北京大学量子力学教材 第二章
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3
个个电子） ，也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也有同样的现象） ； b'. 不 能 想 像 ， 电 子 通 过 1,2 时 ， 能 像 经 典 电 子 （ 有 轨 道 ） 那 样 来 描 述 （ 因
P1 P2 P12 ） ；
c'. 不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现象） 。 总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子，也不能用经典波来描述（经典波是物理量 在空间分布。如按经典波描述，现在应是电子密度分布，这当然不是。 ） 。 但是，这种干涉现象在经典中也有类似表示，如水波通过二个缝后，在接收器上的强度 分布为
dx 处的几率为
ni 2 ( x i , t ) dx nj
j
，它给出体系 我们将会看到，体系的波函数 (r , t ) 给出了体系所有信息（可能范围） 一个完全的描述（例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测得那些能量值（即几率不 。正因为如此，我们可以说波函数描述了体系所 等于 0 ）和测得该能量值的几率；等等） 处的量子状态，或称状态。以 (r , t ) 描述体系，就称体系处于态 (r , t ) ，或称 (r , t ) 为 体系的态函数。
§2.6 测不准关系 ............................................................................25
（1）一些例子 ............................................................................................................... 26 （2）一些实验 ............................................................................................................... 27 （3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果 ........................................................... 28 （4）能量－时间测不准关系 ....................................................................................... 29 （5）一些应用举例 ....................................................................................................... 30
10
a0
4 0 2 m ee
2
由于平常粒子的波长 10 性。
Å，所以观察不到干涉, 衍射现象。微观粒子，如电子
1 Å，因此在原子线度下可能显示出波动性。而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动
将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因 经典粒子 √原子性（整体性） 经典波
轨道
经典粒子和经典波来描述。
实在物理量的空间分布
√干涉，衍射
这两者是不相容的。描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用
§2.1 波－粒两象性
想像一个实验事实： a ．每次接收到的是一 个电子，即电子确是以一个整体 出现； b． 电子数的强度 P1 , P2 ， 但， P1 P2 P12 ； c．电子枪发射稀疏到任 何时刻空间至多一个电子，但足 够长的时间后，也有同样结果。 因此，我们可得到下面的结 论： a'. 不能认为，波是电子将自己以以一定密度分布于空间形成的（因接收到的是一
具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述
Ae i ( k r t ) A i ( Pr Et )
b. 物理量取值不一定是连续的 辐射体辐射的能量取值 E nh 氢原子的能量
n 0,1,2,
0.529 10 8 cm
En
e2 a 0 n 2 8 0
P(r , t )dr (r , t ) dr （由于是几率， P(r , t )dr 1 ） 。
说明两点： ① (r , t ) 不是对物理量的波动描述。它有意义的是，在于 (r , t ) dr 代表在体 积元 d r 中发现粒子的几率，所以它不代表物理实体，仅是一几率波； ② 粒子是由波函数 ( x, t ) 来描述，但波函数并不能告诉你， t 0 时刻测量时，粒 也就是说 ( x, t 0 ) 在某 x 处越大， 则在 t 0 现粒子的几率为 ( x 1 , t 0 ) dx 1 。 时刻测量发现粒子在该处的机会越多。 （这表明，我们讲的是预言到什么，但 我们不能说出测量的结果） 。 我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体系去测量发现粒子可能就处于 x1 ，只测 得一个值。但可想像有很多很多同样的体系，对体系同时进行完全相同的测量，测得的结 果发现
（1）波函数的性质 ......................................................................................................... 6 （2）位置和位能的平均值 ............................................................................................. 8 （3）动量平均值 ............................................................................................................. 9 （4）态叠加原理 ........................................................................................................... 12
I1 ， I 2 ， I12
我们是如何解释这干 涉现象呢？ 通过缝 1 时， 水波以
I1 I 2 I12 。
hபைடு நூலகம்e
i t
描述
i t
通过缝 2 时，水波以 h 2 e 描述
描述
i t
通过 1 ， 2 时， 则以 ( h1 h 2 )e
强度 I 1 h 1
2
，
I2 h2
2
第二章 波函数与波动方程
既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一 起来？ 经典物理观点必须被修改。主要表现： a. 波－粒两象性
E P （粒子） （波） E h （Planck 假设）Einstein 关系 h 2 P k （ ， k ） （de Broglie 假设） de Broglie 关系 P
2 2
2
2
子在什么位置。粒子位置可能在 x1 ，可能在 x 2 , ，而在 x1 — x 1 dx 1 中发
n1 次 n2 次 ni 次
x1 — x1 dx x 2 — x 2 dx x i — x i dx
当对足够多的同样的体系进行测量后，即在大量的完全相同的体系中，同时测量，那 发现粒子在 x i — x i
2
2 2
I 12 h 1 h 2
（ h1 h1 e
i1
h1
h2
i 2
2
* (h 1 h * 2 h1h 2 )
I 1 I 2 2 I 1 I cos
， h2 h2 e ， 1 2 ）
2 I 1 I 2 cos 即为干涉项。
电子的干涉现象与这完全相似，但两者的含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收 到的电子多少。 这启发我们， 电子的双缝干涉中的现象也可用 1 , 2 函数来描述 （它们一般应是复函数）
P1 1 ， P12 1 2
2
P2 2
2
2
1
2
2
2
* ( 1 * 2 1 2 )
P1 P2 2 P1 P cos
电子数的多少，将由波函数的模的平方 来表征。
2
（ 1 2 ）
1 , 2 称为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数） ，也就是说，接收器上某位置
