度量空间中自列紧集、紧集、连通集与连续映射

开集与连续映射
1.定义在度量空间的开子集上的函数,连续⇔开集的逆象是开集。

证明：
设X 、Y 是度量空间，A 是X 的开子集，设有映射:f A Y →。

(1)充分性:
设映射:f A Y →连续，需证开集的逆象是开集。

设S 是Y 的任一开子集，并设S 的逆象是()1R f S -=。

任取x R ∈，那么
()f x S ∈。

因为A 是开集，所以存在正数x σ使得(),x U x A σ⊆。

因为S 是开集，
所以存在正数x ε使得()(),x U f x S ε⊆。

因为:f A Y →是连续映射，故存在正数
x τ使得()()()(),,x x f U x A U f x S τε⋂⊆⊆。

设{}min ,x x x δστ=,那么()(),,x x U x U x A δσ⊆⊆且()(),,x x U x U x δτ⊆，所以
()()()()()()()(),,,,x x x x f U x f U x A f U x A U f x S δδτε=⋂⊆⋂⊆⊆，那么
(),x U x R δ⊆。

所以S 的逆象()1
R f S -=是开集。

(2)必要性:
设开集的逆象是开集，需证映射:f A Y →连续。

任取x A ∈。

任取正数x ε，设()(),x S U f x ε=，显然S 是Y 的开子集。

设S 的逆象是()1R f S -=，那么R 是开集，所以存在正数x δ使得(),x U x R δ⊆ 。

因为
()1R f S -= ，所以 ()()(),x f R S U f x ε⊆= 。

又因为(),x U x R δ⊆，所以()()()()(),,x x f U x f R S U f x δε⊆⊆= 。

所以映射:f A Y →连续。

自列紧集(列紧闭集)与连续映射
1.度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。

证明:
设X Y 、是度量空间，A 是X 的自列紧子集。

设:f A Y →是连续映射,象集为()B f X Y =⊆。

设{}n y 是B 的序列。

对任意正整数k ，设k y 的某个原象是k x A X ∈⊆，这样得到X 的序列{}n x 。

因为X 是自列紧集，存在{}n x 的子列{}
n N x 收敛于0x X ∈。

因为:f A Y →连续，所以序列
{}(){}n
n
N N y f x =收敛于()0
f x B ∈。

{}(){}n n
N N y f x =是{}n
y 的子序列，故象集B
是自列紧集。

所以自列紧集在连续映射下的象是自列紧集。

2.度量空间的自列紧子集到实数集连续映射可以取到最大最小值。

证明：
设X 是度量空间，A 是X 的自列紧子集。

设:R f A →是连续映射,象集为()R B f X =⊆。

那么B 是自列紧集。

由于实数集中的自列紧集是有界闭集，而有界闭集一定有最大最小值（若无，可构造出收敛于确界的序列，那么确界便为聚点，矛盾）。

所以:R f A →可以取到最大最小值。

3.n R 的非空子集有最值性质(任意到R 的连续映射有最大最小值)当且仅当它是自列紧集。

证明: 充分性：
度量空间的自列紧子集具有最值性质已证。

n R 是度量空间，所以n R 的非空自列紧子集有最值性质。

必要性：
假设A 是n R 的非自列紧子集，则A 是无界或不闭的(n R 中自列紧集等价于有界闭集)。

(1)若A 无界，定义函数()f x x =，该函数连续但是没有最大值。

(2)若A 不闭，存A 的序列{}n x 收敛于点0x A ∉。

定义函数()0f x x x =－，该函数没有最小值,因为它可以任意接近于0但是取不到0。

综上，n R 的非自列紧子集不具有最值性质。

所以n R 的非空子集有最值性质当且仅当它是自列紧集。

紧集与连续映射
1.度量空间的紧子集在连续映射下的象是紧集。

证明:
设X Y 、是度量空间，A 是X 的紧子集。

设:f A Y →是连续映射,象集为
()B f X Y =⊆。

设B 的一个开覆盖为G 。

任意S G ∈是开集，所以对任意y S ∈，存在邻域
(),y U y S ε⊆。

对于任意()1x f y -∈(()1f y -是y 的原象集)，因为:f A Y →是连
续映射，所以存在邻域(),x U x δ使得()()(),,x y f U x A U y δε⋂⊆。

对于每个y S ∈记
()
()
1
,x y x f
y U U x δ-∈=
，易知
y
U 是开集,且
()()()()()()()11,,,y x f y x f y x x f U f U x f U x U y S δδε--∈∈⎛⎫
==⊆⊆ ⎪ ⎪⎝⎭
；
对每个S G ∈，记S y y S
R U ∈=
，易知S R 是开集，且()()S y y S
f R f U S ∈=
⊆；记{}|S F R S G =∈。

对于任意x A ∈,()f x B ∈。

而G 是B 的开覆盖，所以存在S G ∈使得()f x S ∈。

那么()S f x x U R ∈⊆，所以F 是A 的一个开覆盖。

因为A 是紧集，F 可以选出有限
覆盖{}
|1,2k R k n =，对应于G 的有限子集为{}|1,2k S k n =，其中()()k
k y k y S f R f U S ∈=
⊆。

