15_高阶统计量与分数低阶统计量信号处理
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
– 归零化峰度(左)和归一化峰度 (右)
Kx E x 4 (t ) E {x (t )}
2 2
3, K x
E x 4 (t ) E 2{x 2 (t )}
归零化峰度>0
归零化峰度=0
归零化峰度<0
2014-6-17
大连理工大学
20
• 矩和累积量的关系
– 高阶矩和高阶累积量可以互相转换:
– 奇数阶矩恒为0,偶数阶矩不为0;3阶及以上各阶 累积量恒为0。 – 由此看出,高阶累积量对于高斯随机过程是“盲 的”,即高阶累积量适用于处理非高斯信号。
2014-6-17 大连理工大学 18
• 4. 非高斯信号
• 非高斯信号的定义
– 概率密度函数为非高斯函数的信号称为非高斯信号; – 非高斯信号一定存在某个高阶累积量不为0。
24
– 性质6:若 是常数,则
大连理工大学
§15.3 高阶谱与高阶谱估计
• 高阶谱的概念
– 假定随机信号 x(t ) 的高阶累积量ck (1, 2 , , k 1 ) 是绝 对可和的,则k阶累积谱定义为:k阶累积量的 k 1 维离散傅里叶变换,即
Sk (1, 2 , , k 1 )
2014-6-17
C( I p ) 分别表示符号集
大连理工大学
21
• 矩和累积量的性质
– 设 mon( x1, x2 , , xk ) 和 cum( x1, x2 , , xk ) 分别表示k个随 机变量 x1, x2 , , xk 的k阶矩和累积量 – 性质1:设 i 为常数,xi 为随机变量,其中 i=1,2,3,…,k,则:
2014-6-17
大连理工大学
12
§15.2 高阶矩与高阶累积量
• 1. 高阶矩的定义
– 令 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是k个连续的随机变量,则这 k个变量的 k 阶矩表示为
m1,1,
特别地,令
,1
E x1 (t ) x2 (t )
xk (t )
x1 (t ) x(t ), x2 (t ) x(t 1 ),
RX (m) E[ x(n m) x(n)]
2014-6-17 大连理工大学 7
• 二阶矩与二阶统计量(续)
–
RX (m) 与其傅里叶变换即功率谱密度函数
Px ( w)
m
Rx (m)e jwm
– 一起构成基于二阶或二阶统计量的统计信号建模、 分析和处理的基础。 – 在过去的半个世纪中,自相关函数和功率谱密度函 数为信号处理提供了许多重要的概念和结构,例如 随机信号的频域表示,自适应滤波和线性预测理论 等。
1
j(11 2 2 ... c ( , , , )e k 1 2 k 1
k 1 tk 1 )
k
– 高阶谱是多个频率的谱,称为多谱。三阶谱称为 双 谱用B(1, 2 ) 来表示,四阶谱 T (1, 2 , 3 )称为三谱。
由以上三个性质可知,累积量相对于其变元是线性的。
2014-6-17
大连理工大学
23
– 性质4:若随机变量 {xi } 和随机变量 则累积量具有半不变性:
{ yi }
统计独立,
cum( x1 y1, x2 y2 , , xk yk ) cum( x1, x2 , , xk ) cum( y1, y2 , , yk )
– (1)用高阶矩表示高阶累积量:
c( I )
q p 1 I p I
( 1)
q 1
( q 1)! m( I p )
p 1
q
– (2)用高阶累积量表示高阶矩:
m( I )
p 1 q p 1 I p I
c( I
q
p
)
I p 的矩和累计量。
– 式中: 和 m( I p )
mon( x1, , xi yi , , xk ) mon( x1, , xi , , xk ) mon( x1, , yi , , xk ) cum( x1, , xi yi , , xk ) cum( x1, , xi , , xk ) cum( x1, , yi , , xk )
2014-6-17
大连理工大学
26
• 双谱的性质
① 双谱一般是复数,可表示为幅值与相位的乘积
B(1, 2 ) B(1, 2 ) e j (1 ,2 )
② 对称性:
B(1, 2 ) B(2 , 1 )
③ 周期性: 双周期函数,两周期均为 2 。
B(1, 2 ) B(1 2π, 2 2π)
2014-6-17
大连理工大学
17
– 高斯随机变量的第二特征函数是第一特征函数的自 然对数 () ln () 22 / 2 – 高斯变量的各阶累积量,即
c1 0, c2 2 , , ck 0, k 3,4,.....
