可计算性与可判定性 - MathInstitute

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喻良 (南京大学现代数学研究所)
可计算性与可判定性
December 25, 2013
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哥德尔编码
公式的编码
对于一串语言符号s0 , s1 , · · · , sn ,
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哥德尔第一不完备性
Rosser定理
. Theorem . 如果PA是协调的，则存在一个句子φ使得它和它的否定都不能 被PA证明。 . . Proof. . 令 φ使 得PA ⊢ φ ↔ ¬(∃y(Prov(♯(φ), y) ∧ ∀z < y(¬Prov(♯(¬φ), z))))。 如果PA ⊢ φ，则存在φ的一个证明，因此存在一个自然数n编 码φ的证明。所 以PA ⊢ ∃y(Prov(♯(φ), y) ∧ ∀z < y(¬Prov(♯(¬φ), z)))。 如果PA ⊢ ¬φ，则存在一个自然数n编码¬φ的证明。因为PA是协 调的，所有φ的证明必定大于n。因 此PA ⊢ ∃yProv(♯(φ), y) → ∃z < y(Prov(♯(¬φ), z))，矛盾！ .
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喻良 (南京大学现代数学研究所)
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可计算性与可判定性
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哥德尔第一不完备性
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可计算性与可判定性
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哥德尔第一不完备性
证明
定义关系R(x, y)当且仅当♯−1 (y)是♯−1 (x)的一个证明。 则R是递归的，因此存在一个公式Prov(u, v)表示R.
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哥德尔第一不完备性
哥德尔第一不完备性
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可计算性与可判定性
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哥德尔第一不完备性
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可计算性与可判定性
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哥德尔第一不完备性
ω -协调性
. Definition . 一个理论T称为ω -协调的如果不存在公式φ(v) 使得 T ⊢ ∃vφ(v)， 但是对所有的n, T ⊢ ¬φ(n)。 . 如果(ω, +, ·, <, 0, 1) |= T，则T是ω -协调的。
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可计算性与可判定性
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哥德尔编码
可表示性
从现在起，我们只讨论算术语言。 . Definition . 一个关系R(v0 , · · · , vn )是可表示的，如果存在一个公 式φ(v0 , · · · , vn )使得对于所有的自然数k0 , · · · , kn , R(k0 , · · · , kn ) ↔ PA ⊢ φ(k0 , · · · , kn ) 并且 .
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哥德尔编码
可表示性定理
. Definition . 一个函数f是可表示的，如果存在一个公式φ(v0 , · · · , vn , vn+1 )使得 对于所有的k0 , · · · , kn , . PA ⊢ ∀v(♯(f(k0 , · · · , kn )) = v ↔ φ(k0 , · · · , kn , v))
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哥德尔第一不完备性
有穷主义
不动点定理
. Theorem . 给定一个公式 β (v),存在一个句子ψ 使得PA ⊢ ψ ↔ β (♯(ψ )). . . Proof. . ¯ )). 则f是递归的，因此存在一个公式θ使得 令f(n, m) = ♯(♯−1 (n)(m 函数f被θ所表示。 对于任意一个公式β (v),令q = ♯(∀v(θ(u, u, v) → β (v))), 令ψ 为∀v(θ(q, q, v) → β (v))。则f(q, q) = ♯(ψ )。 即PA ⊢ ∀v(θ(q, q, v) → v = ♯(ψ ))。 因此PA ⊢ β (♯(ψ )) → ∀v(θ(q, q, v) → β (v))， 即PA ⊢ β (♯(ψ )) → ψ . 因为PA ⊢ θ(q, q, ♯(ψ ))，因此PA ⊢ ψ → β (♯(ψ ))。 即PA ⊢ ψ ↔ β (♯(ψ ))。 .
♯(s0 , s1 , · · · , sn ) = ⟨s0 , s1 , · · · , sn ⟩.