所以 ()()11
1n n
n
k k k k k k B f A f R f R S ===⎛⎫=⊆=⊆
⎪⎝⎭。

所以 {}|1,2k S k n = 是B 的有限覆盖。

所以B 是紧集。

2. 度量空间的紧子集到实数集连续映射可以取到最大最小值。

证明：
设X 是度量空间，A 是X 的紧子集。

设:f A →R 是连续映射,象集为()B f X =⊆R 。

那么B 是紧集。

由于实数集中的紧集是有界闭集，而有界闭集一定有最大最小值（若无，可构造出收敛于确界的序列，那么确界便为聚点，矛盾）。

所以:f A →R 可以取到最大最小值。

3.n R 的非空子集具有最值性质当且仅当它是紧的。

证明：
紧子集具有最值性质已证。

下面证明具有最值性质则一定是紧集。

假设A 是n R 的非紧子集，则A 是无界或不闭的(n R 中自列紧集等价于有界闭集)。

(1)若A 无界，定义函数()f x x =，该函数连续但是没有最大值。

(2)若A 不闭，存A 的序列{}n x 收敛于点0x A ∉。

定义函数()0f x x x =－，该函数没有最小值,因为它可以任意接近于0但是取不到0。

综上，n R 的非自列紧子集不具有最值性质。

所以n R 的非空子集有最值性质当且仅当它是紧集。

连通集与连续映射
1.度量空间的连通子集在连续映射下的象是连通集。

设X 、Y 是度量空间，A 是X 的开子集。

设:f A Y →是连续映射,值域为
()B f A Y =⊆。

反证法。

假设B 不是连通集，那么存在Y 的非空开子集F 、G 分离B (F 、
G 与B 的交都不空)。

定义集合(){}|,R x f x F x A =∈∈,(){}|,S x f x G x A =∈∈。

显然，R S 、都不空。

下面要证明:存在不相交的两个X 的开子集M N 、分离A 。

设r R ∈，则()f r F ∈。

因为F 是开集，所以存在正数r ε，使得
()(),r U f r F ε⊆。

因为:f A Y →连续，存在邻域()r U r σ,，使得()()()()r r U A U f f r r σε⊆⋂,,，即()r U r A R σ⋂⊆,。

同理，对于任意点s S ∈，
存在邻域()s U s σ,使得()s U s A S σ⋂⊆,。

对任意点r R ∈，s S ∈，设2s s δσ=；设(){}inf ,r d d r s s S =∈，显然0r d >(否则，便不存在不包含S 的点的邻域)，()(),,0s s d r s d r s δσ->->。

若(),2s r d r s d σ-≥，则()(),,24s x s r r d r s d r s d d δσ->-≥>； 若()0,2s r d r s d σ<-<，则(),222s r r r r d r s d d d d σ>->-=，
24s r d σ>，()(),,224s s s s r d r s d r s d δσσσ-=-+>>。

所以，对任意r R ∈，s S ∈都有(),4s r d r s d δ->。

对任意r R ∈，设4r r d δ=。

那么(),s r d r s δδ->，即(),r s d r s δδ>+。

设集合()(),,,r s r R
s S
M U r N U s δδ∈∈=
=。

显然M 、N 都是开集。

且对于任意
r R ∈，(),r r U r M δ∈⊆,故R M ⊆;同理可得S N ⊆。

所以A R S M N =⋃⊆⋃。

设x M ∈，那么存在r R ∈，使得(),r x U r δ∈，即(),r d x r δ<。

由三角不等式，
()()()
,,,d r x d s x d r s +≥。

又由
(),r
d x r δ<和
(),r s
d r s δδ>+得
()()(),,,r s r s d s x d r s d r x δδδδ≥->+-=。

所以x N ∉。

同理可得，若x N ∈，则x M ∉。

所以M N ⋂=∅。

所以M N 、分离A 。

这与A 是连通集的条件矛盾。

所以B 是连通集。

（Fitzpatrick 的《高等微积分》的证法：利用“开集的逆象是开集”。

）
2.度量空间的子集具有介值性当且仅当它是连通集。

证明: 充分性：
设X 是度量空间，A 是X 的连通子集。

设:f A →R 是连续映射,象集为()B f X =⊆R 。

因为A 是连通的，:f A →R 是连续映射，所以B 是连通的，所以B 是区间。

所以有介值性质。

必要性：
设X 是度量空间，A 是X 的非连通子集。

因为A 是非连通集，存在两个不相交的开集M N 、分离A 。

构造映射:f A →R ,定义为
()0,1,x M f x x N
∈⎧=⎨∈⎩
因为定义域所有点含于两个开集M N 、之一，每个点都存在一个邻域含于M N 、之一，该邻域中的函数值也是单一的,所以该映射连续。

但是该函数显然没有介值性。

所以集A 不连通则没有介值性。

所以度量空间的子集具有介值性当且仅当它是连通集。

同胚映射
1.同胚映射的概念：
设X 、Y 是度量空间，A X ⊆。

若A 到Y 的连续映射:f A Y →是一对一的且
()1:f f A A -→也连续，则称f 为同胚映射，称度量空间A 和()f A 是同胚的。

2.同胚映射的性质：
根据以上各定理易知：同胚映射把开集映为开集，把闭集映为闭集，把自列紧集映为自列紧集，把紧集映为紧集，把连通集映为连通集。

3.集合的拓扑性质的概念
集合的拓扑性质是在每一个同胚映射下保持不变的性质。

显然，开、闭、自列紧、紧和连通是拓扑性质。