5.2-三角形内角和定理(第2课时)-优秀教学设计

第七章平行线的证明

5．三角形内角和定理（第2课时）

一、学生知识状况分析

学生技能基础：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，为今天的学习奠定了良好的基础．

二、教学任务分析

在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《关注三角形的外角》旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是：

1.掌握三角形外角的两条性质；

2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．

3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。

4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。

5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．

三、教学过程分析

本节课的设计分为四个环节：复习引入——探索新知——典例精析——课堂小结第一环节：复习引入

问题：发现懒洋洋独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C 处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼行走路线AC与BC的夹角∠BCA是多少度？灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？

设计意图：用熟悉的喜羊羊和灰太狼的故事引入，激发兴趣，复习三角形内角和定理，引出三角形的外角。

第二环节：探索新知

活动内容：

三角形的外角的概念

如图，把△ABC的一边CA延长，得到∠BAD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

问题1 如图，延长BA到E,∠EAC是不是△ABC的一个外角？∠DAE是不是△ABC 的一个外角？

问题2 如图，∠DAB与∠EAC有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？

画一画画出△ABC的所有外角，共有几个呢?

设计意图：理解三角形的外角，感受三角形的外角的图形。

如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？

设计意图：能在图形中找出三角形的外角，培养学生的识图能力。

三角形的外角的性质

问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？

问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？

设计意图：充分理解三角形的外角与内角的位置关系和数量关系，用不同的颜色，直观

如图，∠2 =（）+（）、比较∠2 ，∠1的大小；

如图，∠3 =（）+（）=（）+（）+（）比较∠3、∠2、∠1的大小.

设计意图：进一步巩固三角形的外角的推论，思维的提升，

培养识图能力和综合能力。

归纳总结

三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

∠B+∠C=∠CAD

性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

∠CAD > ∠B，∠CAD > ∠C

设计意图：文字语言和数学语言并举，培养学生归纳综合能力，

练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：

设计意图：两种方法的对比，用三角形外角推论的快捷。

第三环节：典例精析

① 已知，如图，在三角形ABC 中，AD 平分外角∠EAC ，∠B=∠C ．求证：AD ∥BC 分析：要证明AD ∥BC ,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE =∠B .

证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）

∴∠B =21∠EAC （等式的性质）

∵AD 平分∠EAC （已知）

∴∠DAE =21∠EAC （角平分线的定义）

∴∠DAE =∠B （等量代换）

∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）

想一想，还有没有其他的证明方法呢？

这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.

证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）

∴∠C =21∠EAC （等式的性质）

∵AD 平分∠EAC （已知）

∴∠DAC =21∠EAC （角平分线的定义）

∴∠DAC =∠C （等量代换）

∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）

还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）

∴∠C =21∠EAC （等式的性质）

∵AD 平分∠EAC （已知）

∴∠DAC =21∠EAC

∴∠DAC =∠C （等量代换）

∵∠B +∠BAC +∠C =180°

∴∠B +∠BAC +∠DAC =180° B A C

D E

即：∠B+∠DAB=180°

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

设计意图：巩固推论，运用推论，方法多样，培养学生的发散思维。

三角形的外角和

例5 如图，∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

∠BAE= ∠2+ ∠3，

∠CBF= ∠1+ ∠3,

∠ACD= ∠1+ ∠2.

又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，

所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD

=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.

解法二：如图，∠BAE+∠1=180 °①，

∠CBF +∠2=180 °②，

∠ACD +∠3=180 °③，

又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，

①+ ②+ ③得

∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD

+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，

所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.

解法三：

过A作AM平行于BC，∠3＝∠4

∠2＝∠BAM，

∠2＋∠3＝∠4＋∠BAM，

所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°

结论：三角形的外角和等于360°.

设计意图：巩固推论，运用推论，方法多样，培养学生的发散思维。