– 综上所述,任意高斯随机过程的二阶矩和二阶累积 量相等,均等于其方差;
大连理工大学硕士研究生校管课程
信号分析与数据处理
第15章
高阶统计量与分数低阶统计量 信号处理
电子信息与电气工程学部 邱天爽
2014-6-17
2013年12月
大连理工大学
1
内容概要
• §15.1 • §15.2 概述 高阶矩与高阶累积量
• §15.3
• §15.4
高阶谱与高阶谱估计
Alpha稳定分布与分数低阶统计量
• 由性质4得出一重要结论:若一个非高斯信号是在与 之独立的加性高斯有色噪声中被观测,则观测过程 中的高阶累计量将与非高斯信号的高阶累积量恒等。
– 性质5:若随机变量 {xi } 一子集与其余部独立,则
cum( x1, x2 ,
cum( x1, x2 ,
2014-6-17
, xk ) 0
, xk ) cum( x1, x2 , , xk )
mon( x1 , x2 , cum( x1 , x2 , , xk ) mon( xi1 , xi2 , , xk ) cum( xi1 , xi2 , , xik ) , xik )
其中 (i1, i2 ,..., ik ) 是(1,2,…,k) 的一个排列 – 性质3:矩和累积量相对于其变元具有可加性
2014-6-17 大连理工大学 8
• 高阶矩与高阶统计量
– 在非高斯信号处理中,一些信号的二阶统计量无法 描述信号的特征,需要采用高阶统计量。例如三阶 和四阶统计量:
c3 (k1, k2 ) E[ x(n) x(n k1 ) x(n k2 )]
c4 (k1 , k2 , k3 ) E[ x(n) x(n k1 ) x(n k2 ) x(n k3 )] E[ x(n) x(n k1)]E[ x(n k2 ) x(n k3 )] E[ x(n) x(n k2 )]E[ x(n k1 ) x(n k3 )]E[ x(n k1 ) x(n k2 )]
2014-6-17 大连理工大学 27
• 【例】方波与余弦信号的累积量与双谱
2014-6-17
大连理工大学
28
• 双谱估计的直接法
– 第1步:将数据样本分成 K 段,每段长
mon(1 x1 , 2 x2 , cum(1 x1 , 2 x2 , , k xk ) i mon( x1 , x2 ,
i 1 k k
, xk ) , xk )
, k xk ) i cum( x1 , x2 ,
i 1
2014-6-17
大连理工大学
22
– 性质2:矩和累积量关于他们的变元是对称的,即:
– 二阶矩以下的统计矩称为分数低阶矩,或分数低阶 统计量,其范围为(0,2),可以取这个范围内的任 何值。
2014-6-17 大连理工大学 6
• 二阶矩与二阶统计量
– 主要包括相关与功率谱等概念方法;
– 在最优信号处理方面,基于二阶矩的最小均方误差 准则,往往是重要的选择;
– 设 X (n) {x(n)} 表示具有零均值的广义平稳离散随机 信号。 – 在不引起混乱的情况下,以x(n)来表示同样的离散 随机信号。x(n)的二阶统计矩(自相关序列)定义 为
2014-6-17
大连理工大学
9
• 信号的双谱和三谱
– 信号的双谱和三谱分别是信号的三阶累积量和四阶 累积量的二维和三维傅里叶变换:
C3 (w1 , w2 )
k1 k2
c (k , k ) exp[ j(k w k w )]
3 1 2 1 1 2 2
4百度文库1 2 3 1 1 2 2
• §15.5
非高斯信号处理应用
§15.1 概述
• 1. 高斯分布与非高斯分布
– 传统信号处理中,通常假定随机信号与噪声服从高 斯分布: • 服从中心极限定理(大量随机变量之和趋于高斯 分布);
• 便于计算分析。
– 但是实际应用中,大部分随机信号是非高斯分布的; – 若采用高斯分布来描述,会使所设计的信号处理系 统退化。
f ( x)
2 1 e 2 2 x2
– 则第一特征函数为
() f ( x)e dx e
j x
2 2 / 2
– 随机变量x的各阶原点矩可表示为
k d ( ) k (k ) k mk ( j)k ( j) (0) E { x } k d 0
– 不存在二阶和高阶统计量; – 因此常规的基于二阶统计量的信号处理算法退化; – 常用分数低阶统计量的方法进行信号处理。
2014-6-17
大连理工大学
11
• 分数低阶统计量
– 统计矩从0阶一直延伸至无穷,最常用的是一阶和 二阶统计量; – (0,2)阶的统计量称为分数低阶统计量; – 有多种分数低阶统计量,例如共变、分数阶相关、 分数阶协方差等; – 分数低阶统计量适合于Alpha稳定分布信号处理。
