(完整版)无穷级数总结

无穷级数总结
一、概念与性质 1. 定义：对数列12,,
,n
u u u ，1
n n u ∞
=∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分和
数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞
=，称级数收敛，否则称为发散.
2. 性质
①设常数0≠c ，则∑∞
=1
n n u 与∑∞
=1
n n cu 有相同的敛散性；
②设有两个级数∑∞=1
n n u 与∑∞=1
n n v ，若∑∞==1
n n s u ，σ=∑∞=1
n n v ，则∑∞
=±=±1
)(n n n s v u σ；
若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1
n n v 发散，则∑∞
=±1
)(n n n v u 发散；
若∑∞
=1
n n u ，∑∞=1
n n v 均发散，则∑∞
=±1
)(n n n v u 敛散性不确定；
③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；
④设级数∑∞
=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．
注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；
②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞
=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞
→n n u ；
注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；
②若0lim =∞
→n n u ，则∑∞
=1n n u 未必收敛；
③若∑∞
=1
n n u 发散，则0lim =∞
→n n u 未必成立．
二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法
① 定义：若0n u ≥，则∑∞
=1n n u 称为正项级数.
② 审敛法： （i ）
充要条件：正项级数∑∞
=1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.
（ii ）
比较审敛法：设∑∞=1
n n u ①与∑∞
=1
n n v ②都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，
则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.
A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成立，则①发散；
B. 设∑∞
=1n n u 为正项级数，若有1p >使得1
(1,2,)n p u n n ≤=，则∑∞
=1
n n u 收敛；若
1
(1,2,)n u n n ≥=，则∑∞
=1
n n u 发散.
C. 极限形式：设∑∞
=1
n n u ①与∑∞
=1
n n v ②都是正项级数，若lim
(0)n
n n
u l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞
=1
n n
u
与∑∞
=1
n n v 有相同的敛散性.
注：常用的比较级数： ①几何级数：∑∞
=-⎪⎩
⎪⎨⎧≥<-=11
1
11n n r r r a
ar 发散；
②-p 级数：∑
∞
=⎩⎨⎧≤>1
111n p p p n 时
发散
时收敛；
③ 调和级数：∑∞
=++++
=1
1
2111n n
n 发散． （iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设∑+∞
=1
n n a 是正项级数，若
①1lim
1<=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 收敛；②1lim 1
>=++∞→r a a n n n ，则∑
+∞
=1
n n a 发散． 注：若1lim
1
=++∞→n
n n a a
，或lim 1n =，推不出级数的敛散.例∑
+∞
=1
1n n
与∑+∞
=1
2
1
n n
，虽然
1lim 1=++∞→n
n n a a
，lim 1n =，但∑+∞=11n n 发散，而∑+∞
=121n n 收敛. （iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑+∞
=1
n n a
是正项级数，lim n ρ=，若1<ρ，
级数收敛，若1>ρ则级数发散．
（v ）极限审敛法：设0n u ≥，且lim p n n n u l →∞
=，则①0lim >=∞
→l u n n p n 且1≤p ，则级
数∑+∞
=1
n n u 发散；②如果1>p ，而)0(lim +∞<<=∞
→l l u n n p n ,则其收
敛．（书上P317-2-（1））
注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正
项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．
2.交错级数及其审敛法
①定义：设0(1,2,)n u n ≥=，则11(1)n n n u ∞
-=-∑称为交错级数.
②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11
(1)n n n u ∞
-=-∑，若1+≥n n u u 且0lim =∞
→n n u ，
则11
(1)n n n u ∞
-=-∑收敛.
注：比较n u 与1+n u 的大小的方法有三种： ①比值法，即考察
n
n u u 1
+是否小于1； ②差值法，即考察1+-n n u u 是否大于0；
③由n u 找出一个连续可导函数)(x f ，使),2,1(),( ==n n f u n 考察)(x f '是否小于0． 3.一般项级数的判别法： ①若∑∞
=1
n n u 绝对收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛.
②若用比值法或根值法判定||1
∑∞=n n u 发散，则∑∞
=1
n n u 必发散.
三、幂级数
1. 定义：n n n x a ∑∞
=0称为幂级数.
