平面向量的平行与垂直
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AP (2, 1), AC (8, 4) 4AP
又 BP、BD 共起点B ， AP、AC 共起点A，
则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。
a、b是不共线的两个非零向量，OM ma ，ON nb
OP a b ，其中m、n、、 R ，且 mn 0
，若M、P、N
三点共线，则
m
n
=
1
.
4. 平面上三个向量 a,b, c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(a
b)
⊥c
已知 O 为 ABC 所在平面内一点，满足OA 2 BC 2
OB
2
2
CA
OC
2
AB
2
，则点 O
是 ABC的
__垂___心
。
例4：设向量a (4cos,sin), b (sin ,4cos),
x1y2 x2 y1 0
(b 0)
ab
a b 0 x1x2 y1y2 0
(a 0, b 0)
一、基础训练 1.已知平面向量 a (3,1),b (x, 3), a // b,则x
等于_____-_9______
2.已知平面向量a=（1,－3），b =（4,－2），
a b 与 a 垂直，则是_____-_1______
t4
4
故当t=-2时， k t 2
t
a 7
4
有最小值 7
4
4
小结
1.向量的平行（共线）和垂直是向量夹角的两个特殊
情形：两向量平行（共线）即向量的夹角为0或 ，
两向量垂直即向量的夹角为 ，无论是符号语言
2
还是坐标语言，它们都可以通过向量的数量积来刻画。 2.证明将三点共线转化为过共起点的向量共线。
平面向量的平行与垂直
衡东县第五中学
罗江英
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义： 方向 相同或相反 的非零向量叫平行向量。
记作 a∥ b；
2. 垂直向量定义： 若 、两个非零向量所成角为 90 ，则称这两
个向量垂直。记作 a⊥ b
3.平面向量的平行与垂直的判定
向量关系式 坐标关系式
a // b
a b
是_______1__.
7.设A（4，1），B（-2，3），C（k，-6），若
△ABC为直角三角形且∠B= 9，0求k的值。
解：当B 90，BA (6,2), BC (k 2,9) B 90 BA BC,
BA BC 6(k 2) (2)(9) 0k 5.
8.如图所示,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线， A、P、C三点共线。 解：BP (5, 2), BD (10, 4) 2BP
c (cos,4sin ) (1)若a与b 2c垂直，求 tan( )的值； （2）若 tan tan 16,求证：a // b.
(1) 由 a与b 2c垂直 ，a (b 2c) a b 2a c 0,
即 4sin( ) 8cos( ) 0,tan( ) 2; (2) 由tan tan 16得sin sin 16cos cos ,
即4 cos 4cos sin sin 0
a / /b
5. 已知
a(
3,1),
b
(
1 2
,,
3) 2
存在实
数x k和t,y使若得不等x式k
解
a ， b a
a
t b
(t
t2
0
2
a
3)b, y ka tb
恒成立，求a的取值范
Fra Baidu bibliotek
有 xy
得
t3 3t k
且
4
，
k t2 1 (t2 4t 3) 1 (t 2)2 7
c)
∥
b
则k
=
3
． ，
5. 已知向量a (1, 2) b (2,3) 若向量 c 满足(c a) / /b
c (a b) ，则c ___(__97_,__73_) _______
6. 已知a,b是不共线的向量，AB a b,
AC a b(, R),则A, B,C三点共线的充要条件是
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
25
3.若e1,e2是两个不共线的向量, 已知AB 2e1 ke2, CB e1 3e2,CD 2e1 e2,若A, B, D三点共线，则 k=_____-8_____.
，
，
4．已知向量 a (3,1) b (1,3) c (k, 2) ，若 (a c) b
10
则k= 0
;若(
a ，
又 BP、BD 共起点B ， AP、AC 共起点A，
则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。
a、b是不共线的两个非零向量，OM ma ，ON nb
OP a b ，其中m、n、、 R ，且 mn 0
，若M、P、N
三点共线，则
m
n
=
1
.
4. 平面上三个向量 a,b, c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(a
b)
⊥c
已知 O 为 ABC 所在平面内一点，满足OA 2 BC 2
OB
2
2
CA
OC
2
AB
2
，则点 O
是 ABC的
__垂___心
。
例4：设向量a (4cos,sin), b (sin ,4cos),
x1y2 x2 y1 0
(b 0)
ab
a b 0 x1x2 y1y2 0
(a 0, b 0)
一、基础训练 1.已知平面向量 a (3,1),b (x, 3), a // b,则x
等于_____-_9______
2.已知平面向量a=（1,－3），b =（4,－2），
a b 与 a 垂直，则是_____-_1______
t4
4
故当t=-2时， k t 2
t
a 7
4
有最小值 7
4
4
小结
1.向量的平行（共线）和垂直是向量夹角的两个特殊
情形：两向量平行（共线）即向量的夹角为0或 ，
两向量垂直即向量的夹角为 ，无论是符号语言
2
还是坐标语言，它们都可以通过向量的数量积来刻画。 2.证明将三点共线转化为过共起点的向量共线。
平面向量的平行与垂直
衡东县第五中学
罗江英
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义： 方向 相同或相反 的非零向量叫平行向量。
记作 a∥ b；
2. 垂直向量定义： 若 、两个非零向量所成角为 90 ，则称这两
个向量垂直。记作 a⊥ b
3.平面向量的平行与垂直的判定
向量关系式 坐标关系式
a // b
a b
是_______1__.
7.设A（4，1），B（-2，3），C（k，-6），若
△ABC为直角三角形且∠B= 9，0求k的值。
解：当B 90，BA (6,2), BC (k 2,9) B 90 BA BC,
BA BC 6(k 2) (2)(9) 0k 5.
8.如图所示,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线， A、P、C三点共线。 解：BP (5, 2), BD (10, 4) 2BP
c (cos,4sin ) (1)若a与b 2c垂直，求 tan( )的值； （2）若 tan tan 16,求证：a // b.
(1) 由 a与b 2c垂直 ，a (b 2c) a b 2a c 0,
即 4sin( ) 8cos( ) 0,tan( ) 2; (2) 由tan tan 16得sin sin 16cos cos ,
即4 cos 4cos sin sin 0
a / /b
5. 已知
a(
3,1),
b
(
1 2
,,
3) 2
存在实
数x k和t,y使若得不等x式k
解
a ， b a
a
t b
(t
t2
0
2
a
3)b, y ka tb
恒成立，求a的取值范
Fra Baidu bibliotek
有 xy
得
t3 3t k
且
4
，
k t2 1 (t2 4t 3) 1 (t 2)2 7
c)
∥
b
则k
=
3
． ，
5. 已知向量a (1, 2) b (2,3) 若向量 c 满足(c a) / /b
c (a b) ，则c ___(__97_,__73_) _______
6. 已知a,b是不共线的向量，AB a b,
AC a b(, R),则A, B,C三点共线的充要条件是
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
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3.若e1,e2是两个不共线的向量, 已知AB 2e1 ke2, CB e1 3e2,CD 2e1 e2,若A, B, D三点共线，则 k=_____-8_____.
，
，
4．已知向量 a (3,1) b (1,3) c (k, 2) ，若 (a c) b
10
则k= 0
;若(
a ，