初一数学第4讲：绝对值(学生版)
第四讲绝对值
2.求绝对值的方法
要求a的绝对值，则先判断a的符号
（1）a＞0→|a|=
（2）a＜0→|a|=
（3）a=0→|a|=
3.有理数大小的比较
（1）两个负数的比较
比较两个负数的大小，绝对值大的负数反而 .
（2）比较有理数大小
要比较两个有理数的大小，可以按照如下规则比较
①正数 0 负数
②两个负数，绝对值大的数绝对值小的数
③数轴上右边的数总比左边的数
1.掌握求绝对值的方法
2.通过对绝对值的理解比较有理数的大小
例1．﹣7的绝对值是（）
A.-7
B.7
C.－1
7
D.
1
7
例2．|﹣|=（）
A.-7
B.7
C.－1
7
D.
1
7
例3．若|2x|=﹣2x，则x一定是（）
A．正数B．负数C．正数或0 D．负数或0
例4.计算：|3.14﹣π|+|3.15﹣π|=．
例5．填空：
（1）绝对值是7的数是；
（2）绝对值小于3.9的整数；
（3）当a＞0时，|2a|= ；
（4）当a＞1时，|a﹣1|= ；
（5）当a＜1时，|a﹣1|= ；
（6）如果a＞3，则|3﹣a|= ．
例6．有理数a，b，c满足|a+b+c|=a﹣b+c，且b≠0，则|a﹣b+c+1|﹣|b﹣2|的值为．例7．在﹣5，0，﹣3，6这四个数中，最小的数是（）
A．﹣3 B．0C．﹣5 D．6
A档
1．﹣3的绝对值等于（）
A.3
B.1
3
C.
1
3
- D.-3
2． |﹣|的相反数是（）
A.2
B.1
2
C.
1
2
- D.-2
3．﹣2015的绝对值是（）
A.－2015
B.2015
C.
1
2015
D.
1
2015
-
4．﹣6的绝对值是（）
A.－6
B. 1
6
C.
1
6
- D.6
5．﹣9的绝对值是（）
A.9
B.-9
C.±9
D. 1 9
B档6．﹣a的绝对值是（）
A.a
B.0
C.1
a
D. a或a
-
7．已知|x|=3，则x的值是．8．若|a|=|-3|，则a= ．
9. |﹣2014|= ．
10．若x＜﹣3，则2+|3+x|的值是．
C档
11．下列数中最小的是（）
A．3B．2C．﹣1 D．0
12．若|x|=4，|y|=3，且x＜y，求x、y的值．
13．若有理数x、y满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求x﹣y的值．
14．若|a|=4，|b|=1，
（1）求a+b的值．
（2）若|a+b|=a+b，求a﹣b的值．
15．已知：a，b，c是非零有理数，且a+b+c=0，求的值．
1．
2
3
-的绝对值是（）
A.
3
2
- B.
2
3
- C.
2
3
D.
3
2
2．化简﹣|﹣1|可得（）
A．﹣1 B．1C．±1D．不确定3．绝对值等于9的数是．
4．若﹣3＜x＜﹣1，则化简|2﹣|1﹣x||等于．
5．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：|a﹣1|= ．
6．已知|a﹣b|=a﹣b，|a|=2012，|b|=2013，求a，b的值．
7．x为何值时，|x﹣3|+|x+2|有最小值，求出这个最小值．
8. a、b在数轴上位置如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小顺序是（）
A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a
1． |﹣2+5|=（）
A．﹣3 B．3C．﹣7 D．7
2．﹣2.5的相反数是；若|x|=4，x= ．
3．绝对值不大于5的整数共有个．
4．若|x+2013|=0，则x= ．
5.若x=1，则|x﹣4|= ．
6．已知|x﹣1|=3，求﹣3|1+x|﹣|x|+5的值．
7．当a取何值时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|有最小值．
8．判断下列说法是否正确：
（1）符号相反的数互为相反数；
（2）符号相反且绝对值相等的数互为相反数；
（3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；
（4）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远．
课程顾问签字： 教学主管签字：
七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)
思维特训(四) 绝对值与分类讨论 方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论． 用符号表示这一过程为：||a ＝?????a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳． 典题精练 · 类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |. (1)|AB |＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值．
2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值． 类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题： 【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值． 【解决问题】 解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c ＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋－b b ＋－c c ＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值为3或－1.
