f(-2)$的定义域为$[-3,-1]$。
4、知函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，且函数$F(x)=f(x+m)-f(x-m)$的定义域存在，求实数$m$的取值范围。
由于$F(x)$的定义域存在，所以$f(x+m)$和$f(x-m)$的定义域都存在，即$x+m\in[-1,1]$，$x-m\in[-1,1]$。
解得$-1-m\leq x\leq1-m$，$m-1\leq x\leq m+1$。
函数定义域、值域经典习题及答案
函数定义域、值域经典习题及答案1、求函数的定义域⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$，化简得 $y=\frac{x-5}{x-3}$，所以定义域为 $(-\infty,-3)\cup(3,5)\cup(5,\infty)$。
⑵$y=1-\frac{1}{x-1}$，要使分母不为0，所以$x\neq1$，即定义域为 $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$。
⑶ $y=\frac{1}{1+x-1}+\frac{2x-1+4-x^2}{2}$，化简得$y=\frac{5-2x-x^2}{2(1+x-1)}=\frac{-x^2-2x+5}{2x}$，要使分母不为0，所以 $x\neq0$，即定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$。
2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，则 $f(x^2)$ 的定义域为 $[0,1]$，$f(x-2)$ 的定义域为 $[-3,-1]$。
若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则 $f(2x-1)$ 的定义域为 $[-\frac{1}{2},2]$，$f(-2)$ 的定义域为 $[-3,-1]$。
3、根据复合函数的定义，要使 $f(x+1)$ 有定义，$x+1$ 必须在定义域 $[-2,3]$ 中，即 $-2\leq x+1\leq 3$，解得$-4\leq x\leq 2$。
同理，要使 $f(2x-1)$ 有定义，$2x-1$ 必须在$[-2,3]$ 中，即 $-\frac{1}{2}\leq 2x-1\leq 3$，解得 $-\frac{1}{2}\leq x\leq 2$。
要使 $f(-2)$ 有定义，$-2$ 必须在 $[-2,3]$ 中，即 $-2\leq -2\leq 3$，显然成立。
根据 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，$f(x+m)$ 和 $f(x-m)$ 的定义域也必须在 $[-1,1]$ 中，即 $-1\leq x+m\leq 1$，$-1\leq x-m\leq 1$，解得 $-m-1\leq x\leq m-1$。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tan y x =的定义域是{,x x R ∈且,2x kx k Z π⎫≠+∈⎬⎭； （6）已知()f x 的定义域求解()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法： （1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解 思路提示对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 二、给出函数解析式求解定义域 例2.10 函数ln 1x y +=的定义域为（ ）．A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解解析 210,340x x x +>⎧⎨--+>⎩得11x -<<，故选C变式1 函数()1y x =- 的定义域为（）A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1] 变式2求函数()2f x = 的定义域.三、抽象函数定义域已知()f x 的定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域. 解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同. 例2.11 （1）已知函数()f x 的定义域为（0，1）求()2f x 的定义域 （2）已知函数()2f x 的定义域为（2，4）求()f x 的定义域 （3）已知函数()2f x 的定义域为（1，2）求()21f x +的定义域.分析 已知函数()f x 的定义域为D ，求函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定又域'D ，只需(){}'D x g x D =∈;已知函数()f g x ⎡⎤⎣⎦ 的定义域'D ,求函数了()f x 的定义域，只需(){},'D t t g x t D ==∈，即求()g x 的值域.解析 （1）()f x 的定义域为（0，1），即0<x<1.故201x <<，所以11x -<<且x ≠0，所以()2f x 的定义域为()()1,00,1-(2) ()2f x 的定义域为(2，4).即2<x<4.所以4<2x <16，故()f x 的定义域为（4，16）；（3）因为()2f x 的定义域为（1，2）即1＜x ＜2，所以1＜2x ＜4，故需1＜2x ＋1＜4．所以0＜x ＜32， 故()21f x +的定义域为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭评注 定义域是对自变量而言的，如()2f x 的定义域为（1，2）指的是x 的范围而非2x 的范围. 变式1 已知函数()2x f 的定义域是［0，1］，求()21f x -的定义域． 