互斥事件和独立事件的概率及条件概率

互斥事件和独立事件的概率及条件概率

【知识要点】

1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．

2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=

条件概率具有以下性质：(1) ；

(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.

3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．

5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.

6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．

【基础检测】

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )

A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )

A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.375

3．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.

4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.

5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通

岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为1

3，则他在上学途中恰好遇

到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.

典例分析：

例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．

(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；

(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率；

(3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．

例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．

(1)求甲队总分不低于2分的概率；

(2)用A 表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．

离散型随机变量的分布列、期望与方差

【知识要点】

1．离散型随机变量的概念

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，X取每一个值x i(i＝1,2，…)的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的

①；②；

(3)两点分布：

(4)超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，

则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－k

N－M

C n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，

n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：

(5)二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．

3．离散型随机变量的期望与方差

则称Eξ＝为随机变量

型随机变量取值的．把Dξ=叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．

4．基本性质

若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，

若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．

【基础检测】

1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( )

A．25个B．10个C．7个D．6个

2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝

c

k＋1

，k＝0,1,2,3，则c＝.

3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为4

5，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种

子发芽颗数的平均值为颗，方差为.

4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝

5．随机变量ξ的分布列为

则Eξ＝，＝，＝.

6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．

综合练习卷

1.在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率

为( )

A.13

B.2π

C.12

D.23

2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( )

A ．1 B.913 C.1113 D.2713

3．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )

A ．60分

B ．70分

C ．80分

D ．90分

4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .

5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率为 ；

(2)3个矩形颜色都不同的概率为 .

6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .

7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．

的概率； (2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．