非线性系统之Backstepping反步法

非线性系统控制方法之Backstepping 反步法
考虑如下二阶系统：
121122121()(,)x x f x x u f x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩
(1)
其中1x ，2x 为系统状态，y 为系统输出，u 为系统控制输入，12,f f 为光滑的非线性函数。

要求设计Backstepping 控制器，使系统稳定。

注1：系统(1)称为严格反馈系统或者下三角系统或者倒三角系统，是实际生活中非常常见的系统类型，一般含有电机的控制系统都会出现严格反馈这种系统形式，比如直流电机调速系统，四旋翼飞行器控制系统等等，所以研究这种系统的控制方法十分重要，而反步法或者反推法就是专门用来为这种系统设计控制器的。

注2：在设计Backstepping 控制器的时候，思路是非常重要的，第一点就是要把系统分成一个一个子系统，如系统(1)就由两个子系统构成，第一个子系统不直接含有控制器，第二个子系统直接含有控制器，那么对于第一个子系统咱们就要虚拟一个控制器出来，我们把它叫做虚拟控制函数，用于使第一个子系统稳定的，所以第一步就是要设计出虚拟控制器。

注3：对于系统(1)，我们除了考虑它在平衡点（零点）的稳定性（即12,x x 收敛到零），还要考虑系统的输出跟踪性能，所谓输出跟踪，就是要让系统输出y 跟踪一个给定的时变参考信号()d y t 。

咱们的目标当然是希望误差d y y -趋于零。

下面我们将分别考虑两类控制器的设计方法，第一类是系统镇定控制器，第二类是系统输出跟踪控制器。

一、系统镇定控制器设计过程如下：
第一步，令11221,z x z x α==-，其中1α为待设计的虚拟控制函数。

考虑Lyapunov 函数2110.5V z =，则有
111
1211211()
()V z z z x f z z f α==+=++ (2)。