组合优化的局部寻优法

以证明附加的运算时间是合算的。
Lin论文的发表促进了局部寻优法对其他各种问
题的应用
构海 底 天 然 气 管 道 系 统 拓 扑 结
点1代表岸上的工厂，2至15的每个点各代表气 田上的一个钻井平台，每个平台有估计的日产量。 我们可以假设每个气田的位置是已知的，问题是 选择一棵树，它的边代表管道，通过这些管道收 集天然气，并输送到岸上的工厂去。
货
问题，一个3最优环游是最优的概率大约是0.05， 因此从100个随机起点出发进行的实验会以0.95
郎 的概率得出最优解。 Lin的重要贡献之一：强调使用许多不同的随机
问 初始解；在货郎问题中使用完全随机的初始环游
题 是有效的。 Lin的另一贡献是证明了，3最优解比2最优解
好得多，但是4最优解比3最优解好不很多，不足
d 5d a
பைடு நூலகம்
a
当 城 市 数 增 加 至 30 个 时 ， 计 算 时 间 已 达 10.8年，已无法接受。
因此，需要研究相应的算法。若该算法 是一个多项式时间算法，则是一个好算法， 但遗憾的是，一些组合最优化问题至今还没 有找到求最优解的多项式时间算法，而这些 组合最优化问题又有很强的实际应用背景， 于是人们不得不尝试用一些并不一定可以求 出最优解的算法，即启发式算法来求解组合 最优化问题。
郎
问 1958年，发表了两篇文章用货郎问题k交换局部 寻优法，并且两篇文章都把这个想法与类似于分
题 枝定界的枚举法结合起来，以便得到最优解。 Croes用了N2,Bock用了N3 1965年,Sherman和Reiter检验了许多不同的领 域,但是是lin首先令人信服地说明了3交换邻域N3 的威力
Lin根据经验发现，对于Held和Karp的48城市
为了把这个方法用于具体问题，我们必须做出数 种选择：
首先：我们必须决定怎样得到一个初始可行解。 从几个不同的初始起点出发进行局部寻优，并选 取最好的结果，这往往是实用的。在这些情况下， 我们必须决定试验多少个起点以及如何分配它们。
其次：我们必须给所研究的问题选择一个“好” 的邻域，选择一个搜索它的方法。
2.邻域的定义：
对于组合优化问题（D,F,f），D上
的一个映射N : S D N称(为S)一个2D邻域
映射，其中2D表示D的所有子集组成的 集合，N（S）称为S的邻域，
S' N称(S为) S的一个邻居。
例：①四个城市的TSP，若定义其邻域映射为 S中的两个元素进行对换，记为2-opt，N(S) 中共包含S的Cn2个邻居，当S=(1，2，3，4) 时， N(S)={(21,3,4),(3,2,1,4),(4,2,3,1),(1,3,2,4 )(1,4②,3D,2为),区(1间,2[,41,，3)1},0共]中C4的2=整6数个点邻。居。
f(x)
采用如下邻域定义：
N(x) y Z y x 1
则，N(6)={(5,7)}
*
*
**
**
*
**
*
++++++++++
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
图中，x=9为f的全局最优点（最小点），x=5是局部最小点。
局
1、局部寻优算法
局部寻优法也许是以最古老的最优化方法(试
部 错法)为基础的，是解决组合最优化问题最有效
这些以及类似的一些问题通常是靠经验回答的。 设计有效的局部寻优算法在很大程度上是一门艺 术
货
货郎担问题也叫推销商问题：有n个城市，用1， 2，…，n表示，城i, j之间的距离为 dij ，有一个
郎 货郎从城1出发到其他城市一次且仅一次，最后回
问 到城市1，怎样选择行走路线使总路程最短?
题
货 货郎问题环游f的k交换邻域（k ≥ 2）定义为
确定一棵给定树费用的方法：
构海 底 天 然 气 管 道 系 统 拓 扑 结
树的每条边代表一个以7个标准直径之一为直 径的管道，他们分布在从直径10.75英寸每英里价 值70000美元到直径30英寸每英里价值310000 美元的范围内。因为我们知道每点的日产量，于 是给定一棵树，我们便知道每条边的流量。利用 成为锅柄(panhandle)方程的经验公式，对于每 种选择的直径确定沿每条边的压差。于是在下面 的三个约束条件下选择一些管道直径使费用最小：
寻 的方法之一，是“爬山法”的离散模拟。
优
算
法
一般局部寻优算法
Procedure 局部寻优 Begin
t:=F中的某个初始起点； while improve(t)≠“no”,do
t:= improve(t); return t end
从某个初始可行解t∈F开始，利用子程序 Improve在它的邻域里搜寻一个更好的解。只要 一个改进的解存在，我们就采用它，并从这新的 解出发重复邻域搜索过程；当我们得到一个局部 最优解时，就停止。
专题三 《组合优化的局部寻优法》
1.什么是组合最优化
组 （combinatorial optimization）?
合
是通过对数学方法的研究去寻找离散事件
最 优 化 问
的最优编排、分组、次序或筛选等。其数学
模型描述为： min f ( X )
s.t.
g
(X) X
0 D
题
一个组合最优化问题可用三参数（D，F，f）表示， 其中: D—决策变量定义域（是个有限点集）,
②旅行售货员问题 （TSP, traveling salesman problem）； ③整数线性规划 (integer linear programming )；
④装箱问题（bin packing ）
⑤约束机器排序问题 （capacitated machine scheduling）
1. 问题的提出：
F—可行域 （F X X D, g( X ) 0),
f—目标函数.
2.组合最优化问题的特点及举例
特点——可行解集为有限点集，因此 只要将D中有限个点逐一判别是否满足 g(X)的约束和比较目标函数值的大小即 可得到最优解。所以，最优解一定存在 且可以得到。
①0-1背包问题（knapsack problem）；
每一个组合优化问题都可以通过枚举
的方法求得最优解，但枚举是以时间为
邻
代价的，比为TSP问题，以1秒钟计算机 可完成24个城市所有路径枚举为单位，
域
列出城市数与计算时间的关系如下：
概
城市
数 24 25 26 27 28 29 30 31
念
计算 时间
1s
24s
10 min
4.3 h
4.9 136. 10.8 325