§2.4 含时间的薛定谔方程（Schrodinger’s equation） ...............15
(1) Schrodinger’s equation 的建立 ....................................................................... 15 (2) 对 Schrodinger equation 的讨论 ..................................................................... 17
2
P( x) ( x)
2
是电子出现在 x 附近的几率密度（如果 P( x )dx 1 ）
由此可见，尽管电子通过双缝的描述，类似水波那样用一波函数来描述，但本质是不 同的。 它不像水波那样是描述某处的水所带能量的大小， 而它仅是刻划粒子在空间的几率 分布，即 (r , t ) 是描述一个电子的几率振幅。 Max Born（1926 年）给出了波函数的几率解释。 玻恩几率解释：如果在 t 时刻，对以波函数 ( r , t ) 描述的粒子进行位置测量，测得的 结果可以是不同的；而在 r — r dr 小区域中发现该粒子的几率为
4
①
从 上 面分 析 可以 看到 ， 在 x — x dx 范 围 内 ，接 收到 电 子多 少是 与
P( x )dx ( x ) dx 的大小有关；
② 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上接收到的电子几乎是“杂乱无章” 的，但当时间足够长时，接收到的电子数分布为 P( x ) 。这表明，电子出现在接收器上的 各个位置是具有一定的几率的。 当足够多的电子被接收后。 在接收器上的电子分布正显示 了这一几率分布（电子到接收器上是一个个的，但分布又类似波，即几率波） 。
第二章
波函数与波动方程
第二章 目 录
§2.1 波－粒两象性 ............................................................................3 §2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926 年）几率诠释—几率波 ....4 §2.3 波函数的性质，态叠加原理 ....................................................6
空间若有两个波，强度则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。但是，这种描述是什 么意思呢？它没有回答，电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间电子稀疏时，但时间 足够长后，干涉花纹照样出现。
§2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926 年）几率诠释—几率波
真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来的观点是 1926 年被 Max Born 提出的。 如电子用一波函数 ( x ) 来描述，则
§2.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题 ....................................23
(1) 不含时间的薛定谔方程 ...................................................................................... 23 （2） 定态..................................................................................................................... 24
个个电子） ，也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也有同样的现象） ； b'. 不 能 想 像 ， 电 子 通 过 1,2 时 ， 能 像 经 典 电 子 （ 有 轨 道 ） 那 样 来 描 述 （ 因
P1 P2 P12 ） ；
c'. 不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现象） 。 总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子，也不能用经典波来描述（经典波是物理量 在空间分布。如按经典波描述，现在应是电子密度分布，这当然不是。 ） 。 但是，这种干涉现象在经典中也有类似表示，如水波通过二个缝后，在接收器上的强度 分布为
dx 处的几率为
ni 2 ( x i , t ) dx nj
j
，它给出体系 我们将会看到，体系的波函数 (r , t ) 给出了体系所有信息（可能范围） 一个完全的描述（例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测得那些能量值（即几率不 。正因为如此，我们可以说波函数描述了体系所 等于 0 ）和测得该能量值的几率；等等） 处的量子状态，或称状态。以 (r , t ) 描述体系，就称体系处于态 (r , t ) ，或称 (r , t ) 为 体系的态函数。
§2.6 测不准关系 ............................................................................25
（1）一些例子 ............................................................................................................... 26 （2）一些实验 ............................................................................................................... 27 （3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果 ........................................................... 28 （4）能量－时间测不准关系 ....................................................................................... 29 （5）一些应用举例 ....................................................................................................... 30
10
a0
4 0 2 m ee
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由于平常粒子的波长 10 性。
Å，所以观察不到干涉, 衍射现象。微观粒子，如电子
1 Å，因此在原子线度下可能显示出波动性。而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动
将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因 经典粒子 √原子性（整体性） 经典波
轨道
经典粒子和经典波来描述。
实在物理量的空间分布
√干涉，衍射
这两者是不相容的。描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用
§2.1 波－粒两象性
想像一个实验事实： a ．每次接收到的是一 个电子，即电子确是以一个整体 出现； b． 电子数的强度 P1 , P2 ， 但， P1 P2 P12 ； c．电子枪发射稀疏到任 何时刻空间至多一个电子，但足 够长的时间后，也有同样结果。 因此，我们可得到下面的结 论： a'. 不能认为，波是电子将自己以以一定密度分布于空间形成的（因接收到的是一
具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述
Ae i ( k r t ) A i ( Pr Et )
b. 物理量取值不一定是连续的 辐射体辐射的能量取值 E nh 氢原子的能量
n 0,1,2,
0.529 10 8 cm
En
e2 a 0 n 2 8 0
P(r , t )dr (r , t ) dr （由于是几率， P(r , t )dr 1 ） 。
