21 斜桥计算理论
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(1 m′ 2 )l1 X i = P m′ + 2l
P （2） = 1作用在 AA′ 梁的
ml
点
ml ≤ x
P 当作为计算跨径为 l 简支梁时， = 1在 AA′梁 x 点的弯矩为
m(l x) M = (1 m) x
P x
ml ≥ x
′ 再考虑连续梁AaA，当支点不下沉时，支点 处产生作用 于AA′ 梁的反力X a ( X i ) 。此力亦施加在弹性横梁上 abc ，并 通过横梁分配于各主梁 AA′ 、BB ′和CC ′。
21 斜桥计算理论
斜桥特征 斜板位移微分方程 单斜梁计算 斜梁桥计算 小结 本章参考文献
斜桥特征
斜交角的定义如后图所示的 或 α ，其大小反映了 斜交程度的大小，亦关系到斜桥的受力特性 一般 越大（ α 越小），斜桥的特点越明显。 当 小于20(JTJ021-89规定此角为15° )时，可近似忽 略斜交作用，按斜交跨径的正交桥进行分析计算，这样计 算出的纵向弯矩与剪力偏于安全方面 以下简支斜交板、梁桥阐述斜桥的基本特征
式中：常变位为
δ BB
l
δ BB
2 lT M2 =∫ dx + ∫ dx 0 EI 0 GI d l
l 1 1 {cos B [(1 m1 ) tg A + m1tg B ]}dx + ∫0 =∫ cos 2 B dx 0 EI GI d
而，将上式积分并整理得到 δ BB
Aρ = 2 cos 2 B ( tg 2 A + tg 2 B + tg A tg B + 3k )
a
三 片 主 梁 桥
两跨不等跨连续梁的中支点反力
′ AA梁分配到力为 X aη aa X aηba BB ′梁为 CC ′梁为 X aηca 因而作用在AA′梁的 a点处有两个方向相反的力 即 X a 和 X aη aa ，其合力X a (1 η aa )在 x 处产生的弯矩为
单斜梁计算
工程上广泛采用支点设抗扭支承的单斜梁桥，即使简支 梁，亦属超静定结构，其计算图式如下图所示
1） 基本计算方法
现来考查超静定简支斜梁上仅作用竖向集中荷载情况 。取后图所示的计算图式，从图b）中得到其结构上的力 和力矩平衡条件为 ∑ M x = 0 TA cos A + TB cos B = 0
a）全抗扭支承
b）中支点铰支承
连续单斜梁
既有抗扭支承，又有点铰支承
连续单斜梁
3） 内力变化规律及特点
（1）简支斜梁的内力变化规律 为方便起见，下图给出了四边形简支斜梁在竖向荷载P 作用下的内力图，出于对比需要，亦将相应的简支正交梁 和固端梁的内力图一并给出 从图中可以看出，在竖向荷载作用下： ①超静定简支斜梁的正弯矩较同等跨径的简支正梁要小 。在斜梁支承处还会产生负弯矩，斜交角越大负弯矩随之 也越大。 ②超静定简支斜梁的弯矩图被包在简支正梁和固端梁之间。 即斜梁在两支承处虽然产生负弯矩，但其最大负弯矩值小 于固端梁的负弯矩，而最大正弯矩比相应简支正梁要小。 这一特点可以解释为：当斜梁 θ A = θ B = 0° 时，超静定简支斜 梁就变成简支正梁。而当 θ = θ = 90° 时又变成固端梁，因此 斜梁的受力性质介于两种极限情况之间。上述性质可以用 来判断斜梁（有抗扭约束）内力的正确性。
Dij为刚度参数，可参见文献[2] 对于各向同性斜交板，可简化为 4w 4w 4w 4 cos α 3 + (2 + 4 cos 2 α ) 2 2 x 4 x y x y
4w 4w q 4 cosα + 4 = sin 4 α xy 3 y D
板的 Et 3 挠Leabharlann Baidu曲 D= 12(1 ) 刚度
内力计算公式简化为 当
0 ≤ m1 ≤ m 时有
当 m ≤ m1 ≤ 1 时有