初一数学竞赛辅导第4讲-绝对值
数学兴趣小组教案 第四讲绝对值 初一数学兴趣小组(2课时) 一、教学目标 1掌握绝对值的两种定义，并在此基础上理解绝对值的基本性质； 2领会并应用绝对值的基本性质； 3 体会渗透在绝对值中的几何（数形结合）思想。 二、教学重点 根据绝对值的两种定义，领会并应用绝对值的基本性质 三、教学难点 体会用数形结合的思想去绝对值符号 四、教学方法 启发教授 五、教学手段 六、教学过程 （一）复习引入 1回忆绝对值的代数和几何定义；、 答：代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；几何定义：一个数的绝对值是这个数在数轴上所表示的点到原点的距离。 2根据定义理解教材中关于绝对值的几个基本性质； 非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数；可以用符号语言表示：ａ＞＝０，｜ａ｜＝ａ；ａ＜＝０，｜ａ｜＝－ａ３几个问题： （1）|a|与|-a|的关系； （2）如果|a|=|b|,则a与b的关系； （3）|a|*|a|与|a*a|,a*a的关系； （4）|ab|与|a||b|的关系；
（5）|a/b|与|a|/|b|（b不等于0）的关系。 小结：通过几个问题，根据定义，引出绝对值的几个有用的性质。（二）教授新知识 1基础知识 绝对值的基本性质 （1）|a|＝|-a|； （2）如果|a|=|b|,则a＝b或a＝－b； （3）|a|*|a|＝|a*a|＝a*a； （4）|ab｜＝|ａ｜|b|； （5）|a/b|＝|a|/|b|（b不等于0）。 注意：在绝对值中涉及一个重要的数学思想方法：分类讨论的思想。 2例题 例题1若|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。 小结：|x-x0|它的几何意义是：表示x到x0的距离。我们知道一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，例如：|a|表示a到原点0的距离，|a|=|a-0|.两个点之间的距离求法：用较大的数减去较小的数。 例题2已知：m>4,化简|m-4|+|7-2m| 小结：要化简含有绝对值符号的式子，首先判断绝对值符号里边的数的正负，然后利用绝对值的定义去绝对值符号，在这里，题目中已经给出m的取值范围，只需根据条件求出m-4,7-2m的取值范围即可。 例题3若x<-3,化简|3+|2-|1+x||| 小结：化简具有多重绝对值符号的式子，只要逐层从里到外去绝对值即可。例题４化简｜ｘ＋１｜＋｜ｘ－２｜－｜ｘ＋３｜ 小结：化简没有给出ｘ的取值范围的式子方法是：零点分段法。 首先令x+1=0 ,x-2=0,x+3=0将上述方程中的解在同一数轴中表示出来，这些数对应的数轴上的点将数轴分成四部分，然后根据四部分对应的四个取值范围分四种情况即可。 练习： 3 课堂小结 七、板书设计
人教版初中七年级数学上册《绝对值》教案
1.2.4 绝对值 第1课时绝对值 【教学目标】 （一）知识技能 1.使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法。 2.使学生熟练掌握有理数绝对值的求法和有关计算问题。 （二）过程方法 1.在绝对值概念形成的过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力。 2.能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念。 3.给出一个数，能求它的绝对值。 （三）情感态度 从上节课学的相反数到本节的绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系性。 教学重点 给出一个数会求它的绝对值。 教学难点 绝对值的几何意义，代数定义的导出；负数的绝对值是它的相反数。 【情景引入】 问题：两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米．为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米．这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了． 我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距离，不需要考虑方向．当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为5千米和4千米(在图上标出距离)．这里的5叫做+5的绝对值，4叫做-4的绝对值． 【教学过程】 1．绝对值的定义： 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值)。记作|a|。 例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，