变式2设()2lg2xf x x+=-，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为（） A(-4,0)U(0，4) B ()()4,41,4-- C. ()()2,11,2-- D ()()4,22,4--三、实际问题中函数定义域的求解例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝()f x ，并写出其定义域.分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.解析 由题意：2,,CD x CD x π==于是122x xAD π--=，因此()212222x x x y f x x ππ--==•+ ，化简即为24.2y x x π+=-+又根据实际应有201202x x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩,得102x π<<+，即所求函数的定义域为10,2π⎛⎫ ⎪+⎝⎭评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域 题型2 函数定义域的应用思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.例2.13若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围为_____.分析 函数()f x 的定义域为R,即2221x ax a+-- ≥0在R 上恒成立，再利用指数函数的单调性求解解析 由题意知2221x ax a+--≥0在R 上恒成立,所以220212xax a+-≥=,即有220x ax a +-≥恒成立,其等价于△=244010a a a +≤⇒-≤≤, 则实数a 的取值范围为[―1,0] 变式1 若函数()2143f x ax ax =++的定义域是R ，求则实数a 的取值范围是（）A.{}a a R ∈ B.304a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ C.34a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ D.304a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭变式2 函数()2lg 1y ax ax =-+ 的定义域是R,求a 的取值范围.变式3若函数y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 题型3 函数值域的求解思路提示 函数值域的求法主要有以下几种(1)观察法:根据最基本函数值域（如2x ≥0,0xa >及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如()20y ax bx c a =++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y ax b =+转化为二次型函数.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y Ax B =+ ，c bx ax++2或fex d c bx a y x x ++++=22的函数值域问题可运用判别式法（注意x 的取值范围必须为实数集R ）.(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如d cx b ax y +++=或d cx b ax y +++=的函数，当ac>0时可利用单调性法.（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y 的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.(10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域. 一 观察法 例 2.14 求函数1+=x y 的值域.分析 由观察法直接得到函数的值域.解析 因为0≥x ，所以函数的值域为),1[+∞. 变式1 函数)(122R x y x x ∈+=的值域是 . 变式2 函数)(1||||R x x x y ∈+=的值域是 . 二 配方法例 2.15 求函数xx y 245-+=的值域.分析 对于根式中的二次函数，利用配方法求解. 解析 由0452≥-+xx ，得]5,1[-∈x .[0,3]y ==.变式1 求函数)1(11)(x x x f --=的值域.变式2 求x x x f -++=53)(的值域. 变式3 设函数)0()(2<++=a c bx a x f x 的定义域为D ，若所有点),()),(,(D t s t f s ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）.A -2B -4C -8D 不能确定 三 图像法（数形结合）例 2.16 求函数y =.分析 由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和. 解析 如图2-4所示，1)1(1)1(2222+++=-+x x y ，所示动点P （x,1）到两定点A （-1,0）和B（1,0）的距离之和，作点B （1,0）关于直线y=1的对称点,(1,2)B ，连接B¹A 交y=1于点P¹（0,1）,此时AB¹的长即为PA 与PB 的长之和的最小值，点P¹（0,1）到A,B 两点的距离之和为[,+∞﹚.评注 本题中也可看着动点P （x,0）与两定点A¹(-1,1),B¹(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA¹|+|PB¹|'''||A B ≥=|PA¹|+|PB¹|的最小值为.变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 变式2函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ）.A2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B []1,0- C⎡⎤⎣⎦ D⎡⎤⎣⎦变式3函数()f x =的值域是（ ）.A6655⎡⎢⎣⎦ B6355⎡⎢⎣⎦ C2⎤⎥⎣⎦D⎡-⎢⎣⎦四 基本不等式法例2.17 已知x>2,求函数245()24x x f x x -+=-的值域.