2014-6-17
大连理工大学
16
– 对第一特征函数求各阶导,并且将 0 带入所得 的各阶导数表达式,得高斯随机变量的高阶矩计算 结果,即
m1 0, m2 2 , m3 0, m4 3 4
– 根据 ( ) 各阶导数的规律,高斯随机变量的任意高 阶矩可表示为
0, k为奇数 mk k 1 3 ( k 1) , k为偶数
ck (1, , k 1 ) cum[ x(t ), x(t 1 ), , x(t k 1 )]
– 说明:上式是定义式,一般不用于计算。
2014-6-17
大连理工大学
15
• 3. 高斯信号的高阶矩和高阶累积量
– 设 x (t ) 是高斯随机变量,均值为0,方差为 2 ,其 概率密度函数表达式为
2014-6-17
大连理工大学
4
• 非高斯信号分析与处理成为信号处理领 域的热点研究问题
– 科学技术的发展提出了这种需要;
– 数学、信号处理和计算机技术的发展,提供了这种 可能。
2014-6-17
大连理工大学
5
• 2. 矩与统计量的概念
– 根据上图,二阶矩以上的统计矩称为高阶矩或高阶 统计量,其范围为 (2, ) ,一般取整数阶。
mk (1,
, xk (t ) x(t k 1 )
x(t k 1 )}
则上式变成单变量x(t)的k阶矩,即:
, k 1 ) E{x(t ) x(t 1 )
2014-6-17
大连理工大学
14
• 2. 高阶累积量的定义
– 随机信号 x (t ) 的 k 阶累积量表示为:
• 斜度(skewness)的概念
– 实信号 x(t ) 的斜度定义为: –
Sx E{x3 (t )}
– 斜度是衡量一个随机信号偏离对称分布的歪斜程度。
2014-6-17 大连理工大学 19
• 峰度(kurtosis)的概念
– 实信号 x(t ) 的峰度定义为:
Kx E{x4 (t )} 3E 2{x2 (t )}
C4 (w1 , w2 , w3 )
k1 k2 k3
c (k , k , k ) exp[ j(k w k w
k3w3 )]
2014-6-17
大连理工大学
10
• Alpha稳定分布
– 是广义的高斯分布;
– 是唯一的一类构成独立同分布(i.i.d.)随机变量之 和的极限分布;
Kx E x 4 (t ) E {x (t )}
2 2
3, K x
E x 4 (t ) E 2{x 2 (t )}
归零化峰度>0
归零化峰度=0
归零化峰度<0
2014-6-17
大连理工大学
20
• 矩和累积量的关系
– 高阶矩和高阶累积量可以互相转换:
– 奇数阶矩恒为0,偶数阶矩不为0;3阶及以上各阶 累积量恒为0。 – 由此看出,高阶累积量对于高斯随机过程是“盲 的”,即高阶累积量适用于处理非高斯信号。
2014-6-17 大连理工大学 18
• 4. 非高斯信号
• 非高斯信号的定义
– 概率密度函数为非高斯函数的信号称为非高斯信号; – 非高斯信号一定存在某个高阶累积量不为0。
24
– 性质6:若 是常数,则
大连理工大学
§15.3 高阶谱与高阶谱估计
• 高阶谱的概念
– 假定随机信号 x(t ) 的高阶累积量ck (1, 2 , , k 1 ) 是绝 对可和的,则k阶累积谱定义为:k阶累积量的 k 1 维离散傅里叶变换,即
Sk (1, 2 , , k 1 )
2014-6-17
C( I p ) 分别表示符号集
大连理工大学
21
• 矩和累积量的性质
– 设 mon( x1, x2 , , xk ) 和 cum( x1, x2 , , xk ) 分别表示k个随 机变量 x1, x2 , , xk 的k阶矩和累积量 – 性质1:设 i 为常数,xi 为随机变量,其中 i=1,2,3,…,k,则:
2014-6-17
大连理工大学
12
§15.2 高阶矩与高阶累积量
• 1. 高阶矩的定义
– 令 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是k个连续的随机变量,则这 k个变量的 k 阶矩表示为
m1,1,
特别地,令
,1
E x1 (t ) x2 (t )
xk (t )
x1 (t ) x(t ), x2 (t ) x(t 1 ),
RX (m) E[ x(n m) x(n)]
2014-6-17 大连理工大学 7
• 二阶矩与二阶统计量(续)
–
RX (m) 与其傅里叶变换即功率谱密度函数
Px ( w)
m
Rx (m)e jwm