记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。 2．试一试：你能从中发现什么规律? 由绝对值的意义，我们可以知道： (1)|+2|= ，51= ，|+8.2|= ； (2)|0|= ； (3)|―3|= ，|―0.2|= ，|―8.2|= 。 概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？由学生分类讨论，归纳出数a 的绝对值的一般规律： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2） 0的绝对值是0； （3） 一个负数的绝对值是它的相反数。 即：①若a ＞0，则|a |=a ； ②若a ＜0，则|a |=–a ； 或写成：)0()0()0(0<=>⎪⎩ ⎪⎨⎧-=a a a a a a 。 ③若a =0，则|a |=0； 3．绝对值的非负性 由绝对值的定义可知：不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a |≥0。 4．例题解析 例1：求下列各数的绝对值：217-，10 1，―4.75，10.5。 解：21 7-=217；101+=10 1；|―4.75|=4.75；|10.5|=10.5。 例2： 化简：(1)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-21； (2)31 1--。 解：(1) 2121211=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-； (2) 311311-=--。 例3：计算：（1）|0.32|+|0.3|； （2）|–4.2|–|4.2|； （3）|–32|–（–32）。 分析：求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数，然后由绝对值的性质得到。在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。 解答：（1）0.62； （2）0； （3）3 4。
人教版初中七年级数学第一单元有理数1.2.4_绝对值教案
6 / 6 人教版初中七年级数学第一单元有理数 1.2 有理数(第4课时) 教学目标 1.会求一个数的绝对值，能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小. 2.经历绝对值概念的形成，初步体会数形结合的思想方法，丰富解决问题的策略. 3.渗透数形结合等思想方法，培养学生的概括能力. 教学重点难点 重点：绝对值的定义. 难点：求一个数的绝对值. 课前准备 多媒体课件 教学过程 导入新课 1.上节课我们学习了相反数，请画一条数轴，并标出表示6，-2，0及它们的相反数的点. 2.大家设想一下，如果在你刚才所画数轴上表示+6和-6的两点处各有一只蚂蚁以相同的速度向原点爬去，会是谁先爬到呢？讨论一下，答案是，原因是. 答案：1.如图1所示. 图 1
2.同时爬到两点到原点的距离相等 师生活动 教师展示图片，学生到黑板上画出数轴，分组讨论第2题，并回答. 探究新知 活动1 1.关于“蚂蚁爬行”的问题，大家一定回答上来了，原因是两点到原点的相等. 2.+6与-6互为相反数，只有不同，但表示它们的点到是相等的. 3.两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶，第一辆沿公路向东行驶了10千米，第二辆向西行驶了10千米.为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作10千米和-10千米.这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了，如图2所示.(媒体展示：汽车的位置，直观体现问题) 图2 提出问题 (1)它们的行驶路线相同吗？ (2)它们的行驶路程相等吗？ 4.下面请同学们阅读教材第11页，思考并解决以下几个问题： (1)什么叫做绝对值？怎么用语言表达？其关键词是什么？ (2)绝对值用符号怎样表示？ (3)绝对值里面的数都可以是哪些数？ 6 / 6
初一数学第4讲：绝对值(学生版)
第四讲绝对值 2.求绝对值的方法 要求a的绝对值，则先判断a的符号 （1）a＞0→|a|= （2）a＜0→|a|= （3）a=0→|a|= 3.有理数大小的比较 （1）两个负数的比较 比较两个负数的大小，绝对值大的负数反而 . （2）比较有理数大小
要比较两个有理数的大小，可以按照如下规则比较 ①正数 0 负数 ②两个负数，绝对值大的数绝对值小的数 ③数轴上右边的数总比左边的数 1.掌握求绝对值的方法 2.通过对绝对值的理解比较有理数的大小 例1．﹣7的绝对值是（） A.-7 B.7 C.－1 7 D. 1 7 例2．|﹣|=（） A.-7 B.7 C.－1 7 D. 1 7 例3．若|2x|=﹣2x，则x一定是（） A．正数B．负数C．正数或0 D．负数或0 例4.计算：|3.14﹣π|+|3.15﹣π|=． 例5．填空： （1）绝对值是7的数是； （2）绝对值小于3.9的整数； （3）当a＞0时，|2a|= ； （4）当a＞1时，|a﹣1|= ； （5）当a＜1时，|a﹣1|= ； （6）如果a＞3，则|3﹣a|= ． 例6．有理数a，b，c满足|a+b+c|=a﹣b+c，且b≠0，则|a﹣b+c+1|﹣|b﹣2|的值为．例7．在﹣5，0，﹣3，6这四个数中，最小的数是（）
