趣谈“分牛问题”

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趣谈“分牛问题”

404500 重庆市云阳县普安学校 丁学明

传说古代印度有一位老农，临终前留下遗嘱，要把19头牛分给三个儿子。老大分得总数的21，老二分得总数的41，老三分得总数的51，但一头牛也不许宰杀。老农死后，三个儿子根据遗嘱，算了一下：

老大可分得：19×

21 =92

1头， 老二可分得：19×41 =44

3头， 老三可分得：19×51 =354头。 可是老人临终前留下的遗嘱中交代，一头牛也不许宰杀的呀！按照上面的分法，要杀掉三头牛，况且还没有把牛分完。牛杀了既没有使用的价值，三兄弟也不愿意。为此，三兄弟绞尽了脑汁，还是无计可施；最后决定诉诸官府，官府对此也是一筹莫展，便以“清官难断家务事”为由，一推了之。 此事被邻居知道后，他想出了一个极妙的办法解决了三兄弟的疑难。那就是这位邻居把自己家中的 一头牛借给了三兄弟，这样共有20头牛，于是：

老大分得：（19+1）×

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1=10头； 老二分得：（19+1）×4

1= 5头； 老三分得：（19+1）×51= 4头。 三兄弟共分去19头牛，剩下的一头牛邻居牵了回去。

真是妙极了，一是分完了牛，二是没有宰杀一头牛，三是邻居的一头牛也还了。

人们在佩服邻居的高明之余，也有些怀疑：老大应得9.5头牛，最后他怎么竟得了10头呢？同时，这件事也惊动了数学家，他们决定对此事弄个

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水落石出。数学家们进行了下面的研究：

19头牛按老大21、老二41、老三51的份额去分 ，各人分别得92

1头、443头、354头。这样显然分不完，还剩下（19－921－443－354=）20

19头。剩下的2019头又要分第二次 ；于是各人又分得2019×21=4019头，2019×41=8019头，2019×51=10019头。计算一下，还没有分完，剩下400

19头；于是，又进行第三次， 如此下去，这个过程可以一直延续到无穷，只是每次所剩越来越少了。累计上述过程：

老大分得：921+2019×21+40019×21+……=20

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191-=10头， 老二分得：443+2019×41+40019×41+……=14

191-=5头， 老三分得：354+2019×51+40019×51+……=20

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191-= 4头。 这种用无限递缩等比数列求和的方法是无可辩驳的。可以说数学家们用了比较审慎的态度对待这件分牛风波，支持了邻居的分法是正确的，该近尾声了。

世上的事总是那么不平静。没过多久，此事又起了变化。有人甚至怀疑邻居的“动机”不纯，认为邻居的做法是“瞎猫碰上死老鼠”。并举例说，假如老农留下的牛是15头，而不是19头，遗嘱规定老大分得 ，老二分得 ，老三分得 ，那么结果又将如何呢？

按邻居的分法，邻居牵来一头牛，共计16头牛。按遗嘱，老大分得16×21=8头，老二分得16×41=4头，老三分得16×8

1=2头；三人共分去8+4+2=14头，那么，剩下的2头牛邻居是否都牵回去？谁又敢证明邻居没有“渔利”之机呢？

3 经过几番争论，人们终于明白，邻居的办法确实有某种盲目性。经过分析认为问题的关键不在于邻居是否牵牛来或牵牛走，而在于按遗嘱三兄弟所获牛数之比只要是个简单的整数比就能够将19头牛整分，那么也不必牵一头牛来，就能解决“分牛问题”，即按“比例分配”的方法就能顺利解决。

21∶41∶5

1=10∶5∶4， 老大分得：19×4

51010++=10头； 老二分得：19×4

5105++=5头； 老三分得：19×4

5104++=4头。 万万没想到：邻居的分法，求级限的分法，按比例分配的分法，结果都是一样的。到此，“分牛问题”就得到了满意的结果。但是，数学家们还有不满意的地方。因为数学这门学科很讲究严谨性，一点不能含糊，不能模棱两可，必须讲究逻辑性，精确性。如果把“分牛问题”看作一道应用题，则它的条件根本就不能相容，因为21+41+5

1= ＜1。在邻居的分法中，虽然解决了他们三兄弟的困惑，但严格说来邻居的方法虽然有趣，但不科学，这一点前面已提到；“分牛问题”中的19头牛变成了20头牛，它们三兄弟所得牛的21、41、51，不再是19头牛的21、41、51，而是20头牛的21、41、51；很明显这道题的条件就变了，这是说不过去的。

少年朋友们，你们读了上面的问题有什么感想？希望你们中间能出几位数学家，对“分牛问题”能给出一个令大家都满意的答案。