热传导方程的初值问题
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§2热传导方程的初值问题
一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)
⎪⎩
⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t
u ),()0,(0
,),,(2
2
2ϕ （）
偏导数的多种记号xx x t u x
u
u x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为
⎩⎨
⎧+∞
<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0
,,),(2ϕ.
Fourier 变换
我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上
可积，若积分
⎰
+∞
∞
-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。
将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1
+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{
}
∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰
+∞
∞
-dx x f f L L )(|
),(),(1
，称为可积函数空间.
连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,
{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。
定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分
),(ˆ)(21
λπ
λf dx e x f x i =⎰
+∞
∞
--
有意义,称为Fourier 变换, )(ˆ
λf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰
+∞
∞
--=
=dx e x f f Ff x i λπ
λλ)(21)(ˆ)(
定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1
+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有
),()(ˆ21lim
x f d e f N
N
x i N =⎰
+-∞
→λλπ
λ
公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.
通常将由积分
)()(21
x g d e g x i ∨+∞
∞
-=⎰
λλπ
λ所定义的变换称为Fourier 逆变换.
因此亦可写成
()
f f =∨
ˆ
即一个属于),(),(1
+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.
在应用科学中经常把)(ˆ
λf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.
定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)
定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰
+∞
∞
--=dx e x f f
x i λπ
λ)(21
)(ˆ，则)(ˆ
λf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞
→λλf
在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质. Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),
,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则
(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧
2.（微商性质）
若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆ
f i dx df λ=⎪⎭
⎫
⎝⎛∧
证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞
→x f x ,
事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x
⎰
'+=0
)()0()(,
因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有
⎰
±∞
±±∞
→'+==0
)()0()(lim dt t f f a x f x
又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a . 由0)(lim =∞
→x f x ,利用分部积分公式
⎰
∞
+∞
--∧
'=
⎪⎭
⎫
⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
--=
⎰
+∞
∞
--∞
+∞
--dx e i x f e x f x i x i ))(()(21λλλπ
).(ˆ)(2λλπ
λλf i dx e x f i x i ==
⎰
+∞
∞
--
附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）
若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ
)(λλ
f d d i
x xf =∧
. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆ
λf 是λ的连续可微函数,且有 []∧
+∞
∞
---=-=⎰
)()())((21
)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπ
λλ
附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()
(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f x f m 则
())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∧
m f i dx f
d m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f m
则
[
]
)1(,)(ˆ
)(≥=∧
m f d d i x f x m
m m
m
λλ
4．（平移性质）
若),,()(+∞-∞∈L x f 则
[])1()(ˆ)(≥=--∧
m f e a x f a i λλ
证明