A．﹣3 B．0C．﹣5 D．6 A档 1．﹣3的绝对值等于（） A.3 B.1 3 C. 1 3 - D.-3 2． |﹣|的相反数是（） A.2 B.1 2 C. 1 2 - D.-2 3．﹣2015的绝对值是（） A.－2015 B.2015 C. 1 2015 D. 1 2015 - 4．﹣6的绝对值是（） A.－6 B. 1 6 C. 1 6 - D.6 5．﹣9的绝对值是（） A.9 B.-9 C.±9 D. 1 9 B档6．﹣a的绝对值是（） A.a B.0 C.1 a D. a或a - 7．已知|x|=3，则x的值是．8．若|a|=|-3|，则a= ． 9. |﹣2014|= ． 10．若x＜﹣3，则2+|3+x|的值是．
初一数学@数学竞赛专题讲座七年级第4讲_解读绝对值(含答案)
绝对值专题 绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手： l ．去绝对值的符号法则： 2．绝对值基本性质 ①非负性：； ② ； ③ ； ④； ⑤； ⑥ ． 3．绝对值的几何意义 从数轴上看，表示数的点到原点的距离(长度，非负)；表示数、数的两点间的距离． 例题讲解 【例1】(1)已知，，，且，那么＝ ． (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)已知是有理数，，，且，那么 ． (“希望杯”邀请赛试题) （3）已知，，那么_________．（北京市“迎春杯”竞赛题） （4）非零整数、满足，所有这样的整数组共有______组． （首届江苏省数学文化节基础闯关题） 思路点拨 (1)由已知条件求出的值，注意条件的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对，的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手． ?? ? ??<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 0≥a b a a b ?=)0(≠=b b a b a 222 a a a ==b a b a +≤+b a b a b a +≤-≤-a a b a -a b 1=a 2=b 3=c c b a >>c b a -+d c b a 、、、9≤-b a 16≤-d c 25=+--d c b a =---c d a b 5=x 1=y =+--y x y x m n 05=-+n m ),(n m c b a 、、c b a >>x y
新北师大版七上数学压轴题训练：专题03 绝对值(学生版+解析版)
专题03 绝对值（压轴题专项讲练） 【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝3，那么x＝； （3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝． 【思路点拨】 （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答； （3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解． 【解答过程】 解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5； （2）|x+1|＝3， x+1＝3或x+1＝﹣3， x＝2或x＝﹣4． 故答案为：2或﹣4； （3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1， ∵a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3， 当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8， 当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2； 故答案为：8，2；
（4）若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间， |a +4|+|a ﹣2|＝（a +4）+（2﹣a ）＝6． 故答案为：6． 【典例2】阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道|x|={x(x ＞0) 0(x =0)−x(x ＜0) ，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数 式|x +1|+|x ﹣2|时，可令x +1＝0和x ﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1和x ＝2（称﹣1，2分别为|x +1|与|x ﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x ＝﹣1和x ＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x ＜﹣1；﹣1≤x ＜2；x ≥2．从而在化简|x +1|+|x ﹣2|时，可分以下三种情况：∵当x ＜﹣1时，原式＝﹣（x +1）﹣（x ﹣2）＝﹣2x +1；∵当﹣1≤x ＜2时，原式＝（x +1）﹣（x ﹣2）＝3；∵当x ≥2时，原式＝（x +1）+（x ﹣2）＝2x ﹣1．