解析 令24(0,)t x =-∈+∞,则42t x +=， 224445412244t t t t y t t t ++⎛⎫-⨯+ ⎪+⎝⎭===+≥1=（当且仅当14t t=，即t=2,x=3时取等号）.故函变式1 求函数11y x x =++的值域. 五、换元法（代数换元与三角换元）【例2.18】求函数]2,1[,3243)(-∈+-⋅=x x f xx的值域.解析 令]2,1[,2-∈=x t x，则]4,21[∈t ，得]4,21[,332∈+-=t t t y .因为函数332+-=t t y 的对称轴61=t ，所以函数在区间]4,21[上单调递增，所以值域为]47,413[.故函数)(x f 的值域为]47,413[.变式1：求函数x x y -+=2的值域.变式2：求函数22x x y -+=的值域.六、分离常数法【例2.19】求212++=x x e e y 的值域.分析 本例中的函数是关于xe 的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.解析 由题意得2322342112+-=+-+=++=x x x x x e e e e e y ，因为0>xe ，所以23230<+<xe . 223221,02323<+-<<+-<-x x e e ，故值域为)2,21(.变式1：求函数153--x x y 的值域.变式2：求函数66522-++-=x x x x y 的值域.七、判别式法【例2.20】求函数2211x x y x x -+=++的值域.解析 因为043)21(122≠++=++x x x 恒成立，所以函数的定义域为R. 原式可化为1)1(22+-=++x x x x y .整理得01)1()1(2=-+++-y x y x y .若1=y ，即02=x ，即0=x ；若1≠y ，因为R x ∈，即有0≥∆，所以0)1(4)1(22≥--+y y ，解得331≤≤y 且1≠y .综上所述，函数的值域为]3,31[.变式1：已知函数1)(2++=x bax x f 的值域为]4,1[-，求b a ,的值.变式2：已知函数18log )(223+++=x nx mx x f 的定义域为R ，值域为]2,0[，求n m ,的值.八、单调性法 【例2.21】求函数11++-=x x y 的值域.解析 由函数的定义域为),1[+∞，且函数11++-=x x y 在区间),1[+∞上单调递增.当1=x 时，2=y ，所以函数的值域为),2[+∞.变式1：求函数11--+=x x y 的值域.变式2：函数x x x f 3245)(---=的值域是_______________.变式3：求函数225222+++++=x x x x y 的值域.变式4：求函数225222++-++=x x x x y 的值域.九、有界性法【例2.22】求函数)(2222R x x x y ∈+=的值域. 解析 解法一（有界性法）：由题意可得y x y x y yx x x y 2)2(222222222-=-⇒=+⇒+=，即有222--=y y x ，由R x ∈，可知02≥x ，故0222≥--=y y x ，可得20<≤y ，因此所求函数的值域为)2,0[. 解法二（分离常数法）：24224)2(2222+-=+-+=x x x y ，由Rx ∈，可知222≥+x ，故22402≤+<x ，因此函数的值域为)2,0[.变式1：已知函数])1,0[(22∈+=x e e y xx，求函数的值域.变式2：已知函数34)(,1)(2-+-=-=x x x g e x f x，若有)()(b f a f =，则b 的取值范围为（ ）]22,22.[+-A )22,22.(+-B ]3,1.[C )3,1.(D【例2.23】已知π<<x 0，求函数xxy sin cos 2-=的值域.解析 由x x y cos 2sin -=，得2cos sin =+x x y 2)sin(12=++⇒ϕx y ，且y1tan =ϕ，故112)sin(2≤+=+y x ϕ.得3≥y 或3-≤y .又0sin ),,0(>∈x x π，0cos 2>-x ，则0>y .故3≥y .因此函数的值域为),3[+∞.评注 本题也可以用数形结合思想求解，设x v x u cos ,sin =-=，则y 的几何意义为点)2,0(与点),(v u 所确定直线的斜率，其中),(v u 为单位圆在y 轴左侧部分.变式1：已知)2,0[π∈x ，求函数xxy cos 2sin 1--=的值域.十、导数法【例2.24】求函数])3,3[(12)(3-∈-=x x x x f 的值域.解析 由0312)('2=-=x x f ，得2,221=-=x x .由表21-看出，)(x f 的最大值)(,16)}2(),3(m ax {)(max x f f f x f =-=的最小值16)}3(),2(m in{)(min -=-=f f x f ，故)(x f 的值域为]16,16[-.()()()2-133,222,222,33()00()99x f x f x -----'-+--表极小值极大值评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.变式1：若函数cx bx x y ++=23在区间]0,(-∞及),2[+∞上都是增函数，而在)2,0(上是减函数，求此函数在]4,1[-上的值域.最有效训练题1.已知R a ∈，则下列函数中定义域和值域都可能是R 的是（ ）a x y A +=2. 1.2+=ax y B 1.2++=x ax y C 1.2++=ax x y D 2.若函数344)(2++-=mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）R A . )43,0.(B ),43.(+∞C )43,0.[D3.定义域为R 是函数)(x f y =的值域为],[b a ，则函数)(a x f y +=的值域是（ ） ],2.