高考数学(精讲+精练+精析)专题14_1 几何证明选讲试题 理(含解析)

专题14.1 几何证明选讲

【三年高考】

1. 【2016高考天津】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.

【答案】

23

2.【2016高考新课标1卷】如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,1

2

OA为半径作圆.

(I)证明：直线AB与O相切；

(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.

O

D C

B

A

E

O'

D C

O

B

A

3．

【2016高考新课标2】如图，在正方形ABCD中，,E G分别在边,

DA DC上（不与端点重合），且DE DG

=，过D点作DF CE

⊥，垂足为F．

(Ⅰ) 证明：,,,

B C G F四点共圆；

(Ⅱ)若1

AB=，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

【解析】（I）因为DF EC

⊥,所以,

DEF CDF

∆~∆则有,,

DF DE DG

GDF DEF FCB

CF CD CB

∠=∠=∠==所以,

DGF CBF

∆~∆由此可得,

DGF CBF

∠=∠由此0

180,

CGF CBF

∠+∠=所以,,,

B C G F四点共圆.（II）由,,,

B C G F四点共圆，CG CB

⊥知FG FB

⊥，连结GB，由G为Rt DFC

∆斜边CD的中点，知GF GC

=,故,

Rt BCG Rt BFG

∆~∆因此四边形BCGF的面积S是GCB

∆面积

GCB

S

∆

的2倍，即

111

221.

222

GCB

S S

∆

==⨯⨯⨯=

4．【2016高考新课标3】如图，

O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．

（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；

（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．

【解析】（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.因为AP BP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠.又

180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒， 因此60PCD ∠=︒.

（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．

5.【2015高考新课标2，】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．

（Ⅰ）证明：//EF BC ；

（Ⅱ） 若AG 等于O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．

【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为

O 分别与AB 、

AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，

所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，

则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，

所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．

因为2OM OE ==，1

32

DM MN =

=，

所以1OD =．于是5AD =，1033AB =．所以四边形EBCF 的面积

221103313163

()(23)232223

⨯⨯-⨯⨯=．

6．【2015高考陕西，】如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．

（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ； （II ）若D 3DC A =，C 2B =

，求O 的直径．

7.【2015高考新课标1】如图，AB 是O 的直径，AC 是

O 的切线，BC 交O 于E .

（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；

（Ⅱ）若3OA CE =

，求∠ACB 的大小.

【解析】（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，在Rt △AEC 中，由已知得DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ， 连结OE ，∠OBE =∠OEB ，∵∠ACB +∠ABC =90°，∴∠DEC +∠OEB =90°，∴∠OED =90°，∴DE 是圆O 的切线.

（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =23，2

12BE x =-， 由射影定理可得，2AE CE BE =， ∴22

12x x =-，解得x =3，∴∠ACB =60°.

8.【2015高考湖南】如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明： （1）180MEN NOM ∠+∠=； （2）FE FN FM FO ⋅=⋅

【解析】（1）如图a 所示， ∵M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，∴OM AB ⊥，ON CD ⊥， 即90OME ∠=， 90ENO ∠=，180OME ENO ∠+∠=，又四边形的内角和等于360，故

180MEN NOM ∠+∠=；

（2）由（I ）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