通过以上阅读，请你解决问题： （1）|x ﹣3|+|x +4|的零点值是 ； （2）化简代数式|x ﹣3|+|x +4|； （3）解方程|x ﹣3|+|x +4|＝9； （4）|x ﹣3|+|x +4|+|x ﹣2|+|x ﹣2000|的最小值为 ，此时x 的取值范围为 ． 【思路点拨】 （1）根据“零点值”的意义进行计算即可； （2）根据题目中提供的方法分三种情况分别进行计算即可； （3）分三种情况分别对|x ﹣3|+|x +4|进行化简进而求出相应方程的解； （4）根据代数式|x ﹣3|+|x +4|+|x ﹣2|+|x ﹣2000|的意义，得出当2≤x ≤3时，该代数式的值最小，再根据两点距离的计算方法进行计算即可． 【解答过程】 解：（1）令x ﹣3＝0和x +4＝0， 求得：x ＝3和x ＝﹣4， 故答案为：﹣4和3； （2）∵当x ＜﹣4时，原式＝﹣（x ﹣3）﹣（x +4）＝﹣2x ﹣1； ∵当﹣4≤x ＜3时，原式＝﹣（x ﹣3）+（x +4）＝7； ∵当x ≥3时，原式＝（x ﹣3）+（x +4）＝2x +1；
人教版数学绝对值精讲精讲
人教版数学绝对值精讲精讲 一、绝对值的概念 1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a，读作a的绝对值。 2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。 3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。 4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a，总有a≥0。 5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。 6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。 例1、4 7 -的绝对值为（） A．4 7B． 7 4 - C． 7 4D． 4 7 - 二、绝对值的求法 绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a，有 （1） (0) 0(0) (0) a a a a a a > ⎧ ⎪ == ⎨ ⎪-< ⎩ （2） ⎩ ⎨ ⎧ < - ≥ = )0 ( )0 ( a a a a a（3） ⎩ ⎨ ⎧ ≤ - > = )0 ( )0 ( a a a a a
例2、计算|﹣2＋1|的结果是（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．﹣1 D ．1 1．-2的绝对值等于（ ） A ．1 2- B ．-2 C ．2± D ．2 2．下列各数化简后与3相等的是（ ） A ． 13- B ．()3 1- C D ．13⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 3．下列各数中，绝对值最小的是（ ） A ．﹣2 B ．3 C ．0 D ．﹣3 4．2021-的绝对值是（ ） A ．2021 B ．2021- C ．2020- D ．2020 5．﹣ǀ﹣5ǀ的倒数是（ ） A ．5 B ．﹣5 C ．1 5 D ．1 5- 6．计算：1 13=2-⎛⎫ +- ⎪⎝⎭ ______． 7．计算：（－2）2 －|－3|＝______． 8．计算：(0 1 1232 - 9．计算： 2 12|3-⎛⎫ +- ⎪ ⎝⎭．
奥数-绝对值-第4讲
第四讲绝对值 绝对值是初一代数中一个重点内容，它是一种新的运算符。很多同学对于求解绝对值问题感到很繁琐，这 主要是因为求解绝对值问题涉及到了一个重要的数学思想一分类讨论。分类讨论在数学分析中是经常遇 到的，今天我们通过对绝对值的化简、求方程根、解不等式、分析极值等来练习分类讨论，一左要熟练掌 握！为今后利用分类讨论思想解题打下基础* 一. 基础知识 • 绝对值的立义与性质(注意它的非负性) 定义：绝对值的定义用文字叙述为：一个正数的绝对值是它本身：一个负数的绝对值是它的相反数；零的 绝对值是零• 性质： ① 非负性：a >0；② abi 二 a b ； @1 -|=^ (b^O)； b I b I ④I a \2=\a 2 1= ；⑤|a+b < a + b ： © a —b < a-b < a + b . • 绝对值的几何意义 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 ①)|d|表示a 点到0点的距离 ®) \a-b\表示a 点到b 点的距离 ③)|d+b|表示a 点到・b 点的距离 • 分类讨论思想(零点分段法) 利用绝对值的左义，讨论绝对值符号内代数式值与0的大小关系，将绝对值符号打开，再进行运算。 例设°是有理数，求a+\a\的值 二、例 第一部分定义和性质 例1・ 若a, b 为有理数，那么，下列判断中： ⑴若 |a|=b,则一定有 a 二 b ； (2)若 |a|>|b|,则一定有 a>b ； (3)若 |a|>b,则一定有 |a|>|b|； (4) 若la =b,则一定有a 1 正确的是 __________ 。(填序号) 例2. (1)己知 ai=l, b =2, !c 1=3,且a>b>c,那么a+b-c= ________ . (北京市'‘迎春杯”竞赛题) 绝对值的立义用公式表示为：问 ⑺> 0) (0 = 0) (« <