2. 收敛性
① 阿贝尔定理：设幂级数∑+∞
=0n n n x a 在00≠x 处收敛，则其在满足0x x <的所
有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑+∞
=0
n n n x a 在1x 处发散，则其在满足1
x x >的所有x 处发散． ② 收敛半径
（i ）定义：若幂级数在0x x =点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在
一个正数R ，使得①当R x x <-0时，幂级数收敛；②当
R x x >-0时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.
（ii ）求法：设幂级数∑+∞
=0
n n n x a 的收敛半径为R ，其系数满足条件l a a n
n n =++∞
→1
lim
，或l a n
n n =+∞
→lim
，则当+∞<<l 0时，l
R 1
=；当0=l 时，+∞=R ，
当+∞=l 时，0=R ．
注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．
（iii ）收敛半径的类型 A.0=R ，此时收敛域仅为一点； B.+∞=R ，此时收敛域为),(∞+-∞；
C.R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间． 3.幂级数的运算（略） 4.幂级数的性质
①若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞
==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内连续．
②若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0
)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可导，
且可逐项求导，即∑∑∑+∞=+∞
=-+∞=='='='0
1
10
)()()(n n n n n
n n n
n x na x a x a x S ，收敛半径不变．
③若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞
==0
)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可积，
且可逐项积分，即⎰⎰∑+∞
==
=x x
n n
n dt t a dt t S 0
)()(∑⎰
+∞
=-∈0
)),((n x
n n R R x dt t a ，收敛半径不
变．
5.函数展开成幂级数
①若)(x f 在含有点0x 的某个区间I 内有任意阶导数，)(x f 在0x 点的n 阶泰勒公式
为+-++-''+-'+=)(!
)()(!2)())(()()(00)(2
00000x x n x f x x x f x x x f x f x f n
)
1(0)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ，记)1(0)1()()!
1()()(++-+=
n n n x x n f x R ξ，ξ介于0,x x 之间，则)(x f 在I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为I x x R n n ∈∀=+∞
→,0)(lim .
②初等函数的泰勒级数)0(0=x （i ）∑
+∞
=∞+-∞∈=0),(,!
n n
x
x n x e ； （ii ）∑
+∞
=--∞+-∞∈--=1
1
21),(,)!12()1(sin n n n x n x x ； （iii ）∑
+∞
=∞+-∞∈-=
2),(,)!2()1(cos n n
n x n x x ； （iv ）∑+∞
=+-∈+-=+0
1
]1,1(,1)1()1ln(n n n x n x x ； （v ）∑
+∞
=∈-∈+--+=+1
)(),1,1(,!
)
1()1(1)1(n n R x x n n x ααααα
；
（vi ）
∑+∞=<=-01,11n n
x x x ；∑
+∞
=<-=+0
1,)1(11n n n x x x . 6. 级数求和
①幂级数求和函数解题程序
（i ）求出给定级数的收敛域；
（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看
出其假设和函数)(x s 与其导数)(x s '的关系），从而得到新级数的和函数； 注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代
数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数． ②数项级数求和
（i ）利用级数和的定义求和，即s S n n =∞
→lim ，则∑∞
==1n n s u ，其中
∑==
+++=n
k k
n n u
u u u s 1
21 ．根据n s 的求法又可分为：直接法、拆项法、递
推法．
A.直接法：适用于
∑∞
=1
k k
u
为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；
B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对
消掉．
（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑∑∞
=-
→∞
==0
10
lim n n
n x n n x a a ，其中幂级数∑∞
=0
n n n x a ，可通
过逐项微分或积分求得和函数)(x S ．因此)(lim 10
x s a x n n -
→∞
==∑．
四、傅里叶级数 1. 定义
①定义1：设)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-或]2,0[π上可积，则
)2,1,0(,cos )(1
cos )(1
20
===
⎰⎰-
