导数在高中数学教学中的应用(理论)

导数在中学数学中的应用

高中数学中导数的引入为我们研究函数及其对应的曲线带来很大的方便, 尤其是可以利用导数来解决函数的单调性问题和最值问题, 更可以用导数来解决部分结合问题.另外导数的工具性和导数的几何意义也使得导数及解析几何、不等式、函数、甚至数列知识更加紧密的联系在一起.近年来, 导数的相关知识在高考中的地位日益突出, 本文就简单谈谈导数在函数、不等式、数列、解析几何中的应用. 1 导数的定义的相关定义

很多人知道,对于很多问题,采用用高等数学的方法和初等数学的方法都可以解答, 但是高等数学的方法相对于初等数学的方法可以使一些概念更准确, 对某些问题的理解会更深刻, 使一些证明更严谨或更简单, 并为许多问题提供的解题途径. 我们高中对导数的学习只是出略的, 更多相关的知识要高等数学中才会学习, 但我们应该明白高中出现的函数几乎都是可导函数.但我们还是要注重有关概念的辨析, 避免应用导数解决相关问题是出现错误.为了更清楚地了解导数的定义我们应用高等数学中导数的定义方式. 1.1 函数连续的定义

定义1 若函数()f x 在0x 的附近包括0x 点本身有定义, 并且

()()0

0lim x x f x f x →=. 则称()f x 在0x 连续, 或称0x 点是 f (x )的连续点.

1.2 导数的定义

定义2 设函数y =()f x 在点0x 的某个邻域内有定义, 若极限 ()()0

000

lim

lim

x x x f x f x y

x x x →∆→-∆=-∆ 存在, 则称函数()f x 在0x 处可导, 并称该极限为函数 y =()f x 在点0x 处的导数, 记作()x f '.

注：

(1) 函数应在点x 0x

的附近有定义, 否则导数不存在.

(2) 在定义导数的极限式中, x ∆趋近于0可正、可负、但不为0, y ∆可能为0.

(3) y

x

是函数y=f (x ) 对自变量x 在x 范围内的平均变化率, 它的几何意义是过曲线)(x f y =上点(x 0, )(0x f 及点(0x +x ∆, )(00x x f ∆+的割

线斜率.

(4) 导数()()()

0000lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变

化率, 它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度, 它的几何意义是

曲线)(x f y =上点(0x , )(0x f )处的切线的斜率. (5) 若极限000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆不存在, 则称函数y=f (x )在点0x 处不可

导.

(6) 如果函数y=f (x )在开区间(a , b )内每一点都有导数, 则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a , 都对应着一个确定的导数()x f ', 从而构成了一个新的函数()x f ', 称这个函数. 2 导数在函数问题中的应用 2.1 利用导数作函数的图像

中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤：

（1） 求出函数的定义域； （2）考察函数的奇偶性、周期性；

（3）求函数的一些特殊点, 如及两坐标轴的交点等(列表)； （4）确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表)； （5）考察渐进线； （6）画图.

例1 作函数2015623--+=x x x y 的图像. 解：(1) 函数的定义域),(+∞-∞

(2)

曲线及x , y 轴交点分别为

55(1,0),(,0),(0,20)22

--

--. (3) 令0)1)(5(3151232=-+=-+='x x x x y 解得1,5-=x 令0)2(6126=+=+=''x x y 解得2-=x

(4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点：

(5) 无渐进线 (6) 作图：

图1

2.2 利用导数求参数的值

在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而更快速的求出参数. 例 2 已知函数()22()2

x a

f x x R x -=

∈+在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数a 的取值所组成的集合A .

解 2

22222)2()

2(2)2(224)(+---=+-+='x ax x x x ax x f

又()f x 在[-1, 1]上是增函数

0)(≥'x f 对[]1,1-∈x 恒成立, 即022≤--ax x 对[]1,1-∈x 恒成立. 设2)(2--=ax x x ϕ, 那么问题就等价于

⎩⎨⎧

≤≥-0

)1(0)1(ϕϕ 即⎩⎨⎧≤--≥-+0

210

21a a 故11≤≤-a 所以 A={}|11a a -≤≤.

2.3 判断函数的单调性

函数的单调性是函数最基本的性质之一, 是研究函数所要掌握的最基本的知识.通常用定义来判断, 但当函数表达式较复杂时判断

)()(21x f x f -正负较困难.运用导数知识来讨论函数单调性时, 只需求出

)(x f ', 再考虑)(x f '的正负即可.此方法简单快捷而且适用面广.

例 3 已知d cx bx x x f +++=23)(是定义在R 上的函数, 其图像交x 轴于

C B A 、、三点, 点B 的坐标为(2,0),且)(x f 在[-1,0]和[0,2]有相反的

单调性.

(1)求C 的值.

(2)若函数)(x f )在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性, )(x f 的图像上是否存在一点M , 使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3? 若存在, 求出M 点的坐标. 若不存在, 说明理由.

解 分析:（1）()c bx x x f ++='232, )(x f 在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.

∴ x =0是()x f 的一个极值点, 故()00='f . ∴c =0

（2）()0='x f 得0232=+bx x ,01=x ,b x 3

2

2-= 因为)(x f 在[0,2]和[4,5] 有相反的单调性, ∴()x f '在[0,2]和[4,5] 有相反的符号. 故43

22≤-≤b ,36-≤≤-b .

假设存在点M ),(00y x 使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3,则0()3f x b '=.

即032302

=-+b bx x .)9(4)3(3442+=-⨯⨯-=∆b b b b ,而()b x f 30='.