M = TB sin B + (1 m)m1 Pl T = TB cos B Q = (1 m) P M = TB sin + m(1 m1 ) Pl T = TB cos B Q = mP
同理也可以推导集中扭矩荷载及其它典型荷载如均布 荷载和部分均布荷载、全跨均布扭矩等作用下的反力与内 力值。这样就能绘出需要的弯、扭矩影响线以供设计使用
上列方程亦可从正交各向同性板的挠曲方程式，经坐标变 换直接推导出来[1]。如图参考直角坐标系 x1oy1 ，与坐标 系 xoy 之间有如下换算关系
x1 = x + y cos α y1 = y sin α
斜交板坐标 系
将各微分关系求出，经数学运算可获得。 斜板的位移微分方程式的解析解较难得出，一般均采 用数值方法，差分法最为常用，如尼尔森法。即是根据差 分法分析结果，总结出来的斜交板近似计算方法[3]。
A B
固端梁
简支正交梁
四边形简支斜梁在竖向荷载P作用下的内力图
③超静定简支斜梁存在扭矩，而相应简支正梁和固端梁的 扭矩均为零，这说明带抗扭约束支承的斜梁呈弯扭耦合的 重要特征。 （2）简支斜梁的影响线变化规律 下图给出了跨径20m，不同 值的简支单斜梁跨中截 面的弯矩和扭矩影响线，从图中可以看出： ①弯矩影响线值随斜角 的减小而减小，并随 k 的减小而 减小。 ②扭矩影响线值随斜角 的减小而增大，并随 k 的增大而 减小。 （3）连续斜梁桥 ①在竖向荷载作用下，中间点铰支承和全抗扭支承两种 形式的剪力和弯矩相差不大，但采用中间点铰支承的扭矩 比全抗扭支承大，这是由于前者的抗扭跨径大的缘故 ②在扭矩荷载作用下，中间点铰支承的各项内力均比全抗 扭支承大得多
m ≤ m1 ≤， M = cos B [1 m1 ) tg A + m1tg B ]TB + m(1 m1 ) Pl 1 当 T = TB cos B 得到 T Q = B cos B ( tg A tg B ) mP l B TB = A m(1 m) Pl 如果 A = B = T = T 这时式中： B A 则反力计算式可 RB = mP B = 3 sin 简化为 RA = (1 m) P A = 6 sin 2 (1 + kctg 2 )
T R A = cos B ( tg B tg A ) B + (1 m) P l R = cos ( tg tg ) TB + mP B B A B l
斜梁的内力为 当 0 ≤ m1 ≤ m 时有
M = cos B [1 m1 ) tg A + m1 tg B ]TB + (1 m)m1 Pl T = TB cos B T Q = B cos B ( tg A tg B ) + (1 m) P l
斜交桥纵向弯矩锐减曲线
关系密切。从Anzelius给出的均布荷载作用下 = 45° 斜交板扭矩分布图[1]中可以看出，沿支承边与自由边上均 有正负扭矩产生。
2） 斜交梁
斜格子梁桥是斜交梁桥的普遍形式，其横梁既可与支 承线平行，亦可与主梁正交。当设有一定数量的横梁且主 梁间距不大时，斜交梁排表现出与斜交板类似的特点，但 边梁比中梁明显。 如后图所示，在斜交梁排中，如果A、B、C和D代表车 轮，轴矩为 b1 ，轮距与梁间距相同，则按图c）算出的正 桥结果与按图a）算出的斜桥结果是等价的。
l
B = cos B [(2 m) tg A + (1 + m) tg B ]
得到
B TB = m(1 m) Pl A
超静定简支斜梁的实际内力及反力P 为 TB 和分别作用 在基本结构上引起的内力和反力的叠加。 斜梁的反力为
cos B TA = cos TB A T = B m(1 m) Pl B A
∑ M y = 0 ∑ Fz = 0 TA sin A + TB sin B RB l = 0 R A = RB
简支超静定斜梁
超静定简支斜梁作用竖向集中荷载的计算图式
解得
cos B TA = cos TB A R = R = cos ( tg tg ) TB B B B A A l
