大学物理动量及动量守恒定律

-2
地球参考系：非惯性系
地心参考系：近似的惯性系 地面绕过地心的轴自转： a n 3 . 4 10 2 m s -2
地面参考系：非惯性系 对于日常运动的研究和实验，地面可作为近似程度 相当好的惯性系；而相对地面加速运动的参考系是 非惯性系。 实际生活中存在大量非惯性系，分为两类： 加速平动参考系 转动参考系 其中牛顿运动定律不成立
F外

i
F i外
m1
F3外
F 31
F 13
m3
质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有
F内

i
F i内 0
同一力对某一系统为外力， 而对另一系统则可能为内力
在所选定的参考系中，N个质量分别为 m 1 , m 2 , , m N 动量 分别为 p 1 , p 2 , , p N 的质点组成一个质点系。由质点动量定 理，每个质点所受的合力分别为
O
y

m1 m2 mN rc r1 r2 rN M M M
权重
即：质心位矢是各质点位矢的加权平均。
直角坐标系中，质心的位置： z
m m1 2 r2 C rc r1

xc
mN
N
m i xi M
i1
rN
x
O
N
y

yc
N
m i yi M
i1
mg F kAv m
v
F
o
f
dv dt
t
c mg

0
m dv mg F kAv


0
dt
+

m kA
ln
mg-F-kAv mg F e

t
kA m t
v
vm
mg F kAv mg F
kA t mg F m 1 e v kA

p M vc
dM vc dt
代入上式得
F外

M
dvc dt
M ac
质心运动定理
其运动与系统 内质点相互作 用无关
质量 M 质心的运动 ~ 质点 位于 r c 受力 F 外
基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表， 描述质点系整体的平动。
刚体或柔体
小结
2
;aM
mg cos sin M m sin
重要性质：相对已知惯性系静止或匀速直线运动的参 考系是惯性系；相对已知惯性系加速运动的参考系是 非惯性系。
实际处理： 选择对所研究问题适宜的近似惯性系 太阳绕银河系中心公转： a n 1 . 8 10
3 10
m s
-2
太阳参考系（恒星基准）：较好的惯性系 地球绕太阳公转：
a n 6 10 m s
vx ? vy ? x ? y ?
消去 t ，得轨道方程
y
x v 0 cos
v 0 sin
g k
g k
2
kx ln 1 v 0 cos
例2. 已知：m , M , , 0 求：m对M的正压力N
m
m

对
M
的加速度 a
o
t
讨论潜艇运 动情况：
t0 t
v 0,
t
v
dv dt
,
v v max
mg F kA
恒量
极限速率（收尾速率）
类似处理：跳伞运动员下落， 有阻力的抛体运动
小球在粘滞流体中下落…...
练习：一物体作有阻力的抛体运动
m 已知： , v0 ,
,
f kmv
求： 轨道方程
dp dt d m v dt m dv dt ma F ( v c )
质点动量的时间变化率是质点所受的合力 牛顿第二定律的一般形式
F dp dt
特例
v c
F ma
二.质点系问题
1.质点系的动量
质量分别为: m 1 , m 2 , m i , m N
质点系总动量：
p
p M
d rc dt
m i ri M

i
pi

i
d mi M dt dt i
d ri
z
m m1 2 r2 C rc r1
质心位矢： r c
rN

i
m i ri M
x
mN
rc
m 1 r1 m 2 r2 m N r N m1 m2 m N m 1 r1 m 2 r2 m N r N M
x
F m
y
dv dt v
2
ma ma

Fn m
R
n
例1. 一艘质量为 m 的潜水艇，全部浸没水中，并由 静止开始下沉。设浮力为 F ，水的阻力 f = kAv， 式中A 为潜水艇水平投影面积，k 为常数。求潜水艇 下沉速度与时间的关系。 解：以潜艇为研究对象，受力如图（哪些是恒力？ 哪些是变力？） 在地面系中建立如图坐标 由牛顿第二定律：
重点 概念：质点、质点系的动量； 力的冲量； 规律：牛顿运动定律； 动量定理的微分形式和积分形式；
动量守恒定律
难点：变力作用的动力学问题； 惯性力，非惯性系中的力学定律
学时：4
§4.1 动量 动量的时间变化率 一.质点问题 1.质点的动量
p mv
量度质点机械运动的强度 2.质点动量的时间变化率
F3外
F 31
F 13
m3
将以上各式相加，并考虑到
F内

N
F i内 0
得：
i 1
d F1外 F 2 外 F N 外 ( p1 p 2 p N ) dt
即
F外

N
i1
dp F i外 dt
结论：质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动 量的时间变化率。 将
z
r1
m1
r2
m2
rN
ri
mi
位矢分别为: r1 , r2 , ri , 动量分别为: p 1 , p 2 , p i ,
质点系总质量： M
rN pN
x
mN
O
y

