4随机变量的数字特征.ppt

例 n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随机匹配， 记X表示匹配成对数，求EX.
例 一民航送客车载有20位旅客. 自机场开出, 沿途有
10个车站可以下车, 如到达一个车站没有旅客下车就
不停车, 以X表示停车的次数, 求EX (设每位旅客在
各个车站下车的概率相同).
解: 设随机变量
第ｉ站有人下车 第ｉ站无人下车 i=1…10
fX ( x) 0
x0
4e4 y
fY
(
y)
0
求E(2X-3Y2).
解: E(2X-3Y2) =2 E(X) – 3E(Y2)
y0 y0
E(2X-3Y2) = 5/8
例 将一骰子连续掷10次, 求所得点数之和的期望. 解:以X表示所得点数之和.
以Xi表示第i次出现的点数, i=1,2.....10.
1
0
6
方差的性质
X~B(n, p), X表示n重贝努里试验中A发生次数 .
第ｉ次试验中A发生 第ｉ次试验中A不发生
n
故EX EXi np, i1
2
求 E(X+Y2)
-1 5/20 3/20
1
2/20 3/20
2
6/20 1/20
(X,Y) (-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)
X+Y2 0
0
3
3
3
6
P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20
9 设X和Y相互独立，概率密度为
2x fX ( x) 0
例4.7 国际市场每年对我国某商品的需求量X(吨) ~ U[2000,4000]. 售出1吨可挣得3万元, 销售不出而积压, 每吨需保管费1万元. 预备多少吨商品可使收益最大. 解 设预备a吨商品, 以Y表示收益.
定理2 设Z=g(X,Y) g(x,y)连续
例 设(X,Y)的联合分布律 Y X -1
考虑X的值与平均值EX=µ的偏离程度.
X 8 9 10 X-µ -1 0 1 P 0.2 0.6 0.2
方差 方差是X与中心E(X)的偏差平方的平均值.
例 设离散型X的分布律为 X -1 0 1 2 3
求 DX.
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
解
P
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
X 5 2 -4 P 0.6 0.2 0.2
E(X) 5 0.6 2 0.2 （ 4） 0.2 2.6（元）
例 对一目标进行射击, 直至击中为止, 每次射击的命 中率为0.1, 求射击次数的数学期望。 解: 设X表示射击次数, 可能值为1,2…k….
X1
2…
k
…
P 0.1 0.9∙0.1 … 0.9k-1∙0.1 …
X -1 0 1 2 3
X2
1
014 9
(X-EX)2 5.76 1.96 0.16 0.36 2.56
EX= 1.4 E(X2) =4.2 DX= E(X2) –(EX)2=2.24
D(X) E(X EX)2 2.24
E(X2 ) 0 x（2 1 x）dx 1 x（2 1 x）dx 1
k 1
E(Y) E[g(X)] g(xk )pk
k 1
例 设离散型X的分布律为 求 E(-2X2).
X -1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
解
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
X -1 -2X2 -2
0123 0 -2 -8 -18
E(-2X2) = -2 ·0.2+0 ·0.1+(-2) ·0.1+(-8) ·0.3+(-18)·0.3
0 x1 其他
e( y5) y 5
Fra Baidu bibliotekfY
(
y)
0
其他
试求E(XY).
解
:
f
(x,
y)
fX
( x)f Y
(y)
2x e ( y 5 ) 0
0 x 1, y 5 其它
E( XY )
dy
1 xy2xe( y5)dx
4
5
0
三、 数学期望的性质
10 设随机变量X和Y的概率密度分别为:
2e2x x 0
候车时间X可能是区间(0,5)上任意值, 平均候车时间 为2.5分钟.
换元 x t，得
E( X ) 1
（ t
）e
t2 2
dt
2
二 、随机变量函数的期望 设Y=g(X)
(1)X是离散型, 分布律为P{X xk } pk， k 1，2...
若 g( xk )pk绝对收敛，则有
第四章
随机变量的数字特征
前面, 我们讨论了随机变量及其概率分布 ，
实际应用中, 往往只需要知道概率分布的某些特征就 够了，最常用的是:
期望和方差 .
第一节 数学期望
一射手, 以X表示每枪命中 环数, 问:该射手平均每枪 可命中多少环.
X 8 9 10 P 0.3 0.1 0.6
8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环)
E( X )
k 1
k 0.9k1 0.1
1 0.1 (1 0.9)2
10
击中该目标, 可能需要1次, 2次…直至∞次.
平均来看, 射击10次有望击中目标.
n0
xn n！
ex
连续型X, (-∞,+∞)上取分点x1 <x2<x3< …, 有
n
EX
lim n i1
xi P{xi X xi xi }
n
lim
n
i 1
xi
f
( xi
)xi
xf (x)dx
注： E(X)是常数, 完全由X的概率分布所决定.
例 设X的密度函数如下，求EX
解：EX
xf(x)dx
1
2
0 x.xdx 1 x.(2 x)dx 1
例 某公车停车站每5分钟有一辆汽车到站,乘客任一 时刻到达车站,求候车时间的数学期望. 解 以X表示候车时间, 则X ~ U(0，5).
第二节 方差 某零件真实长度为a，现用甲,乙两台仪器各测量10次,
测量结果分别用X，Y表示，如图：
甲
乙
测量结果的均值都是 a。
乙仪器更好, 乙的测量结果集中在均值附近.
A, B两射手, 分别以X, Y表示每枪命中环数, 有:
X 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
Y 8 9 10 P 0.1 0.8 0.1
离散型X的分布率:
X的数学期望
E( X ) xk pk k 1
表示X不同取值的平均值.
例 某产品即将投放市场，据市场调查：每件产品有 60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出，20% 的可能性低价甩出。每件产品的利润分别为5元, 2元 和－ 4元。问厂家对每件产品可期望获利多少？ 解: 设X表示一件产品的利润, X的分布率为