斜梁桥计算
1 ）主梁内力计算
按leonhardt-Homberg方法，斜主梁的弯矩、剪力等断面
内力和挠度，可以作为没有横梁的简支梁和在横梁格点 处弹性支承的不等跨连续梁的反力影响线，两者结合求解 现以下图所示的三片主梁桥中的 AA′ 主梁 x 点的弯矩影 响面为例来说明具体求解过程。 （1）两跨不等跨连续梁的中支点反力 如后图所示的任一片主梁，利用力法原理不难求得
EI k= GEd
MM p dx + ∫ T Tp dx
l =A 6 EI
载变位为
BP = ∫
l
∫
l
ml
EI GJ ml 1 =∫ cos B [(1 m1 ) tg A + m1 tg B ]m1 (1 m) Pldx 0 EI pl 2 m(1 m) 1 cos B [(1 m1 ) tg A + m1 tg B ]m(1 m1 ) Pldx = B 6 EI EI
则基本结构在 TB 作用下任意截面内力为
M = TB sin T = TB cos Q = 0 对于一次超静定结构，其力法方程为 BP TB = δ BBTB + BP = 0 δ BB
当 A = B = 时，分别为 TA = TB RA = RA = 0
M = cos B [1 m1 ) tg A + m1 B ]TB T = TB cos B TB Q = cos B ( tg A tg B ) l
斜板位移微分方程
如第一图所示的斜交板，假定 x 、 方向的弹性不同 y ，文献[2]推导出的位移微分方程为
斜交梁排的转换
4w 4w 4w D11 4 + 2( D13 + D31 ) 3 + ( D12 + D21 + 4 D33 ) 2 2 x x y x y
4w 4w + 2( D23 + D32 ) + D22 4 = q sin 4 α xy 3 y
2） 连续单斜梁计算
工程上常见的连续单斜梁有两种形式，如下图 a）全抗扭支承 b）中支点铰支承。 对于前者，可将梁从中支点截开，取多个简支斜梁为基本 体系，以中支点扭矩为赘余力（Ti），采用力法来求解 对于后者，可将中支点解除，取连续梁跨径之和为跨径的 简支 斜 梁为 基 本体 系 ，以 中 支点 的 竖向 反 力为 赘 余力 （ Ri ），采用力法来求解 若遇中支点既有抗扭支承，又有点铰支承，如后图所示。 这时，可将梁从抗扭支承点截开，并解除其间的点铰支承， 取以两两抗扭支承点的距离为跨径，以点铰反力（ Ri ）和 抗扭支承点的扭矩为赘余力，用力法来求解
1 )斜交板
影响斜交板受力的因素主要有： 斜交角、 宽跨比、 抗弯刚度、 抗扭刚度， 支承条件及荷载形式等
a）斜交板桥 b）斜交梁桥 斜交桥及其参数
影响机理较复杂，现有研究的主要结论如下 弯矩 纵向弯矩随斜交角 的增大而减小，均布荷载作用 时比集中荷载作用时的减小更显著，如下图所示。 纵向最大弯矩的位置随 角的增大从跨中附近向纯角部位 移动，其值比同等跨径的正交桥小，可是横向弯矩却比同 等跨径的正交桥大得多，尤其是跨中部位。 除上述纵、横向弯矩外，在钝角部位的角平分线垂直方向 上产生负弯矩，有时其数值接近跨中的正弯矩，其值随 的增大而增加，但分布范围较小，并迅速削减。 反力 斜交板支承边上反力分布很不均匀。钝角角隅处的 反力可能比正交板大好几倍，而锐角角隅处的反力很小， 甚至是负反力。可采用以下措施防止这一现象恶化：一是 在锐角处埋置螺栓阻止其上拔，二是设置弹性支承以是反 力分布趋于均匀，减小钝角上缘的负弯矩。 扭矩 斜交板的扭矩变化较为复杂，且与其抗扭刚度
跨径20m不 同 值的简 支单斜梁跨 中截面的弯 矩和扭矩影 响线
（4）斜梁按正梁计算的条件[4] 单跨斜梁 ① ② ③ 连续斜梁桥
k ≥ 10
5 ≤ k < 10
0≤k <5
≤ 20°
≤ 15°
≤ 10°
≤ 20°