1
N
mi
质点系总动量：
p p1 p 2 p N
解： 先建立 x，y 方向的运动微分方程，
受力情况如图：
kmv kmv m dv x dt mg m dv y dt
y
v0

f m
mg
x
y
o
x
kmv kmv
x
m
dv x dt dv y dt
y
v0

f m
mg
y
mg m
o
x
用积分法求解
分别讨论惯性系和非惯性系中的力学定律
二.惯性系中的力学定律 十 六 字 诀 隔离物体 ——明确研究对象 具体分析 ——研究对象的运动情况和受力情况 选定坐标 ——参考系、坐标系、正方向 建立方程 ——分量式
Fx Fy Fz dp x dt dp y dt dpz dt ma
z
ma ma
以地面为参考系,列 M 的运动方程：
受力情况如图：
M

y Q

aM x
Mg
F x N sin Ma
N N
M
(1) (2)
F y Q Mg N cos 0
aM 0 , M 不是惯性系。
以地面为参考系, 列 m 的运动方程：
以地面为参考系, 列 m 的运动方程：
my

(3) (4)
F y N mg cos ma
ma
M
sin
F x N sin Ma
F x mg sin ma
mx
m a a M cos
my
M
(1 )

(3) (4)
F y N mg cos ma
ma
rc

m i ri M

zc
N
m i zi M
i1
i1
质量连续分布的质点系
dV
dm dV
z
dm x , y , z
dm dS
dl
dm dS dm dl
r
x o
M
y
dm：宏观小，微观大
xc

xdm M ydm M zd m M
质点
p mv dp F dt p pi M vc dp dt
i
v c
质点系
F ma F外 M a c
F外
§4.2 习题课——运动定律的应用 一.惯性系和非惯性系 惯性系：惯性定律在其中成立的参考系，即其中不受外 力作用的物体（自由粒子）永远保持静止或匀速直线运 动的状态。 如何判断一个参考系是否惯性系？
M
sin
由（1）、（3）、（4）解得： y
NHale Waihona Puke Baidu
N
m
aM
Mmg cos M m sin
2
a
a m mg
aM a
mg cos sin M m sin
2 2
x
M
m g sin
M m sin
可用极限法检验：
N Mmg cos M m sin
d p1 F 1 F 1 外 F 1内 dt dp2 F 2 F 2 外 F 2内 dt dpN F N F N外 F N内 dt
F1外
F 21
F 12
F2外
m2
F 23 F 32
m1
理论上：分别考察受力和运动，检验其是否遵守惯性定律 “惯性原理的弱点在于它会有这样一种循环论证： 如果一个物体离开别的物体都足够远，那么它运动 起来没有加速度；而只有由于它没有加速度这一事 实，我们才知道它离开别的物体是足够远。” —— 爱因斯坦
实际上：力、运动、参考系三者不是互相独立的。 惯性系是参考系中的理想模型，其存在是牛顿力学的 基础和前提。
－－蒲柏（1688－1744）
运动学（第三章 运动的描述）
第四章： 动量 动量守恒定律
动力学
（运动的度量）
第五章： 角动量 角动量守恒定律
第六章： 能量 能量守恒定律
特点：以守恒量和守恒定律为中心。
第四章 动量 动量守恒定律 结构框图
质量
速度
动 量
动量
变化率
动量 定理
动量守恒 定律
牛顿运动定律 以动量及其守恒定律为主线，从动量变化率引入牛顿运 动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。 恒力，质点，惯性系 变力，质点系，非惯性系
rc

r dm M
yc zc
质心的速度与加速度：
vc d rc dt
dt
i
d
m i ri M


m i d ri M dt


i
m ivi 或 M

vdm M
质心速度是各质点速度的加权平均
同理：
dvc ac 2 dt dt d rc

i
pi

i
m ivi
m
i
d ri
i
dt
如何简化？
类比法
质点 质点系
p mv m
dr dt d rc dt
z
p M vc M
m1 r2 C rc r1
m2
rN
x
mN
寻找特殊点 C — 质心
其位矢为 r c =?
O
y
2.质心
同学们好
Nature and nature,s law lay hid in night:
God said let Newton be! And all was light
（英）I . Newton 1642-1727
－－A.Pope （ 1688－1744）
自然与自然规律为黑暗隐藏：
?
上帝说，让牛顿来！一切遂臻光明。
a g sin
M
解：N mg cos
对不对？
y
a
此结果是以M为参考系得出的
F x mg sin m a F y N mg cos 0 a g sin N mg cos
N
m
x

mg
能否在M系中用牛顿定律列方程？M是否惯性系？
2

i
m iai 或 M

adm M
质心加速度是各质点加速度的加权平均
vc , ac 也可以写成分量式。
3.质点系动量的时间变化率 质心运动定理 内力——质点系内质点间的相互作用力 外力——质点系外的物体对系内任一质点的作用力
F1外
F 12 F 21
F2外
m2
F 23 F 32
y
N
a m 地 a mM a M 地
m
aM
a
am a aM
a mx a a M cos a my a M sin
a m mg
x
以地面为参考系列方程：
F x mg sin ma
mx
m a a M cos