计算流体力学基础P偏微分方程的性质 ppt课件

Slide 11
2） 一维Euler方程
UF(U) 0 t x
U(,u,E)T
A F(U) U
u
F(U) u 2 p
(E
p)u
AS1ΛS
aux
bu y
c
v y
d
v x
u y
(2)
x u v b /1a c/a0 y u v 0 d/a
转化为一阶偏微方程组
矩阵
0
b
2
4 ac
0
0
b/a c/a
A1
0
I A 0 a 2 b c 0 ( 3 )
特征方程（3）有两个互异实根 -> 矩阵A可对角化 -> 双曲型
） 2） 在边界上选取初始点 ( x0 , y0 ) ，由边界条件确定该点的
物理量值 u 0 3） 根据特征线及特征相容关系数值积分，求出特征线下
一个点的坐标 ( x1 , y1 ) 和函数值 u 1 。递推下去，计算出整条特 征线的（离散）坐标及物理量的（离散）值。
4）在边界上选取新的点，重复步骤3），计算出整个计算 域物理量的分布
x
x s
a(x, y)
y
s
b(x, y)
u c(x, y)
s
Slide 6
2. 一阶常系数偏微方程组
U A U 0 t x U (u1,u2,......um)T
如果矩阵A 可以被对角化： AS1ΛS
US1ΛSU0
t
x
SUΛSU0
t
x
di( a1,g 2,...m .)..
令： VSU 有
u cu 0 xa,b 有限空间 t x
A
B
初值： u(x,0)(x)
问题： 如何给定边界条件？
c>0 扰动波向右传播：
重要基本概念，
左端(A)需要给定边界条件；
需掌握
右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件
（即使给定，对计算域也无任何影响, 且造成B端的非适定性）。
c<0 扰动波向左传播： 右端(B)需要给定边界条件； 左端(A)无需给定
➢ 如果A的特征值为m重根，而且对应的独立特征向量数小于m，则称为抛
物型方程。 ➢ 如果其A的特征值均为复数，则称为椭圆型方程
组合情况： 双曲-椭圆型 双曲-抛物型
Slide 8
3. 高阶偏微方程—— 可转化为一阶方程组
2f a
b2f
c2f
d
(1)
x2 xy y2
u f ,v f x y
原方程化为一阶方程组：
UAU0 t x
vj t
j
vj x
0
✓变换成为了彼此独立的n个单波方程
方法： 独立给定j个方程的边界条件
如果 j>0, 则在左端给定vj的边界条
件
A
如果 j<0, 则在右端给定vj的边界条 件
j=1 j=2
B
➢特点： 左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特 征值的符号确定
➢可推广到一般的双曲型方程组
✓对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且连续依赖 于初始值，则称数学问题的提法是适定的。
4
➢（一般形式）一阶线性偏微方程
a(x,y)ub(x,y)uc(x,y)
x
y
y
xx(s)y ;y(s)
采用特征线法，可转化为常微分方程
考虑曲线G: xx(s)y ;y(s)
显然， 沿着该曲线G有： uudxudy
u(Ep)
守恒变量：质量 密度、动量密度、 能量密度
u1
U u u2
E
u
3
u 1,uu 2/u 1,E u 3
E p 1 u2 1 2
p
(
1)(u3
1 2
u22 u1
)
将矩阵A对角化 AS1ΛS
1 0 0
Λ
0
2
0
0 0 3
一维非定常Euler方程转化为三个单波方程:
s x ds y ds
如果该曲线G满足：
dx ds
a
dy
ds
b
特征线
x
特征线简化了方 程，在空气动力 学领域应用广泛
则有：
duaubuc ds x y
特征相容关系 （特征线上物理量的简化方程）
✓偏微方程在特征线上变成了常微分方程
Slide 5
演示： 如何利用特征线计算物理量
a(x,y)ub(x,y)uc(x,y)
x
y
特征线法是空气动力学重要的计算方 法。早期（计算机出现之前），是主 y 要的CFD手工计算方法之一。
特征线
dx ds
a(x, y)
dy
ds
b(x, y)
(x0, y0)
( x1, y1 )
s
y x
(x2, y2)
(x3, y3)
特征相容关系
du c(x, y) ds
计算域
步骤：
1）设定积分步长 s （根据精度需求设定，例如0.1
第四章 偏微分方程的性质
Behavior of Partial Differential Equations
Slide 1
超音速钝体绕流问题的解决
Slide 2
偏微方程的分类及特征
1. 一阶偏微分方程
➢ （常用）特例：常系数线性单波方程
u cu 0 t x
初值： u(x,0)(x)
方程的精确解：u(x,t)(xc)t
x(,)
含义： 以常速度c向右传播。 波形，振幅保持不变
t
t=t3
x-ct=const
重要概念： 特征线
t=t2 t=t1
自变量空间的一条曲 线，该曲线上物理量 的方程可简化 x
基本概念：椭圆型、双曲 型、抛物型方程
u
t=0
x
u
t=t0
x
t=0时刻与t=t0时刻物理量的分布
3
线性单波方程的边界条件:
扰动波分别以速度 1 u ,2 u c ,3 u c传播
f(U)
f1 f2 f3
u u2 u(E
p
p)
u2
(
1)u3
wk.baidu.com
u2u3 u1
3 u22 2 u1
1 u22 2 u1
好性质： 齐次函数
f(U)f(U)
Slide 10
5. 双曲型方程组边界条件提法
VΛV0 t x
即：
vj t
j
vj x
0
m个方程完全解耦， 可独立求解
有m 条特征线：
xjt 0
m个特征相容关系式：
vj
const.
G
如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的
Slide 7
➢ 如果矩阵A 具有m个实特征值， 这些特征值共具有m个线性无关的 特征向量， 则称为双曲型方程
✓ 一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系（常微 分方程）等价。
特征方程（3） 有两个相同实根，且无法对角化 -> 抛物型
特征方程（3）无实根
-> 椭圆型
Slide 9
4. 讨论Euler方程组
一维非定常流动：
f(U)AU
x
x
U f(U) 0 t x
Uu
E
0
1
0
AU f ((232)u3)u2u/2c21
(3)u c2 32u2 1 2
1
u
推导
u f(U)u2 p