[b a a A + ],0.[a b B - ],.[b a C ],[b a a +-4.函数x y 416-=的值域是（ ）),0.[+∞A ]4,0.[B )4,0.[C )4,0.(D5.设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=))(()())((4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）),1(]0,49.[+∞-A ),0.[+∞B ),49.[+∞-C ),2(]0,49.[+∞- D 6.对任意两实数b a ,，定义运算“*”如下：⎩⎨⎧>≤=)()(*b a b b a a b a 若若，函数x x x f 221log *)23(log )(-=的值域为（ ）)0,.(-∞A ),0.(+∞B ]0,.(-∞C ),0.[+∞D 7.函数)2lg(1x x y -++=的定义域是________________.8.函数],0[,2sin 1cos π∈--=x x x y 的值域为________________.9.若函数)(x f y =的值域为]3,1[，则函数)3(21)(+-=x f x F 的值域是____________. 10.已知函数430(2--=x x x f ，定义域为],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是_________________. 11.求下列函数的定义域. （1）1||212-+-=x x y ；（2）02)45()34lg(-++=x x x y ；（3）x x y cos lg 252+-=；（4）)34(log 25.0x x y -=； （5）xey -=11；（6）229)2lg()(xx x x f --=；（7）已知函数)(x f 的定义域是]4,2[-，求)3(2x x f -的定义域； （8）已知函数)1(+x f 的定义域为]3,2[-，求)22(2-x f 的定义域.12.求下列函数的值域.（1）)30(1422≤≤+-=x x x y ； （2）xxy 2121+-=； （3）2234x x y -+-=；（4）x x y 212-+=；（5）21x x y -+=；（6）xx y sin 2sin -=； （7）)1)(111(log 5.0>+-+=x x x y ； （8）1322+-+-=x x x x y .。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。
二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。
题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。
二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。
A。
$(-4,-1)$ B。
$(-4,1)$ C。
$(-1,1)$ D。
$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。
解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。
解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。
故选C。
变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。
A。
高中数学求解函数的定义域和值域的基本方法(附例题)
求解函数定义域和值域的基本方法（附例题）一、求解函数的定义域函数定义域，即函数自变量的取值范围。
在具体题目中，有求解具体函数和抽象函数的定义域两类。
针对不同类型的题目，解题方法也不相同。
1、求解具体函数的定义域在给定函数的定义域求解过程中，要善于挖掘题目中的隐含条件，并以此求解得出正确答案。
一般隐含条件有以下几点： （1）整式函数的定义域为:R （全体实数） （2）分式函数中，分母不等于0（3）含偶次根式的函数中，被开方数大于或等于零 （4）指数函数的定义域：R（5）对数函数的定义域：（0，+∞）（6）幂函数中，当指数为-1、0时，底数不得为零[)∞+≥≥≥--=，的定义域为综上所述，解得：有意义，要使解：的定义域函数求示例一：2)(2,1log 01log )(1log )(222x f x x x x f x x f解题步骤：①列出使函数有意义的不等式（组） ②解不等式（组）③若为不等式组，在取交集时借助数轴，表明是否取端点值④汇总，写成集合形式（注意区间的开闭） 练习一：的定义域求函数321)2(log 1)(21-+-=x x x f2、抽象函数的定义域一直以来 ，抽象函数是高考热点。
抽象函数中，内层函数的值域是外层函数的定义域，在计算抽象函数的定义域时，一定要多留意。
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤≤-≤+≤+3,21)(3219322)32(,9,2)(的定义域为综上所述，解得：由题意可知：解：的定义域求的定义域为若函数示例二：x f x x x f x f解题步骤：1、若已知y= f(x) 的定义域 [a,b] , 则复合函数 y=f[g(x)] 的定义域由 a ≤g(x)≤b 解得2、若已知复合函数 y=f[g(x)] 的定义域为 [a,b] ，则y= f(x) 的定义域为函数g(x)在 [a,b]上的值域 练习二：[]的定义域，求的定义域为已知函数1)2()(g 2,0)(2-=x x f x x f3、求自变量取值范围在一定条件下，求自变量取值范围，是基于定义域上的一类考题。
函数定义域值域经典习题及答案练习题