数学讲义初一上册绝对值(基础)知识讲解
绝对值（基础） 【学习目标】 1．掌握一个数的绝对值的求法和性质； 2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题. 【要点梳理】 要点一、绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较 1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2.法则比较法： 要点诠释： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立． 4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b <，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反． 5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小. 【典型例题】 类型一、绝对值的概念
七年级上册数学-绝对值——重难点突破
第4讲 绝对值重难点突破 【知识导航】 1．绝对值的性质与运用. 2绝对值与分类讨论. 3．绝对值类最值问慰与数形结合思想 【方法技巧】 熟练掌握绝对值的意义、性质，运用分类讨论思想、数形结合思想等解决问题。 【板块一】绝对值的性质与运用 题型一 利用绝对值性质去绝对值，化简或求值。 【例1】已知3,15,x y =-=x ＞y ，求x －y 的值。 【例2】绝对值的化简： （1）已知a ＜－b ，且 0,a b >化简a b a b ab -+++； 0 c b a （2）已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示： 化简下面的式子：.a a b c a b c a c -++-+-++ 【例3】如图，数轴上的点A ，B ，C ,D 对应的数分别为a ，b ,c ，d ，且这四个点满足每相部的两点之间的距离相等 （1）化简：;a c b a b d ----- （2）若,b d 4,a c =-=-，求a 的值. D C B A d a b c
题型二 根据绝对值的非负性求值 【例4】若（a ＋2）2 ＋30b -=＝0，求a b 的值 【例5】已知1a -与2b -互为相反数，求代数式a －3b 的值 针对练习1 1.下列说法：①a a =-，则a 为负数；②数轴上表示数a ，b 的两点的距离为a －b ；③,a b a b +=-则a ＞0，b ＝0或a ＝0，b ＜0；④,a b a b +=-則ab ≤0，其中正确的有（ ）个 A .1 B .2 C .3 D .4 2.（1）若2,3,a b ==a ＞b ，求a ＋b 的值； （2）已知5,13,a b =-=a ＜b ，求a －b 的值. 3．已知：214,(2)4,x y +=+=，若x ＋y ≥5，求x ＋y 的值 4．（1）已知有理数a ，b ，c 均不为0，0,,0a a ab ab c c -+==-=，化简;b a b c b a c -+--+- （2）有理数a ，b ，c 在数轴上位置如图，化简：.c a a b b c --++- 5已知21ab b --与互为相反数,求111 1 (1)(1)(2)(2) (2017)(2017) ab a b a b a b ++++ ++++++的值. 0c b a
湘教版-数学-七年级上册-【例题与讲解】绝对值
1.2.3 绝对值 1．绝对值的概念及表示 (1)绝对值的几何意义 我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值．记作|a |. 这是绝对值的几何意义，例如：10到原点的距离是10；－10到原点的距离也是10，所以10与－10的绝对值相等，都是10.记作：|10|＝10，|－10|＝10. 谈重点 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义与数的正、负无关，只与表示该数的点到原点的距离有关． (2)绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0； 一个负数的绝对值是它的相反数． 用字母表示为：若a ＞0，则|a |＝a ；若a ＜0，则|a |＝－a ；若a ＝0，则|a |＝0.也可以归纳如下： |a |＝⎩⎨⎧ a (a >0) 0(a ＝0) －a (a <0)或|a |＝⎩⎨⎧ a (a ≥0)－a (a <0) 从代数角度来看：绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．注意：既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数．故绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值是它的相反数的数是负数和0. 【例1】 根据绝对值的概念，求下列各数的绝对值： －1.6，85，0，－10，＋10，－a (a ＞0)． 分析：85，＋10是正数，绝对值等于其本身；－1.6，－10是负数，绝对值 等于其相反数；0的绝对值是0；因为a ＞0，所以－a 是负数，其绝对值等于它的相反数a .
