利用角平分线构造全等三角形

利用角平分线构造全等

三角形

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

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善于构造 活用性质

安徽 张雷

几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题. 1.显“距离”, 用性质

很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）

例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想

办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．

已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别

是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC

∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC

∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．

【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．

求证：BP 为∠MBN 的平分线．

【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，•故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证．

【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ．

∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN

D C B A E

H

I F G

∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF

又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上，

即BP是∠MBN的平分线．

2.构距离,造全等

有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．

解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．

因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB．

∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．

由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE．

∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．

例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．

求证：AD=CD+AB．

证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．

∵DM平分∠ADC，∠C=90°．

MC=ME．根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．

同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．

3.巧翻折, 造全等

以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．

例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD•垂直于∠ABC•的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．

3

4

2

D C B

A 35

E

F 1

4 分析：要证BE=2CD ，想到要构造等于2CD 的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD 沿BD 翻折，使BC 重叠到BA 所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌△BFD ），然后证明BE 和CF （2CD ）所在的三角形全等．

证明：延长BA 、CD 交于点F ∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中 21()()()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

已知公共边已证 ∴△BCD ≌△BFD （ASA ） ∴CD=FD ， 即CF=2CD

∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。∴∠1=∠3。

在△ABE 和△ACF 中

4513()AB AC ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

已证 ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）∴BE=CF ， ∴BE=2CD 。

例6.如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和△DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD•相等吗请说明理由．

【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时

常用的两种方法． 1．可在长线段上截取与两条线段中一条相等的

一段，•然后证明剩余的线段与另一条线段相等．（割）

2．把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等．（补）

D C A E

5

34

D

C

A

B

6

5(1)

F E

1

2

34

D

C

A

B

6

5

(2)

E

F

1

2

证法一：如图（1）在AB 上截取AF=AC ，连结EF ．在△ACE 和△AFE 中

12AC AF AE AE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ACE ≌△AFE （SAS ）

∵

,∴

,又

,∴∠6=∠D

在△EFB 和△BDE 中

634D BE BE ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△EFB ≌△EDB （AAS ） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE ，与AC 的延长线相交于点F

434AC BD F ⇒∠=∠⎫⎬∠=∠⎭⇒∠F=∠3

在△AEF 和△AEB 中

312F AE AE ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AEF ≌△AEB （AAS ）, ∴AB=AF ，BE=FE 在△BED 和△FEC 中