函数定义域值域经典习题及答案练习题1.求函数的定义域1) 求下列函数的定义域：a) $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$b) $y=1-\frac{1}{x-1}$c) $y=\frac{1}{1+(x-1)}+\frac{(2x-1)+4-x^2}{2}$2) 设函数$f(x)$的定义域为$[0.1]$，则函数$f(x^2)$的定义域为$[0.1]$；函数$f(x-2)$的定义域为$[-2.1]$；函数$f(x+1)$的定义域为$[-2.3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[0.5]$；函数$f(-2)$的定义域为$[0.1]$。
3) 已知函数$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$，则函数$f\left(\frac{1}{x}\right)$的定义域为$x\neq0$。
2.求函数的值域5) 求下列函数的值域：a) $y=x^2+2x-3$，$x\in\mathbb{R}$b) $y=x^2+2x-3$，$x\in[1.2]$c) $y=\frac{3x-1}{x+1}$d) $y=\begin{cases}0.& x<5\\ \frac{1}{x+1}。
& x\geq 5\end{cases}$e) $y=\frac{5x^2+9x+4}{x^2-1}$f) $y=x-3+x+1$g) $y=x^2-x$h) $y=-x^2+4x+5$i) $y=4-\frac{x^2+4x+5}{x^2-1}$6) 已知函数$f(x)=\frac{2x^2+ax+b}{x^2+1}$的值域为$[1.3]$，求$a$和$b$的值。
3.求函数的解析式1) 已知函数$f(x-1)=x^2-4x$，求函数$f(x)$和$f(2x+1)$的解析式。
2) 已知$f(x)$是二次函数，且$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$，求$f(x)$的解析式。
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函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数 yf x 中的自变量 x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面下手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于 0。
（4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1（5）y=tanx 中 x ≠k π+π/2； y=cotx 中 x ≠k π等等。
( 6 ) x 0 中 x 0二、值域是函数 yf x 中 y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （ 1）直接法 （2）图象法（数形联合） （3）函数单一性法（ 4）配方法 （5）换元法 （包含三角换元） （6）反函数法（逆求法）（ 7）分别常数法 （8）鉴别式法 （9）复合函数法（ 10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯串了高中数学的一直。
三、典例分析1、定义域问题例 1 求以下函数的定义域：① f ( x)1f ( x) 3x 2 ；③ f ( x)x 11；②2 xx 21解：①∵ x-2=0 ，即 x=2 时，分式无心义，1 x 2而 x 2 时，分式存心义，∴这个函数的定义域是x | x2 .2x②∵ 3x+2<0 ，即 x<-2时，根式3x 2 无心义，3而 3x 20 ，即 x2 2 才存心义，时，根式 3x32 ∴这个函数的定义域是{ x | x}.31③∵当 x1 0且2 x 0 ，即 x1 且 x2 时，根式 x1 和分式同时存心义，{ x | x 1 且 x 2 }2x∴这个函数的定义域是另解：要使函数存心义，一定：x 1 0 x 12 xx 2例 2 求以下函数的定义域：① f ( x)4 x 21② f (x)x 2 3x 4x 1 2③ f ( x)1 1111x⑤ yx2313x 73解：①要使函数存心义，一定：( x1) 0④ f ( x)x x4 x 2 1即：3x 3∴函数 f (x)4 x 21 的定义域为： [3, 3 ]②要使函数存心义，一定： x 23x 4 0x 4或 x 1x 1 2x3且 x 1x3或 3 x1或 x 4∴定义域为： { x| x3或 3 x1或 x 4}x1x③要使函数存心义，一定：1 0 x 1xx111 0211x1}∴函数的定义域为：{ x | x R 且 x 0, 1,2④要使函数存心义，一定：x 1 0x 1xxx 0∴定义域为：x | x1或 1xx 2 3 0x R⑤要使函数存心义，一定：x73x737 或x>7 ∴定义域为： { x | x 7}即 x<333例 3若函数 yax 2ax 1 的定义域是 R ，务实数 a 的取值范围a解：∵定义域是R,∴ ax 2ax1 0恒建立，a∴ 等价于a 010 a2a 24aa例 4 若函数 yf (x) 的定义域为 [ 1， 1]，求函数 yf (x1) f ( x 1 ) 的定义域44解：要使函数存心义，一定：1 x15 314x33441 3 5 x41 x41 4x44∴函数 y f (x1) f ( x1) 的定义域为：x | 3x 3444 4例 5 已知 f(x) 的定义域为 [－1，1]，求 f(2x －1)的定义域。
史上最全面的函数定义域值域求法好题集含详解
史上最全面的函数定义域、值域的求法好题集一、单选题1 .函数y = ∕（x+l ）的值域是[-2,3],则函数y = "x-2）的值域是（ ）A. [-1,4]B. [1,6]C. [-2,3]D. [-3,2]2 .己知函数/（1）=1。
82（--+6工+ 7）的值域记为集合4,函数g （χ） = Ji6-0的值域为B ,则有（），・/、 sin4x + √3cos4x 八函数∕(x) == ----------- - ------- 的值域为()sin2x-√3 cos 2xg(x) + x+4,x< g(x)、 :、，则函数/(幻的值域 g(x)-x,x≥g(x)—Q.CUC + 3cι +1, x < 1,, , 的值域为R,则实数。
