2020年河南省驻马店市高考数学一模试卷(理科)

2020年河南省驻马店市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合3

{|1}A x x

=，{|0}B x x =，则(A B = )

A ．{|03}x x <

B ．{|03}x x

C ．{|13}x x <

D ．{|13}x x <<

2．（5分）设复数2

(1)(12i z i i

+=-为虚数单位）

，则复数z 的虚部为( ) A ．45- B ．23- C ．25 D ．43

3．（5分）在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为( ) A ．

25

B ．35

C ．

715

D ．

815

4．（5分）已知函数()2sin()(0)6

f x x π

ωω=+>的最小正周期为π，则下列选项正确的是(

)

A ．函数()f x 的图象关于点(

6π

，0)对称 B ．函数()f x 的图象关于点(12

π

-，0)对称

C ．函数()f x 的图象关于直线3x π

=对称

D ．函数()f x 的图象关于直线12

x π

=-对称

5．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg 分别服从正态分布1(N μ，21)δ，2(N μ，22)δ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( )

A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=

B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99δ= 6．（5分）函数||()|1|lnx f x x e =-+的大致图象为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

7．（5分）已知1(0,)2a ∈，log (2)a x a =，1log a y a +=，12

log (2)a z a +=，则( )

A ．x y z <<

B ．y x z <<

C ．x z y <<

D ．z y x <<

8．（5分）在如图算法框图中，若6a =，程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是( )

A ．3k <

B ．3k >

C ．4k <

D ．4k >

9．（5分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7108S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列{}n b 的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

10．（5分）十八世纪，函数[]([]y x x =表示不超过x 的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方

程22019[]20200x x --=的所有实数根的个数为( ) A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )

A ．23π

B ．

234

π

C ．64π

D ．

643

π

12．（5分）已知函数23420182019

()123420182019x x x x x f x x =+-+-+⋯-+

，若函数()f x 的零点均在区间[a ，](b a b <，a ，)b Z ∈内，则b a -的最小值是( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知向量(1,1)a =，(2,1)b =，若()()a b a b λ-⊥+，则实数λ的值为 ． 14．（5分）学校准备将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少1名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．

15．（5分）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，A ，B 为其

左、右两个顶点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且

30AMB ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ．

16．（5分）已知函数22()()(x f x x ax e ax a e =--+为自然对数的底数，a R ∈，a 为常数）有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分. 17．（12分）如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )a c B B =+．

（1）求ACB ∠的大小；

（2）若ABC ACB ∠=∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．

18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，22AC =，

2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；

（Ⅱ）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小．

19．（12分）设直线l 与抛物线2

2x y =交于A ，B 两点，与椭圆22142

x y +=交于C ，D 两

点，设直线OA ，OB ，OC ，(OD O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥． （1）证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；

（2）是否存在常数λ，满足1234()k k k k λ+=+？并说明理由． 20．（12分）已知函数()lnx

f x x

=

． （1）若函数()y f x k =-有2个零点，求实数k 的取值范围； （2）若关于x 的方程1

()f x m x

=-

有两个不等实根1x ，2x ，证明：①122x x +>；②22

2112

2x x x x +>．