n nxdx x f nxdx x f a n π
π
π
ππ， ),2,1(,sin )(1
sin )(1
20
==
=
⎰
⎰-
n nxdx x f nxdx x f b n π
ππ
ππ，
称为函数)(x f 的傅立叶系数．
②定义2：以)(x f 的傅立叶系数为系数的三角级数∑∞
=++
1
0)sin cos (2
1
n n n
nx b nx a
a ．
称为函数)(x f 的傅立叶级数，表示为
∑∞
=++
1
0)sin cos (2
1
)(n n n
nx b nx a
a ～x f ．
③定义3：设)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则以 ⎰
-==
l
l n n xdx l
n x f l
a )2,1,0(,cos )(1 π
， ⎰
-==
l
l
n n xdx l
n x f l b )2,1(,sin )(1
π
为系数的三角级数 ∑
∞
=++1
0)sin cos
(2
1
n n n x l n b x l n a a ππ 称为)(x f 的傅立叶级数，表示为 ∑
∞
=++
1
0)sin cos
(2
1
)(n n n x l
n b x l n a a ～x f π
π． 2.收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数)(x f 在区间],[ππ-上满足条件
①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，
则)(x f 的傅立叶级数在],[ππ-上收敛，且有
∑
∞
=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧±=-++-++-=πππx f f ；x f x x f x f ；x f x x f )],0()0([2
1
)()],0()0([21)(),(0
00的第一类间断点是的连续点是. 3.函数展开成傅氏级数 ①周期函数
（i ）以π2为周期的函数)(x f ：∑∞
=++
1
0sin cos 2
)(n n n
nx b nx a
a
～x f
⎰-
=
π
π
π
)(1
x f a n ),2,1,0(cos =n nxdx ，1
()n b f x π
ππ
-
=
⎰),2,1(sin =n nxdx ；
注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞
=1
sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0=n a ),2,1,0( =n
2
()sin n b f x nxdx π
π
=
⎰
),2,1( =n ；
②若)(x f 为偶函数，则∑∞
=+
1
0cos 2
)(n n
nx a
a
～x f (余弦级数)，
2
()cos n a f x nxdx π
π=
⎰
),2,1,0( =n ，0=n b ),2,1( =n .
（ii ）以l 2为周期的函数)(x f ：∑
∞
=+
1
0cos
2
)(n n x l n a a
～x f π+)sin x l
n b n π ⎰
-=
l
l n x f l
a )(1
),2,1,0(cos =n xdx l n π，⎰
-=l l n x f l b )(1),2,1(sin =n xdx l
n π
； 注：①若)(x f 为奇函数，则∑
∞
=1
sin )(n n x l n b ～x f π
(正弦级数)，0=n a ),2,1,0( =n 02()sin l n n b f x xdx l l
π
=
⎰ ),2,1( =n ； ②若)(x f 为偶函数，则∑
∞
=+
1
0cos
2
)(n n x l
n a a
～x f π
，(余弦级数) 02()cos l n n a f x xdx l l
π
=
⎰),2,1,0( =n ，0=n b ),2,1( =n . ②非周期函数
（i ）奇延拓：
A.)(x f 为],0[π上的非周期函数，令⎩
⎨
⎧<≤---≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ
，则)(x F 除0=x 外在
],[ππ-上为奇函数，∑∞
=1
sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0
2
()sin n b f x nxdx π
π=
⎰
),2,1( =n ；
B. )(x f 为],0[l 上的非周期函数，则令⎩
⎨
⎧<≤---≤≤=0),(0),()(x l x f l
x x f x F ，则)(x F 除0=x 外
在],[ππ-上为奇函数，∑∞
=1
sin
)(n n x l n b ～x f π
(正弦级数)，0
2()sin
l n n b f x xdx l
l
π
=⎰
),2,1( =n .
（ii ）偶延拓：
A.)(x f 为],0[π上的非周期函数，令⎩
⎨
⎧<≤--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ
，
则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为偶函数，∑∞
=+
1
0cos 2
)(n n
nx a
a
～x f (余
弦级数)，0
2
()cos n a f x nxdx π
π
=
⎰
),2,1,0( =n .
B.)(x f 为],0[l 上的非周期函数，令⎩
⎨
⎧<≤--≤≤=0),(0),()(x l x f l
x x f x F ，则
∑
∞
=+
1
0cos
2
)(n n x l n a a
～x f π
(余弦级数)，0
2()cos
l n n a f x xdx l
l
π
=⎰
),2,1,0( =n . 注：解题步骤：
①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性； ②求出傅氏系数；
③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于)(x f ．。