的取值范围是（）A. （一2,2）B. (-U )C. [-M]D. [-2,2]6. 函数∕∙（χ）二工-2+2-』在区间（0,4]上的值域为（A.xc / 15η B∙ (-∞,-]4C∙ [|，2] D. (—8,2]A.9、[一:，+8）4 B. 9 —,0(1,÷∞)4C. 97一二,。
（二,+8）4 4 D∙ 9—,0 D (2,+”5) 4 A. β⊂QΛB. A ⊂ C κBC. Au83∙ 若函数V= ∕（Λ）的值域为则函数 ∕7(.v)∕(.v) +的值域为（） /（二）A.B. C.5 1() 2 ’ 3D.4.已知函数∕(x) = lnx-0r 2+(4z-l)x + 6z(4z > 0)的值域与函数∕(∕(x))的值域相同，则。
的取值范围为（A. (0』B.(L+8)C.D. 4一,+835. 7. 8. 已知∕(x) =lnx,x≥∖A. (-00,-1]B. (-1,0)C. [-1,0)D. [-1,09.己知函数 ∕(x) = ------ --- 2sinx + 3x'在区间[-2,2]的值域为, ∣jiιj m+n =3Λ +1 ()取值范围是()A. (l,+∞)B. (2,+∞)cosx. x<a,11.若函数∕(x) = { 1 的值域为［T1］,则实数4的取值范围是(),x a x A. [l,+oo) B. (―00,—1]C. (0, 1] D∙ (—1,0)12 .已知函数八力的定义域A ，值域是3 = {y ∣Q<y≤M' g(x)定义域C,值域是 3 = {y c≤ y≤d^.甲：如果任意再wA,存在々£0,使得/(5)二g(毛)，那么4口。
(精华)函数定义域与值域经典题型归纳总结讲义学生版(无答案)
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。
(形如：2()x f x x=) 练习1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2.抽象函数（没有解析式的函数） 解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。
总结为： （1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围； （2）在同一个题中x 不是同一个x ；（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。
（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。
例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。
练习2、设函数()f x 的定义域为[01]，，则函数2()f x 的定义域为__________；函数2)f 的定义域为_________；3、若函数(1)f x +的定义域为[23]-，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
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<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A 到B 的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。
（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。
二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。
(形如：2()x f x x=) 2.抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。
总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围；（2）在同一个题中x 不是同一个x ；（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。
（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。
例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。
解：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；（及其中x 的取值范围是[-1,1]）∴012x ≤+≤ ； （x+1的取值范围就是括号的取值范围） ∴f(x)的定义域为[0,2]；（f 不变，括号的取值范围不变）∴f(2x-1)中0212x ≤-≤ ∴1322x -≤≤ ∴f(2x-1)的定义域为13|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ 3.复合函数定义域复合函数形如：(())y f g x =,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。
例2：()(2,3),()(1)(2),f xg x f x f x -=++-若函数的定义域为求g(x)的定义域。
分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。
此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。
解：由f(x)的定义域为（-2,3），则f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）；3204x x -<<⎧∴⎨<<⎩，解得0<x<2 所以，g(x)的定义域为（0,2）.（二）求定义域的典型题1.已知函数解析式（1）求下列函数的定义域211 (1)();(2)()(1)();31xf x f x x f xx x-==+=+-22(23)11(4)()(1);(5)()log();(6)()42xxf x x f x x f xx+-=-=-=+-（2）求下列函数的定义域(1)()()12(3)()()f x f xxf x f x==-==(3)与函数定义域有关的问题题①若函数224()(21)xf xx m x m-=+++的定义域为R，求实数m的取值范围。