（5）当 k 小于1/3时，扭矩绝对值较大，因此简支斜梁 以用箱形截面为宜[1]。 至于支点反力的变化规律，支承条件对内力的影响 等细节讨论可参阅文献[4]、[5]
P （2） = 1作用在 AA′ 梁的
ml
点
ml ≤ x
P 当作为计算跨径为 l 简支梁时， = 1在 AA′梁 x 点的弯矩为
m(l x) M = (1 m) x
P x
ml ≥ x
′ 再考虑连续梁AaA，当支点不下沉时，支点 处产生作用 于AA′ 梁的反力X a ( X i ) 。此力亦施加在弹性横梁上 abc ，并 通过横梁分配于各主梁 AA′ 、BB ′和CC ′。
21 斜桥计算理论
斜桥特征 斜板位移微分方程 单斜梁计算 斜梁桥计算 小结 本章参考文献
斜桥特征
斜交角的定义如后图所示的 或 α ，其大小反映了 斜交程度的大小，亦关系到斜桥的受力特性 一般 越大（ α 越小），斜桥的特点越明显。 当 小于20(JTJ021-89规定此角为15° )时，可近似忽 略斜交作用，按斜交跨径的正交桥进行分析计算，这样计 算出的纵向弯矩与剪力偏于安全方面 以下简支斜交板、梁桥阐述斜桥的基本特征
式中：常变位为
δ BB
l
δ BB
2 lT M2 =∫ dx + ∫ dx 0 EI 0 GI d l
l 1 1 {cos B [(1 m1 ) tg A + m1tg B ]}dx + ∫0 =∫ cos 2 B dx 0 EI GI d
而，将上式积分并整理得到 δ BB
Aρ = 2 cos 2 B ( tg 2 A + tg 2 B + tg A tg B + 3k )
a
三 片 主 梁 桥
两跨不等跨连续梁的中支点反力
′ AA梁分配到力为 X aη aa X aηba BB ′梁为 CC ′梁为 X aηca 因而作用在AA′梁的 a点处有两个方向相反的力 即 X a 和 X aη aa ，其合力X a (1 η aa )在 x 处产生的弯矩为
单斜梁计算
工程上广泛采用支点设抗扭支承的单斜梁桥，即使简支 梁，亦属超静定结构，其计算图式如下图所示
1） 基本计算方法
现来考查超静定简支斜梁上仅作用竖向集中荷载情况 。取后图所示的计算图式，从图b）中得到其结构上的力 和力矩平衡条件为 ∑ M x = 0 TA cos A + TB cos B = 0
a）全抗扭支承
b）中支点铰支承
连续单斜梁
既有抗扭支承，又有点铰支承
连续单斜梁
3） 内力变化规律及特点
（1）简支斜梁的内力变化规律 为方便起见，下图给出了四边形简支斜梁在竖向荷载P 作用下的内力图，出于对比需要，亦将相应的简支正交梁 和固端梁的内力图一并给出 从图中可以看出，在竖向荷载作用下： ①超静定简支斜梁的正弯矩较同等跨径的简支正梁要小 。在斜梁支承处还会产生负弯矩，斜交角越大负弯矩随之 也越大。 ②超静定简支斜梁的弯矩图被包在简支正梁和固端梁之间。 即斜梁在两支承处虽然产生负弯矩，但其最大负弯矩值小 于固端梁的负弯矩，而最大正弯矩比相应简支正梁要小。 这一特点可以解释为：当斜梁 θ A = θ B = 0° 时，超静定简支斜 梁就变成简支正梁。而当 θ = θ = 90° 时又变成固端梁，因此 斜梁的受力性质介于两种极限情况之间。上述性质可以用 来判断斜梁（有抗扭约束）内力的正确性。
Dij为刚度参数，可参见文献[2] 对于各向同性斜交板，可简化为 4w 4w 4w 4 cos α 3 + (2 + 4 cos 2 α ) 2 2 x 4 x y x y
4w 4w q 4 cosα + 4 = sin 4 α xy 3 y D
板的 Et 3 挠Leabharlann Baidu曲 D= 12(1 ) 刚度
内力计算公式简化为 当
0 ≤ m1 ≤ m 时有
当 m ≤ m1 ≤ 1 时有
M = TB sin B + (1 m)m1 Pl T = TB cos B Q = (1 m) P M = TB sin + m(1 m1 ) Pl T = TB cos B Q = mP