– 一起构成基于二阶或二阶统计量的统计信号建模、 分析和处理的基础。 – 在过去的半个世纪中,自相关函数和功率谱密度函 数为信号处理提供了许多重要的概念和结构,例如 随机信号的频域表示,自适应滤波和线性预测理论 等。
1
j(11 2 2 ... c ( , , , )e k 1 2 k 1
k 1 tk 1 )
k
– 高阶谱是多个频率的谱,称为多谱。三阶谱称为 双 谱用B(1, 2 ) 来表示,四阶谱 T (1, 2 , 3 )称为三谱。
由以上三个性质可知,累积量相对于其变元是线性的。
2014-6-17
大连理工大学
23
– 性质4:若随机变量 {xi } 和随机变量 则累积量具有半不变性:
{ yi }
统计独立,
cum( x1 y1, x2 y2 , , xk yk ) cum( x1, x2 , , xk ) cum( y1, y2 , , yk )
– (1)用高阶矩表示高阶累积量:
c( I )
q p 1 I p I
( 1)
q 1
( q 1)! m( I p )
p 1
q
– (2)用高阶累积量表示高阶矩:
m( I )
p 1 q p 1 I p I
c( I
q
p
)
I p 的矩和累计量。
– 式中: 和 m( I p )
mon( x1, , xi yi , , xk ) mon( x1, , xi , , xk ) mon( x1, , yi , , xk ) cum( x1, , xi yi , , xk ) cum( x1, , xi , , xk ) cum( x1, , yi , , xk )
2014-6-17
大连理工大学
26
• 双谱的性质
① 双谱一般是复数,可表示为幅值与相位的乘积
B(1, 2 ) B(1, 2 ) e j (1 ,2 )
② 对称性:
B(1, 2 ) B(2 , 1 )
③ 周期性: 双周期函数,两周期均为 2 。
B(1, 2 ) B(1 2π, 2 2π)
2014-6-17
大连理工大学
17
– 高斯随机变量的第二特征函数是第一特征函数的自 然对数 () ln () 22 / 2 – 高斯变量的各阶累积量,即
c1 0, c2 2 , , ck 0, k 3,4,.....
– 综上所述,任意高斯随机过程的二阶矩和二阶累积 量相等,均等于其方差;
大连理工大学硕士研究生校管课程
信号分析与数据处理
第15章
高阶统计量与分数低阶统计量 信号处理
电子信息与电气工程学部 邱天爽
2014-6-17
2013年12月
大连理工大学
1
内容概要
• §15.1 • §15.2 概述 高阶矩与高阶累积量
• §15.3
• §15.4
高阶谱与高阶谱估计
Alpha稳定分布与分数低阶统计量
• 由性质4得出一重要结论:若一个非高斯信号是在与 之独立的加性高斯有色噪声中被观测,则观测过程 中的高阶累计量将与非高斯信号的高阶累积量恒等。
– 性质5:若随机变量 {xi } 一子集与其余部独立,则
cum( x1, x2 ,
cum( x1, x2 ,
2014-6-17
, xk ) 0
, xk ) cum( x1, x2 , , xk )
mon( x1 , x2 , cum( x1 , x2 , , xk ) mon( xi1 , xi2 , , xk ) cum( xi1 , xi2 , , xik ) , xik )
其中 (i1, i2 ,..., ik ) 是(1,2,…,k) 的一个排列 – 性质3:矩和累积量相对于其变元具有可加性
2014-6-17 大连理工大学 8
• 高阶矩与高阶统计量
– 在非高斯信号处理中,一些信号的二阶统计量无法 描述信号的特征,需要采用高阶统计量。例如三阶 和四阶统计量:
c3 (k1, k2 ) E[ x(n) x(n k1 ) x(n k2 )]
c4 (k1 , k2 , k3 ) E[ x(n) x(n k1 ) x(n k2 ) x(n k3 )] E[ x(n) x(n k1)]E[ x(n k2 ) x(n k3 )] E[ x(n) x(n k2 )]E[ x(n k1 ) x(n k3 )]E[ x(n k1 ) x(n k2 )]
2014-6-17 大连理工大学 27
• 【例】方波与余弦信号的累积量与双谱
2014-6-17
大连理工大学
28
• 双谱估计的直接法
– 第1步:将数据样本分成 K 段,每段长
mon(1 x1 , 2 x2 , cum(1 x1 , 2 x2 , , k xk ) i mon( x1 , x2 ,
i 1 k k
