【2019秋人教B版必修4】第十一章11.111.1.2构成空间几何体的基本元素

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11.1.2 构成空间几何体的基本元素
课标要求
素养要求
1.以长方体为载体，认识构成几何体的基本元素，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系.
2.用数学符号表示点、直线、平面的位置关系.
以长方体为载体，认识和理解点、直线、平面的位置关系，培养学生的数学抽象素养，提升直观想象素养.
教材知识探究
与我们生活密切相关的住所和使用的建筑物从形状上来看，它们都是由几何体构成的.
问题 构成空间几何体的基本元素是什么？
提示 可以将点、线、面看成构成空间几何体的基本元素.
1.空间中的点、线、面
可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素，点运动的轨迹可以是线，线运动的轨迹可以是面，面运动的轨迹可以是体.
2.空间中点与直线、直线与直线的位置关系
两条直线有平行、相交、异面三种位置关系
(1)两点A和B确定的直线记作直线AB，可用小写字母表示直线，如直线l；点A是l上的点，记作A∈l，点D不是l上的点，记作D∉l.
(2)空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面.
如果a与b是空间中的两条直线，则a∩b≠∅与a∩b＝∅有且只有一种情况成立，而且当a∩b＝∅时，a与b要么平行(a∥b)，要么异面.直线l与直线m相交于点P，记作m∩l＝P.
3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
直线用小写字母a，b，l，m等表示，平面用希腊字母α，β，γ等表示
(1)直线与平面位置关系有两种：直线在平面内与直线在平面外.
①点A，B所确定的直线l上的所有点都在平面α内，称为直线l在平面α内(或平面α过直线l)，记作l⊂α.
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②点B，B1确定的直线m上至少有一个点不在平面α内，称为直线m在平面α外，记作：m⊄α.如果m与平面α有且只有一个公共点A，称为直线m与平面α相交，记作：m∩α＝A；如果直线m与平面α没有公共点，即m∩α＝∅时，称直线与平面平行，记作m∥α.
(2)平面与平面位置关系有两种：相交和平行.
平面α与平面β有公共点，则称为平面α与平面β相交，记作α∩β≠∅，且α与β的公共点组成一条直线l，可记作α∩β＝l；平面α与平面β没有公共点，则称平面α与平面β平行，记作α∥β.
4.直线与平面垂直
(1)一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A 的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中A为垂足.
(2)给定空间一个平面α及一个点A，过点A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(或投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.
(3)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.
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教材拓展补遗
[微判断]
1.空间两条直线若没有公共点，则一定平行.(×)
提示还可能异面.
2.直线l在平面外，则直线l与平面平行.(×)
提示直线l在平面外，指直线l上至少有一个点不在平面内，可能相交.
3.两个平面α与β相交，有且只有一个交点.(×)
提示当两个平面α与β相交时，所有的交点组成一条直线.
[微训练]
1.下列不属于空间几何体的基本元素的是( )
A.点
B.线段
C.曲面
D.多边形(不包括内部的点)
答案 D
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2.下列关于直线l与平面α的符号表示不正确的是( )
A.l⊂α
B.l∥α
C.l∈α
D.l∩α＝A
解析直线l在平面α内表示为l⊂α，点A在平面α内，应为A∈α.
答案 C
3.用符号表示下列点、线、面的关系.
(1)点A不在平面α内.
(2)直线l与直线m相交于点A.
(3)直线l与平面α相交于点P.
解(1)A∉α(2)l∩m＝A
(3)l∩α＝P
[微思考]
1.空间中直线与平面有怎样的位置关系？如何分类？
提示直线与平面按交点个数可分为直线在平面内(l⊂α)与直线在平面外(l⊄α)两种位置关系，其中直线在平面外，又包括直线与平面相交和直线与平面平行两
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种位置关系.
2.如果直线l⊥平面α，A是垂足，过A点在平面α内有多少直线与l垂直？
提示由直线l
与平面α垂直的定义知，过A点在平面内的任一条直线都与l
垂直.
题型一构成几何体的基本元素
【例1】指出如图所示几何体中的点、线、面.
解点：顶点A，B，C，D，M，N；线：棱AB，BC，CD，DA，
MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND；面：平面MAD，
平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面NAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC.
规律方法组成几何体的是面，面与面相交得到线，即棱；线与线相交得到点，即几何体的顶点.
【训练1】如图所示的棱锥有( )个面
A.3
B.4
C.5
D.6
6。