微分中值定理与导数的应用练习题

题型

1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题

2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算

3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值

4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点

5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程

内容

一．中值定理 1.罗尔定理

2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则

一些类型（00、∞

∞、∞•0、∞-∞、0

∞、0

0、∞

1等）

三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值

四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点

五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线

典型例题

题型I 方程根的证明

题型II 不等式（或等式）的证明

题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点

自测题三

一．填空题 二．选择题 三．解答题

4月13日微分中值定理与导数应用练习题

基础题：

一．填空题

1．函数12

-=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。

3．1)(2

-+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。

4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→

x

x

x 3cos 5cos lim

2

π35-

8.=++∞→x

x x arctan )

1

1ln(lim

0 9.)tan 11(

lim 20

x x x x -→=3

1 10.0

lim(sin )x

x x +

→=1 二． 选择题

1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ ）．

A ． 必要条件

B ．充分条件

C ． 充要条件

D ． 既非充分也非必要条件

２．下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）．

A .

x e x f =)( B.

||)(x x f = C.

21)(x x f -= D.

⎪⎩⎪⎨⎧

=≠=0

,00 ,1sin )(x x x

x x f ３．若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ ）．

A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ

B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间

C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ

D ． 211212)

()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ

4．下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）

A ． ==∞

→∞

→n

n

n

n n e

n ln lim

lim 11

lim

=∞→n

n e

B ． =-+→x x x x x sin sin lim

0 ∞=-+→x

x

x cos 1cos 1lim 0

C ． x

x x x x x x x x cos 1cos

1sin 2lim sin 1sin lim

020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11

lim 0=→x x e

5． 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）

A ． x x x sin lim 20→

B ． x x x tan 0)1(lim +→

C ． x

x x x sin lim +∞→ D ． x n

x e x +∞→lim

综合题：

三．证明题

1．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡65,6ππ上的正确性。

2．验证拉格朗日中值定理对函数2542

3

-+-=x x x y 在区间[]1,0上的正确性。

3．试证明对函数r qx px y ++=2

应用拉格朗日中值定理时的求得的点ξ总是位于区间的正中间。

3.证明方程06

213

2=+++x x x 有且仅有一个实根．

4．证明下列不得等式：

⑴y x y x -≤-arctan arctan ⑵当x e e x x

⋅>>时，1

(3)当b b a b a a b a b a -<

<->>ln 0时， （4）当2

0π

<+

(5)当π<

x

cos sin >．

四．计算题

10．用洛必达法则求下列极限：

⑴()x

x x +→1ln lim 0 ⑵x e e x x x sin lim 0-→-