同理也可以推导集中扭矩荷载及其它典型荷载如均布 荷载和部分均布荷载、全跨均布扭矩等作用下的反力与内 力值。这样就能绘出需要的弯、扭矩影响线以供设计使用
上列方程亦可从正交各向同性板的挠曲方程式，经坐标变 换直接推导出来[1]。如图参考直角坐标系 x1oy1 ，与坐标 系 xoy 之间有如下换算关系
x1 = x + y cos α y1 = y sin α
斜交板坐标 系
将各微分关系求出，经数学运算可获得。 斜板的位移微分方程式的解析解较难得出，一般均采 用数值方法，差分法最为常用，如尼尔森法。即是根据差 分法分析结果，总结出来的斜交板近似计算方法[3]。
A B
固端梁
简支正交梁
四边形简支斜梁在竖向荷载P作用下的内力图
③超静定简支斜梁存在扭矩，而相应简支正梁和固端梁的 扭矩均为零，这说明带抗扭约束支承的斜梁呈弯扭耦合的 重要特征。 （2）简支斜梁的影响线变化规律 下图给出了跨径20m，不同 值的简支单斜梁跨中截 面的弯矩和扭矩影响线，从图中可以看出： ①弯矩影响线值随斜角 的减小而减小，并随 k 的减小而 减小。 ②扭矩影响线值随斜角 的减小而增大，并随 k 的增大而 减小。 （3）连续斜梁桥 ①在竖向荷载作用下，中间点铰支承和全抗扭支承两种 形式的剪力和弯矩相差不大，但采用中间点铰支承的扭矩 比全抗扭支承大，这是由于前者的抗扭跨径大的缘故 ②在扭矩荷载作用下，中间点铰支承的各项内力均比全抗 扭支承大得多
m ≤ m1 ≤， M = cos B [1 m1 ) tg A + m1tg B ]TB + m(1 m1 ) Pl 1 当 T = TB cos B 得到 T Q = B cos B ( tg A tg B ) mP l B TB = A m(1 m) Pl 如果 A = B = T = T 这时式中： B A 则反力计算式可 RB = mP B = 3 sin 简化为 RA = (1 m) P A = 6 sin 2 (1 + kctg 2 )
T R A = cos B ( tg B tg A ) B + (1 m) P l R = cos ( tg tg ) TB + mP B B A B l
斜梁的内力为 当 0 ≤ m1 ≤ m 时有
M = cos B [1 m1 ) tg A + m1 tg B ]TB + (1 m)m1 Pl T = TB cos B T Q = B cos B ( tg A tg B ) + (1 m) P l
斜交桥纵向弯矩锐减曲线
关系密切。从Anzelius给出的均布荷载作用下 = 45° 斜交板扭矩分布图[1]中可以看出，沿支承边与自由边上均 有正负扭矩产生。
2） 斜交梁
斜格子梁桥是斜交梁桥的普遍形式，其横梁既可与支 承线平行，亦可与主梁正交。当设有一定数量的横梁且主 梁间距不大时，斜交梁排表现出与斜交板类似的特点，但 边梁比中梁明显。 如后图所示，在斜交梁排中，如果A、B、C和D代表车 轮，轴矩为 b1 ，轮距与梁间距相同，则按图c）算出的正 桥结果与按图a）算出的斜桥结果是等价的。
l
B = cos B [(2 m) tg A + (1 + m) tg B ]
得到
B TB = m(1 m) Pl A
超静定简支斜梁的实际内力及反力P 为 TB 和分别作用 在基本结构上引起的内力和反力的叠加。 斜梁的反力为
cos B TA = cos TB A T = B m(1 m) Pl B A
∑ M y = 0 ∑ Fz = 0 TA sin A + TB sin B RB l = 0 R A = RB
简支超静定斜梁
超静定简支斜梁作用竖向集中荷载的计算图式
解得
cos B TA = cos TB A R = R = cos ( tg tg ) TB B B B A A l
斜梁桥计算
1 ）主梁内力计算
按leonhardt-Homberg方法，斜主梁的弯矩、剪力等断面
