尺规三等分任意角

数学学科2016学年论文

“尺规三等分任意角”

作法及其论证

山东省聊城市茌平县

振兴中学

初二.15班田美辰

尺规三等分任意角”，这曾是令无数数学家为难而又兴奋的难题。阿基米德曾证明过，虽然表面上是证明了，但他犯了一个致命的错误，就是他所用的条件超出了题给条件。

几何学发展至今，虽为完备，但仍有缺憾，尺规三分角就是其一。除一些特殊角（直角、平角和圆周角）外，至今还没有一种严格的几何方法能将任意一个角三等分。而我们现在的教材上，只有用到直角拐尺才可完成对一个任意角的三等分。数学先哲们曾断言定论，尺规三分角是尺规不能问题。不才无学，但也相信科学和尊重客观事实。在闲暇之际，偶生兴趣，突发灵感，得一妙法，可将任意角一分为三。后附详细作法和证明。经过长期的探究，本人发现这种方法可以对一个角进行多等分。

一、作图步骤

（1）做一个任意角

C

O

D

（2）用圆规截取任意长度r为半径，以O为圆心画弧。交射线OC、OD分别与

点A点B。

C

A

O

B D

（3）以A、B为圆心，在以r为半径画弧，分别交OC、OD与A＇B＇

C

A＇

A

O

B B＇ D

（4）以A为圆心，以2r为半径画弧，再以B＇为圆心，以r为半径画弧，二弧线相交于点C＇;同理，得到点D＇。

C

A ＇

D＇

A C＇

O B B＇

（5）连接OD＇、OC＇,即可得到这个角的三等分。

C

A＇ D＇

A C＇

O B B＇ D

二、理论论证

证明：

将此图补充完整﹝以B为圆心，以2r为半径画圆，以C为圆心，以r为半径画圆，2圆共同交于点F；同理，得到点E；⊙A与⊙B交于点O＇⊙D与⊙B交于点G。⊙A、⊙C交于点H﹞连接EF,发现E、G、H、F在同一直线上。连接AO＇、 BO＇、OO＇,分别交于点J、I＇P.

∵⊙A=⊙B,AO＇和BO＇分别为圆中任意半径，

∴AO＇=BO＇=2r.

又∵OA=OB=r

∴在△AOO＇和△BOO＇中

｛

∴△AOO＇≌△BOO＇

∴∠AOO＇=∠BOO＇即∠4＋∠1=∠2＋∠3

又∵△AOO＇和△BOO＇是同底三角形，△AOO＇≌△BOO＇

∴S△AOO＇=S△BOO＇

又∵S四边形OJID公共

∴S△OBI=S△OAL

做BB＇⊥OI,AA＇⊥OJ

∵S△OBI=S△OAL,OA=OB

∴½×OA×AA＇=½×OB×BB＇

AA＇=BB＇

在Rt△OAA＇和Rt△OBB＇中

｛

∴Rt△OAA＇≌Rt△OBB＇

∴∠3=∠4

∴∠1=∠2

以G为圆心，以GP为半径向EG画弧，并将EG二等分，发现都与EG交于点M

∴PE∶PG=3

又∵OE=OF,∠1＋∠4=∠2＋∠3

∴OP⊥EF

在Rt△OPG、Rt△OPE

∵tan∠1=GP∶OP tan∠EOP=PE∶OP

∴OP=PG∶tan∠1 OP=PE∶tan∠EOP

∴PG∶tan∠1=PE∶tan∠EOP

∴tan∠EOP∶tan∠1=PE∶PG=3

即∠EOP∶∠1=3

∴∠EOP=3∠1

∵∠EOP=∠1＋∠4

∴∠4＋∠1=3∠1

∴∠4=2∠1

又∵∠1=∠2，∠4=∠3

∴∠4=∠3=∠1＋∠2

即∠4=∠3=∠5.

小结：自古以来，不小数学爱好者对三等分角作了大胆的尝试，但论证的途径多局限于证明其所在的三角形全等或其所在的三角形相似这两个方面。今天，我运用直角三角形函数关系进行论证，其论据充分，作法简单，直得参详

B D F E C

直角三角形三角函数定义

在直角三角形中，当平面上的三点A 、B 、C 的连线，AB 、AC 、BC ，构成一个直角三角形，其中∠ACB 为直角。对∠BAC 而言，对边（opposite ）a=BC 、斜边（hypotenuse ）c=AB 、邻边（adjacent ）b=AC ，则存在以下关系：

=3FE ：FE=3即∠FAC ：∠3=3∴∠FAC=3∠3 ∵∠FAC=∠3+∠2（图知）∴∠3+∠2=3∠3（等量代换）∴∠2=2∠3（等式性质）∵∠DAE=2∠3（已证）∴∠DAE=∠1=∠2（等量代换）