1.6 补充例题
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= 1 − (0.8) = 0.893.
10
补充2 补充 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击 三人 丙三人同时对飞机进行射击, 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 被两人击中而被击落的概 而被击落的概率为 ,被两人击中而被击落的概 若三人都击中飞机必定被击落, 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落 求飞机 被击落的概率. 被击落的概率 解 设 Ai 表示有 i 个人击中飞机 , A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 , 分别表示甲、
故有
1 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) = , 4 1 P ( BC ) = P ( B ) P (C ) = , 4 P ( AC ) = P ( A) P (C ) = 1 , 4
两两独立. 则三事件 A, B, C 两两独立 由于
1 1 P ( ABC ) = ≠ = P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
更多例题讲解
射击问题 补充1 补充 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是 0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击 问击 名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击 若 名机枪射击手同时向一架飞机射击 落飞机的概率是多少? 落飞机的概率是多少 解 设事件 Ai 为“第 i 名射手击落飞机” 名射手击落飞机” , 击落飞机” 事件 B 为“击落飞机”,
i = 1,2,L,10.
则 B = A1 U A2 U L U A10 ,
P ( B ) = P ( A1 U A2 U L U A10 )
= 1 − P ( A1 U A2 U L U A10 ) = 1 − P( A1 A2 L A10 ) = 1 − P ( A1 ) P ( A2 )L P ( A10 )
则 P( A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(C) = 0.7, 由于 A1 = A BC + ABC + A BC ,
故得 P( A1 ) = P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C)
= 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.7
事件 A 为两次所得点数分别为 7 与 11. 则有 P ( A) = P ( A1 B2 U B1 A2 ) = P ( A1 B2 ) + P ( B1 A2 )
Hale Waihona Puke Baidu
= P ( A1 ) P ( B2 ) + P ( B1 ) P ( A2 ) 6 2 2 6 1 = × + × = . 36 36 36 36 54
因此 A，B，C 不相互独立 ， ， 不相互独立.
共抛两次,求两次所得 补充4 同时抛掷一对骰子,共抛两次 补充 同时抛掷一对骰子 共抛两次 求两次所得 点数分别为7与 的概率 的概率. 点数分别为 与11的概率 解 设事件 Ai 为“第 i 次得7点”i = 1,2.
设事件 Bi 为“第 i 次得11点”i = 1,2.
= P ( A) P ( B ) P ( C )
= 0.4 × 0.5 × 0.7 = 0.14.
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为 因而,
P = 0.2 × 0 .36 + 0 .6 × 0 .41 + 1 × 0 .14
= 0.458.
伯恩斯坦反例 补充3 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 补充 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 第二面染成白色，第三面染成黑色， 第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、 黑三种颜色.现以 ， ， 时染上红、白、黑三种颜色 现以 A，B，C 分别 记投一次四面体出现红、 黑颜色朝下的事件， 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 是否相互独立? 问 A，B，C是否相互独立 ， ， 是否相互独立 解 由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面， 由于在四面体中红、 黑分别出现两面， 1 因此 P ( A) = P ( B ) = P ( C ) = , 2 1 又由题意知 P ( AB ) = P ( BC ) = P ( AC ) = , 4
= 0.36.
因为 A2 = ABC + A BC + ABC , 得 P ( A2 ) = P ( ABC + A BC + ABC )
= P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C)
= 0.41.
由 A3 = ABC ,
得 P ( A3 ) = P ( ABC )
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补充2 补充 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击 三人 丙三人同时对飞机进行射击, 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 被两人击中而被击落的概 而被击落的概率为 ,被两人击中而被击落的概 若三人都击中飞机必定被击落, 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落 求飞机 被击落的概率. 被击落的概率 解 设 Ai 表示有 i 个人击中飞机 , A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 , 分别表示甲、
故有
1 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) = , 4 1 P ( BC ) = P ( B ) P (C ) = , 4 P ( AC ) = P ( A) P (C ) = 1 , 4
两两独立. 则三事件 A, B, C 两两独立 由于
1 1 P ( ABC ) = ≠ = P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
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射击问题 补充1 补充 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是 0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击 问击 名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击 若 名机枪射击手同时向一架飞机射击 落飞机的概率是多少? 落飞机的概率是多少 解 设事件 Ai 为“第 i 名射手击落飞机” 名射手击落飞机” , 击落飞机” 事件 B 为“击落飞机”,
i = 1,2,L,10.
则 B = A1 U A2 U L U A10 ,
P ( B ) = P ( A1 U A2 U L U A10 )
= 1 − P ( A1 U A2 U L U A10 ) = 1 − P( A1 A2 L A10 ) = 1 − P ( A1 ) P ( A2 )L P ( A10 )
则 P( A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(C) = 0.7, 由于 A1 = A BC + ABC + A BC ,
故得 P( A1 ) = P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C)
= 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.7
事件 A 为两次所得点数分别为 7 与 11. 则有 P ( A) = P ( A1 B2 U B1 A2 ) = P ( A1 B2 ) + P ( B1 A2 )
Hale Waihona Puke Baidu
= P ( A1 ) P ( B2 ) + P ( B1 ) P ( A2 ) 6 2 2 6 1 = × + × = . 36 36 36 36 54
因此 A，B，C 不相互独立 ， ， 不相互独立.
共抛两次,求两次所得 补充4 同时抛掷一对骰子,共抛两次 补充 同时抛掷一对骰子 共抛两次 求两次所得 点数分别为7与 的概率 的概率. 点数分别为 与11的概率 解 设事件 Ai 为“第 i 次得7点”i = 1,2.
设事件 Bi 为“第 i 次得11点”i = 1,2.
= P ( A) P ( B ) P ( C )
= 0.4 × 0.5 × 0.7 = 0.14.
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为 因而,
P = 0.2 × 0 .36 + 0 .6 × 0 .41 + 1 × 0 .14
= 0.458.
伯恩斯坦反例 补充3 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 补充 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 第二面染成白色，第三面染成黑色， 第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、 黑三种颜色.现以 ， ， 时染上红、白、黑三种颜色 现以 A，B，C 分别 记投一次四面体出现红、 黑颜色朝下的事件， 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 是否相互独立? 问 A，B，C是否相互独立 ， ， 是否相互独立 解 由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面， 由于在四面体中红、 黑分别出现两面， 1 因此 P ( A) = P ( B ) = P ( C ) = , 2 1 又由题意知 P ( AB ) = P ( BC ) = P ( AC ) = , 4
= 0.36.
因为 A2 = ABC + A BC + ABC , 得 P ( A2 ) = P ( ABC + A BC + ABC )
= P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C)
= 0.41.
由 A3 = ABC ,
得 P ( A3 ) = P ( ABC )