一元三次函数的图象和性质

一元三次函数的图象和性质学案

一．考纲指要：

1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）。

2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。

二、命题落点

1．高考考查的热点集中在求导法则以及导数在函数研究上的应用．

2．函数的单调性是函数一条重要性质．利用导数与函数的单调性的关系，研究函数的性质（比初等方法精确细微）是高考的重点．

3．关于函数特征，最值问题较多，导数法求最值要比初等方法快捷简便．

4.关于三次函数的极值、对称性、证明不等式等问题，考察较多。

【常用结论】

1． （重点）三次函数的单调性由a 来决定；b 、c 决定函数有没有极值。

d 确定函数图象与y 轴交点。

2． （重点）函数f(x)的极值由导函数f ＇(x)=3ax 2+2bx+c 的判别式△决定： ①△≤0无极值，单调区间为R

②△＞0既有极大值，又有极小值。有三个单调区间。

3．（了解）三次函数图象的对称性：

三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象是中心对称图形，其对称中心是（)3(,3a

b f a b --）．（三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象经过平移后能得到奇函数图象，可以用待定系数法求得）

三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象的对称中心在其导函数

f＇(x)=3ax2+2bx+c的图象对称轴上．

若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点．

【典例精析】

例题.设a∈R,讨论关于x的方程x3+3x2-a=0的相异的实根的个数？

【实战演练】

1.若函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是-

。

2.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值，则a的取值范围是

.

3.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小=-4,那么p= ,q= .

4．已知函数f(x)=-x2+8x与g(x)=6lnx+m的图象有且只有两个不同的交点，求实数m的值？

5.已知f(x)=x3-3x,过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围？

6.设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.

（1）求函数f(x)的单调区间和极值

（2）若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围. （3）已知当x∈(1,+∞)时, f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.