说明两点： ① (r , t ) 不是对物理量的波动描述。它有意义的是，在于 (r , t ) dr 代表在体 积元 d r 中发现粒子的几率，所以它不代表物理实体，仅是一几率波； ② 粒子是由波函数 ( x, t ) 来描述，但波函数并不能告诉你， t 0 时刻测量时，粒 也就是说 ( x, t 0 ) 在某 x 处越大， 则在 t 0 现粒子的几率为 ( x 1 , t 0 ) dx 1 。 时刻测量发现粒子在该处的机会越多。 （这表明，我们讲的是预言到什么，但 我们不能说出测量的结果） 。 我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体系去测量发现粒子可能就处于 x1 ，只测 得一个值。但可想像有很多很多同样的体系，对体系同时进行完全相同的测量，测得的结 果发现
（1）波函数的性质 ......................................................................................................... 6 （2）位置和位能的平均值 ............................................................................................. 8 （3）动量平均值 ............................................................................................................. 9 （4）态叠加原理 ........................................................................................................... 12
I1 ， I 2 ， I12
我们是如何解释这干 涉现象呢？ 通过缝 1 时， 水波以
I1 I 2 I12 。
hபைடு நூலகம்e
i t
描述
i t
通过缝 2 时，水波以 h 2 e 描述
描述
i t
通过 1 ， 2 时， 则以 ( h1 h 2 )e
强度 I 1 h 1
2
，
I2 h2
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第二章 波函数与波动方程
既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一 起来？ 经典物理观点必须被修改。主要表现： a. 波－粒两象性
E P （粒子） （波） E h （Planck 假设）Einstein 关系 h 2 P k （ ， k ） （de Broglie 假设） de Broglie 关系 P
2 2
2
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子在什么位置。粒子位置可能在 x1 ，可能在 x 2 , ，而在 x1 — x 1 dx 1 中发
n1 次 n2 次 ni 次
x1 — x1 dx x 2 — x 2 dx x i — x i dx
当对足够多的同样的体系进行测量后，即在大量的完全相同的体系中，同时测量，那 发现粒子在 x i — x i
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I 12 h 1 h 2
（ h1 h1 e
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h1
h2
i 2
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* (h 1 h * 2 h1h 2 )
I 1 I 2 2 I 1 I cos
， h2 h2 e ， 1 2 ）
2 I 1 I 2 cos 即为干涉项。
电子的干涉现象与这完全相似，但两者的含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收 到的电子多少。 这启发我们， 电子的双缝干涉中的现象也可用 1 , 2 函数来描述 （它们一般应是复函数）
P1 1 ， P12 1 2
2
P2 2
2
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2
* ( 1 * 2 1 2 )
P1 P2 2 P1 P cos
电子数的多少，将由波函数的模的平方 来表征。
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（ 1 2 ）
1 , 2 称为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数） ，也就是说，接收器上某位置
§2.4 含时间的薛定谔方程（Schrodinger’s equation） ...............15
(1) Schrodinger’s equation 的建立 ....................................................................... 15 (2) 对 Schrodinger equation 的讨论 ..................................................................... 17
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P( x) ( x)
2
是电子出现在 x 附近的几率密度（如果 P( x )dx 1 ）
由此可见，尽管电子通过双缝的描述，类似水波那样用一波函数来描述，但本质是不 同的。 它不像水波那样是描述某处的水所带能量的大小， 而它仅是刻划粒子在空间的几率 分布，即 (r , t ) 是描述一个电子的几率振幅。 Max Born（1926 年）给出了波函数的几率解释。 玻恩几率解释：如果在 t 时刻，对以波函数 ( r , t ) 描述的粒子进行位置测量，测得的 结果可以是不同的；而在 r — r dr 小区域中发现该粒子的几率为
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①
从 上 面分 析 可以 看到 ， 在 x — x dx 范 围 内 ，接 收到 电 子多 少是 与
P( x )dx ( x ) dx 的大小有关；
② 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上接收到的电子几乎是“杂乱无章” 的，但当时间足够长时，接收到的电子数分布为 P( x ) 。这表明，电子出现在接收器上的 各个位置是具有一定的几率的。 当足够多的电子被接收后。 在接收器上的电子分布正显示 了这一几率分布（电子到接收器上是一个个的，但分布又类似波，即几率波） 。
第二章
波函数与波动方程
第二章 目 录
§2.1 波－粒两象性 ............................................................................3 §2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926 年）几率诠释—几率波 ....4 §2.3 波函数的性质，态叠加原理 ....................................................6
空间若有两个波，强度则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。但是，这种描述是什 么意思呢？它没有回答，电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间电子稀疏时，但时间 足够长后，干涉花纹照样出现。
§2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926 年）几率诠释—几率波
真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来的观点是 1926 年被 Max Born 提出的。 如电子用一波函数 ( x ) 来描述，则
§2.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题 ....................................23
(1) 不含时间的薛定谔方程 ...................................................................................... 23 （2） 定态..................................................................................................................... 24