②函数y=的定义域为R，求k的取值范围。
③函数()f x=R，求m的取值范围。
2.求抽象数定义域①若函数f(x)的定义域为（-2,6），求1(1)2f x-的定义域。
②若数()f x的定义域为[0,2],求函数(2)()1f xg xx=-的定义域。
③若数(1)f x-的定义域为[-1,2],求函数()(2)g x f x=+的定义域。
④若函数()f x的定义域为[0,1],1()()(),()2g x f x a f x a a=++-≤，求函数g(x)的定义域。
⑤若()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-，(0,1)a a >≠且，令 F （x ）=f(x)-g(x),求F （x ）的定义域。
二、求函数值域（一）求函数值域方法和情形总结1.直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y 值的取值范围。
2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。
总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a ；（2）a 不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。
例1：求2()46f x x x =-+在[1,5]上的值域.解：配方：2()(2)2f x x =-+f(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间 min (2)2y f ==（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）max (5)11y f ==所以，f(x)的值域为[2,11].3.分式型（1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x 的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。
具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为d y a bx c =++。
例2：51()42x f x x -=+求的值域. 解：510(42)1515744()424242(42)x x f x x x x +---===-+++由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到54， 即：函数f(x)的值域为5{|}4y y ≠. 跟踪练习：已知(]2()4(1)3(0,2)f x ax a x x =++-∈在x=2处有最大值，求a 的取值范围.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）利用20x ≥来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现2x 形式，此时由于为平方形式大多时候x 可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。
例3：求函数2231()2x f x x -=+的值域. 解：由于22x +不等于0，可将原式化为22231yx y x +=-即 2(3)12y x y -=--（由于20x ≥）只需3y ≠,则有21203y x y --=≥-3)y -(12)0y --≥ 所以，函数值域1,32y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. （3）方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x 又出现2x 混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。
对于其中定义域为R 的情形，可以使用根的判别式法。
例4：求函数221x y x =+的值域解：由于函数的定义域为R ，即210x +≠原式可化为 220yx x y -+=（由于x 可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x 会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）所以，2440y ∆=-≥所以，函数值域为[]1,1y ∈-跟踪练习：求下列函数值域 （1）11y x =+ （2）2211x y x -=+ （3）211y x =+ 22(4)36x y x x +=++ （5）若2328log 1mx x n y x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求常数m,n 的值（m=n=5）4.换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。
而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。
注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。
例5：求函数()2f x x =解：令20,1t t x t =≥=+则，带入原函数解析式中得 2221152(1)222()48y t t t t t =+-=-+=-+因为，0t ≥所以，函数的值域为15,8y ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 跟踪练习：求下列函数的域（1）22sin 3cos 1y x x =-- （2）21y x =++（3）sin cos sin cos y x x x x =++，（令t=sin cos x x +）(4) []4=3cos (0,))y x x θθπ=++∈令。