内力和挠度，可以作为没有横梁的简支梁和在横梁格点 处弹性支承的不等跨连续梁的反力影响线，两者结合求解 现以下图所示的三片主梁桥中的 AA′ 主梁 x 点的弯矩影 响面为例来说明具体求解过程。 （1）两跨不等跨连续梁的中支点反力 如后图所示的任一片主梁，利用力法原理不难求得
EI k= GEd
MM p dx + ∫ T Tp dx
l =A 6 EI
载变位为
BP = ∫
l
∫
l
ml
EI GJ ml 1 =∫ cos B [(1 m1 ) tg A + m1 tg B ]m1 (1 m) Pldx 0 EI pl 2 m(1 m) 1 cos B [(1 m1 ) tg A + m1 tg B ]m(1 m1 ) Pldx = B 6 EI EI
则基本结构在 TB 作用下任意截面内力为
M = TB sin T = TB cos Q = 0 对于一次超静定结构，其力法方程为 BP TB = δ BBTB + BP = 0 δ BB
当 A = B = 时，分别为 TA = TB RA = RA = 0
M = cos B [1 m1 ) tg A + m1 B ]TB T = TB cos B TB Q = cos B ( tg A tg B ) l
斜板位移微分方程
如第一图所示的斜交板，假定 x 、 方向的弹性不同 y ，文献[2]推导出的位移微分方程为
斜交梁排的转换
4w 4w 4w D11 4 + 2( D13 + D31 ) 3 + ( D12 + D21 + 4 D33 ) 2 2 x x y x y
4w 4w + 2( D23 + D32 ) + D22 4 = q sin 4 α xy 3 y
2） 连续单斜梁计算
工程上常见的连续单斜梁有两种形式，如下图 a）全抗扭支承 b）中支点铰支承。 对于前者，可将梁从中支点截开，取多个简支斜梁为基本 体系，以中支点扭矩为赘余力（Ti），采用力法来求解 对于后者，可将中支点解除，取连续梁跨径之和为跨径的 简支 斜 梁为 基 本体 系 ，以 中 支点 的 竖向 反 力为 赘 余力 （ Ri ），采用力法来求解 若遇中支点既有抗扭支承，又有点铰支承，如后图所示。 这时，可将梁从抗扭支承点截开，并解除其间的点铰支承， 取以两两抗扭支承点的距离为跨径，以点铰反力（ Ri ）和 抗扭支承点的扭矩为赘余力，用力法来求解
1 )斜交板
影响斜交板受力的因素主要有： 斜交角、 宽跨比、 抗弯刚度、 抗扭刚度， 支承条件及荷载形式等
a）斜交板桥 b）斜交梁桥 斜交桥及其参数
影响机理较复杂，现有研究的主要结论如下 弯矩 纵向弯矩随斜交角 的增大而减小，均布荷载作用 时比集中荷载作用时的减小更显著，如下图所示。 纵向最大弯矩的位置随 角的增大从跨中附近向纯角部位 移动，其值比同等跨径的正交桥小，可是横向弯矩却比同 等跨径的正交桥大得多，尤其是跨中部位。 除上述纵、横向弯矩外，在钝角部位的角平分线垂直方向 上产生负弯矩，有时其数值接近跨中的正弯矩，其值随 的增大而增加，但分布范围较小，并迅速削减。 反力 斜交板支承边上反力分布很不均匀。钝角角隅处的 反力可能比正交板大好几倍，而锐角角隅处的反力很小， 甚至是负反力。可采用以下措施防止这一现象恶化：一是 在锐角处埋置螺栓阻止其上拔，二是设置弹性支承以是反 力分布趋于均匀，减小钝角上缘的负弯矩。 扭矩 斜交板的扭矩变化较为复杂，且与其抗扭刚度
跨径20m不 同 值的简 支单斜梁跨 中截面的弯 矩和扭矩影 响线
（4）斜梁按正梁计算的条件[4] 单跨斜梁 ① ② ③ 连续斜梁桥
k ≥ 10
5 ≤ k < 10
0≤k <5
≤ 20°
≤ 15°
≤ 10°
≤ 20°
（5）当 k 小于1/3时，扭矩绝对值较大，因此简支斜梁 以用箱形截面为宜[1]。 至于支点反力的变化规律，支承条件对内力的影响 等细节讨论可参阅文献[4]、[5]