, xk ) , xk )
, k xk ) i cum( x1 , x2 ,
i 1
2014-6-17
大连理工大学
22
– 性质2:矩和累积量关于他们的变元是对称的,即:
– 二阶矩以下的统计矩称为分数低阶矩,或分数低阶 统计量,其范围为(0,2),可以取这个范围内的任 何值。
2014-6-17 大连理工大学 6
• 二阶矩与二阶统计量
– 主要包括相关与功率谱等概念方法;
– 在最优信号处理方面,基于二阶矩的最小均方误差 准则,往往是重要的选择;
– 设 X (n) {x(n)} 表示具有零均值的广义平稳离散随机 信号。 – 在不引起混乱的情况下,以x(n)来表示同样的离散 随机信号。x(n)的二阶统计矩(自相关序列)定义 为
2014-6-17
大连理工大学
9
• 信号的双谱和三谱
– 信号的双谱和三谱分别是信号的三阶累积量和四阶 累积量的二维和三维傅里叶变换:
C3 (w1 , w2 )
k1 k2
c (k , k ) exp[ j(k w k w )]
3 1 2 1 1 2 2
4百度文库1 2 3 1 1 2 2
• §15.5
非高斯信号处理应用
§15.1 概述
• 1. 高斯分布与非高斯分布
– 传统信号处理中,通常假定随机信号与噪声服从高 斯分布: • 服从中心极限定理(大量随机变量之和趋于高斯 分布);
• 便于计算分析。
– 但是实际应用中,大部分随机信号是非高斯分布的; – 若采用高斯分布来描述,会使所设计的信号处理系 统退化。
f ( x)
2 1 e 2 2 x2
– 则第一特征函数为
() f ( x)e dx e
j x
2 2 / 2
– 随机变量x的各阶原点矩可表示为
k d ( ) k (k ) k mk ( j)k ( j) (0) E { x } k d 0
– 不存在二阶和高阶统计量; – 因此常规的基于二阶统计量的信号处理算法退化; – 常用分数低阶统计量的方法进行信号处理。
2014-6-17
大连理工大学
11
• 分数低阶统计量
– 统计矩从0阶一直延伸至无穷,最常用的是一阶和 二阶统计量; – (0,2)阶的统计量称为分数低阶统计量; – 有多种分数低阶统计量,例如共变、分数阶相关、 分数阶协方差等; – 分数低阶统计量适合于Alpha稳定分布信号处理。
2014-6-17
大连理工大学
16
– 对第一特征函数求各阶导,并且将 0 带入所得 的各阶导数表达式,得高斯随机变量的高阶矩计算 结果,即
m1 0, m2 2 , m3 0, m4 3 4
– 根据 ( ) 各阶导数的规律,高斯随机变量的任意高 阶矩可表示为
0, k为奇数 mk k 1 3 ( k 1) , k为偶数
ck (1, , k 1 ) cum[ x(t ), x(t 1 ), , x(t k 1 )]
– 说明:上式是定义式,一般不用于计算。
2014-6-17
大连理工大学
15
• 3. 高斯信号的高阶矩和高阶累积量
– 设 x (t ) 是高斯随机变量,均值为0,方差为 2 ,其 概率密度函数表达式为
2014-6-17
大连理工大学
4
• 非高斯信号分析与处理成为信号处理领 域的热点研究问题
– 科学技术的发展提出了这种需要;
– 数学、信号处理和计算机技术的发展,提供了这种 可能。
2014-6-17
大连理工大学
5
• 2. 矩与统计量的概念
– 根据上图,二阶矩以上的统计矩称为高阶矩或高阶 统计量,其范围为 (2, ) ,一般取整数阶。
mk (1,
, xk (t ) x(t k 1 )
x(t k 1 )}
则上式变成单变量x(t)的k阶矩,即:
, k 1 ) E{x(t ) x(t 1 )
2014-6-17
大连理工大学
14
• 2. 高阶累积量的定义
– 随机信号 x (t ) 的 k 阶累积量表示为:
• 斜度(skewness)的概念
– 实信号 x(t ) 的斜度定义为: –
Sx E{x3 (t )}
– 斜度是衡量一个随机信号偏离对称分布的歪斜程度。
2014-6-17 大连理工大学 19
• 峰度(kurtosis)的概念
– 实信号 x(t ) 的峰度定义为:
Kx E{x4 (t )} 3E 2{x2 (t )}
C4 (w1 , w2 , w3 )
k1 k2 k3
c (k , k , k ) exp[ j(k w k w
k3w3 )]
2014-6-17
大连理工大学
10
• Alpha稳定分布
– 是广义的高斯分布;
– 是唯一的一类构成独立同分布(i.i.d.)随机变量之 和的极限分布;