数学物理方法 第一章..

无限多值，除0、∞外都有对数.
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（四）复变函数的极限和连续性：
极限： 设w=f(z)是z0的无心邻域中有定义的单值函数，并且对于 任意给定的正实数ε，总能找到正实数δ，使得当0<|z-z0|< δ时， 有|f(z)-w0|< ε，那么常复数w0就称为f(z)当z趋于z0时的极限。
说明： 极限存在与否与在z0点有无定义无关；极限值与趋近方式无关。 连续性： 设在复平面的某一区域内定义了一个函数w=f(z)。如果自变 量z在这区域内以任何方式趋于一点z0时，f(z)都以f(z0)为极限， 则称f(z)在z0连续，如果f(z)在区域内的所有点上都连续，就称 它在区域内连续。
一个复数→复平面上的一个点→复矢量
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（三）三角式及指数式
在复平面上取极坐标，则
z (cos i sin ) e
i
（尤拉公式，证明见第三章） 模 幅角 取
z x y
2
2
Argz=φ=arctg(y/x)
,具有不唯一性
0 (0 0 2 ) 为Arg z的主值，则
§1.2 复变函数
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（一）复变函数定义
复变函数：当z=x+iy在复平面上变化时，如果对于z的每一个值， 都有一个或多个复数值w与之对应，则称w为z的函数， w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z称为宗量. 单值 多值 复平面上的区域（复平面上的点集）
它为 a )在D内的每一个点，都有以 属于集合（内点） 圆心的一个充分小的圆 B (开)区域 b)具有连通性 — B内任两点都可由内点 组成的折线连起来
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0 及邻域 E 点集 E 外点z 0：z0 及邻域 E 边界点z ：z 的邻域中有 E也有 E的点 0 0
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闭区域 B :区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一条 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条及以上
第一章
复变函数论基础
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简介
复数、复变函数及其导数、解析函 基本内容： 数、解析的充要条件、解析函数的 几何意义、复变函数积分、柯西定 理、柯西公式 基本应用： C-R条件的应用、 Cauchy公式及其与定理的联合应用 重 难 点： 点： 解析函数（是本章的重点，也是 本篇的重点） 已知解析函数的实部（或虚部）求 该解析函数 、Cauchy公式及其与定 理的联合应用
0 2n
（多值函数的多值性与幅角的不唯一性有密切关系）
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P5,例题1
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（四）代数运算
加减:实、虚部分别相加减 乘除: 利用 i 1,
2
2 2
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )

z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
（3） coshz=(ez+e-z)/2；
sinhz=(ez-e-z)/2 coshz=cos(iz); sinhz=-isin(iz) 周期性：2πi； 奇偶性；平方差公式；和角公式
（4） ln z
ln(ei ) ln i(0 2n ) (0 0 2 )
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2 2 2
z1 z1 z 2 zz x y z z z 2 z2 z2 i ( ) z 采用指数形式更方便 z1 z2 1 2e 1 2 , 1 1 e i (1 2 ) z2 2 n n in z e 乘方:
开方:
n
z n e n n e
P10,例1
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
（二）复变函数的几何意义
实变函数 复变函数 一条平面上的曲线 映射(一个平Fra Baidu bibliotek映射到 另一个平面)
P11，例2
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（三）初等函数：
名称、形式与实初等函数相同，但其性质却有不同,如：
（1） （2）
e z e z i 2 纯虚周期2i eiz e iz eiz e iz sin z , cos z 2i 2 z iy i y e ey sin z , cos z 无界，如 cos z 2
i

1 i (0 2 k ) n
(k=0,1,2，…，n-1)是n值函数.
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（五）无穷远点
复平面上模为无穷大的点规定为一点，叫无穷远点
无限远是一点 两种不同的理解方式： 复球面和ζ=1/z
复数0和∞的幅角无意义.
作业：1.2， 1.6， 2.4， 2.5，4
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§1.1复数
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（一）复数的定义（代数式）
复数z=x+iy
） 虚数单位: i 1 (或i 1
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实部Rez=x 虚部Imz=y
z的共轭复数:z*或 z x iy
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（二）复数的几何意义（复平面与复矢量）
复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
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作业：1.1，1.6，2.2，3，4.2，5.1，6.2
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1.3 复变函数的导数和解析性 保角映射
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（一）复变函数的导数 C-R条件
f ( z z ) f ( z ) 存在， z 0 z 则称f(z)在z可导，该极限称为f(z)在z点的导数，记作 df f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim Z 0 dz z 1)定义形式与实变函数的导数同 实变函数的求导法则及实初等函数的导数 公式均适用于复变函数的导数,例 (c1 cos z c2 z 2 ) c1 sin z 2c2 z 2)实变函数导数：比值的左、右极限存在且相等; 复变函数导数：比值极限应与△z→0的方式无关，或△z沿 一切可能方式→0的极限都存在且相等。 显然复变函数导数存在的条件比实变函数严格的多。