解：|－1.6|＝1.6；⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪85＝85；|0|＝0； |－10|＝10；|＋10|＝10；|－a |(a ＞0)＝a . 2．绝对值的非负性 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．由于距离是一个非负数，所以任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a 取何值，都有|a |≥0.例如|2|＝2，|－2|＝2，|0|＝0. 一个数在数轴上表示的点离原点的距离越远，绝对值越大；离原点越近，绝对值越小.0的绝对值可以看成是原点到原点的距离，因此仍然是0. 谈重点 数的大小与绝对值大小的关系 正数越大，它的绝对值越大；负数越小，它的绝对值越大；绝对值最小的数是0. 【例2】 已知|x －4|＋|y －1|＝0，求x ，y 的值． 分析：因为任何有理数的绝对值都是非负数，即|a |≥0，所以|x －4|≥0，|y －1|≥0，而两个非负数之和为0，则两个数均为0，所以可求出x ，y 的值． 解：因为|x －4|≥0，|y －1|≥0， 又|x －4|＋|y －1|＝0， 所以只能|x －4|＝0，|y －1|＝0，即x －4＝0，y －1＝0，因此x ＝4，y ＝1. 析规律 非负数的性质 (1)若干个非负数的和仍是非负数； (2)有限个非负数的和为0，则每个非负数都为0； (3)非负数的最小值是0. 3．绝对值的求法 (1)利用数轴确定一个数的绝对值时，首先确定这个数在数轴上表示的点，然后再看一下这个点到原点的距离即可． (2)利用绝对值计算的法则，首先要判断这个数是正数、零，还是负数．如果绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身；如果绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，此时去掉绝对值号时，就要把绝对值里的数添上括号，再在括号前面加上负号，如|－5|＝－(－5)＝5. 解技巧 求一个式子的绝对值的方法 求一个式子的绝对值时，要先根据题意判断这个式子的正负性，再根据法则化去绝对值符号． 【例3】 (1)若a ＞3，则|a －3|＝__________；
初中数学竞赛绝对值讲义(学生版)
初中数学竞赛绝对值讲义 1．函数y＝|x－1|＋|x－2|的最小值是（） A．3B．2C．1D．0 2．当x≥1时，不等式|x＋1|m－|x－2|恒成立，那么实数m的最大值是（）A．1B．2C．3D．4 3．若x、y、z为整数，且|x－y|1999＋|z－x|2001＝1，则|z－x|＋|x－y|＋|y－z|的值为（）A．2B．1C．0D．3 4．如果实数a满足：－2014＜a＜0，则|x－a|＋|x＋2014|＋|x－a＋2014|的最小值是（）A．2014B．a＋2014C．4028D．a＋4028 5．当式子|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1999|取得最小值时，实数x的值是（）A．1B．999C．1000D．1999 6．如果对于某一特定范围内的x的任意允许值，P＝|10－2x|＋|10－3x|＋|10－4x|＋|10－5x|＋…＋|10－10x|为定值，则此定值是（） A．20B．30C．40D．50 7．不等式|2x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，则a的取值范围是（） A．a B．a≤5C．a≤2D．a≤3 8．|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2005|的最小值是． 9．设y＝|1－x|＋|2－x|＋…＋|2009－x|，则y的最小值为． 10．函数y＝|x－1|＋|2x－1|＋|3x－1|＋…＋|10x－1|的最小值是．11．已知实数a、b满足|a＋2|＋|1－a|＝9－|b－5|－|1＋b|，设a＋b的最大值为m，最小值为n，则m＋n的值为． 12．设x、y、z为整数且满足|x－y|2012＋|y－z|2013＝1，则代数式|x－y|3＋|y－z|3＋|z－x|3的值为． 13．已知数x、y满足|x＋7|＋|1－x|＝19－|y－10|－|1＋y|，则x＋y的最小值为，最大值为． 14．将7个1，3个0共10个数任意分成两组（每组中个数比不一定相同）．第一组数的平均值为a，第二组数的平均值为b，|a－b|的最小值为． 15．函数y＝|x－1|＋|2x－1|＋|3x－1|取最小值时，实数x的取值范围．
初一数学绝对值典型例题精讲精编版
第三讲 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
[例1] （1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3） 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 （4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3） 选择D 。 （4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a ＞b B.a=b C.a