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喻良 (南京大学现代数学研究所)
¬R(k0 , · · · , kn ) ↔ PA ⊢ ¬φ(k0 , · · · , kn )
注意公式右端ki 是1 + 1 + · · · + 1, ki 个1连续相加的缩写。
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. Theorem . 如果PA是ω -协调的，则存在一个句子φ使得它和它的否定都不能 被PA证明。 . . Proof. . 令φ使得PA ⊢ φ ↔ ¬∃yProv(♯(φ), y). 如果PA ⊢ φ，则存在φ的一个证明，因此PA ⊢ ∃Prov(♯(φ), y)。 如果PA ⊢ ¬φ，则PA ⊢ ∃yProv(♯(φ), y)。由表示性定理，对于所 有n, PA ⊢ ¬Prov(♯(φ), n)。则PA不是ω -协调的。 .
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可计算性与可判定性
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哥德尔编码
编码的能行性
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可计算性与可判定性
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哥德尔第二不完备性
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可计算性与可判定性
第五讲：哥德尔不完备性定理 喻良
南京大学现代数学研究所
December 25, 2013
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喻良 (南京大学现代数学研究所)
严格的有穷主义证明： . 有穷个符号列表; 1 . 一个有穷集的有穷符号串; 2 . 有穷个算子; 3 . 所有表达式都通过以上方式生成。 4
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.Байду номын сангаас
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. Theorem . 在哥德尔编码下，变量集合，项集合，原子公式集合以及公式集 合都是递归的。 . 证明是一连串公式的集合，因此证明也是递归的，从而关系''存 在φ到ψ 的证明"是递归可枚举的。
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Tarski真值定理
. Theorem . 没有一个公式φ(v)使得对所有自然数n, (ω, +, ·, <, 0, 1) |= φ(n) 当 且仅当 (ω, +, ·, <, 0, 1) |= ♯−1 (n)。 . . Proof. . 如果存在这样一个公式。由不动点定理，存在一个自然数n使 得(ω, +, ·, <, 0, 1) |= ¬φ(n) 当且仅当(ω, +, ·, <, 0, 1) |= ♯−1 (n)。矛 盾! . . Corollary . {♯(φ) | (ω, +, ·, <, 0, 1) |= φ}不是递归的。 对于任何PA的协调扩张T, {♯(φ) | T ⊢ φ}不是递归的。 .
可计算性与可判定性
December 25, 2013
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哥德尔编码
语言编码
定义♯为逻辑符号到自然数上的函数： ♯(∀) = 1, ♯(∃) = 2, ♯(∨) = 3，♯(¬) = 4, ♯(=) = 5,♯(() = 6,♯()) = 7。 ♯(vi ) = 8i + 1, ♯(ci ) = 8i + 2, ♯(Ri ) = 8i + 3, ♯(fi ) = 8i + 4。
三个引理
我们用 Prb(v) 表示∃uProv(v, u). . Lemma . . PA ⊢ φ蕴含PA ⊢ Prb(♯φ); 1 . PA ⊢ Prb(♯(φ)) → Prb(♯(Prb(♯(φ)))); 2 . PA ⊢ Prb(♯(φ → ψ )) → (Prb(♯(φ)) → Prb(♯(ψ ))). 3 .
. Theorem . 一个关系R是可表示的当且仅当R是递归的。而且每一个递归函数 是可表示的。 . . Proof. . 考虑原始递归h(0, x2 , · · · , xn ) = g(x2 , · · · , xn ) 并 且h(y + 1, x2 , · · · , xn ) = f(y, h(y, x2 , · · · , xn ), x2 , · · · , xn ). .
可计算性与可判定性
December 25, 2013
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哥德尔编码
公式的编码
对于一串语言符号s0 , s1 , · · · , sn ,
♯(s0 , s1 , · · · , sn ) = ⟨s0 , s1 , · · · , sn ⟩.
例如：♯(∃vi (vi = vi )) = ⟨2, 8i + 1, 6, 8i + 1, 5, 8i + 1, 7⟩.