专题五 转化与化归的思想方法

转化与化归的思想方法 考题剖析
2.（2007·云南昆明市质检题）若 (x + 3) 2 + ( y −1) 2－|x－y＋3|=0， 则点M(x,y)的轨迹是（ A. 圆 B. 椭圆 ） C. 双曲线 D.抛物线
［解析］由原式可以变形为
( x + 3) 2 + ( y − 1) 2 = ， 2 | x − y +3| 2
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［解析］每月的利润组成一个等差数列{an}，且公差d＞0，每月的投资额组成 一个等比数列{bn}，且公比q＞1.a1=b1，且a12=b12，比较S12与T12的大小.若直接求和， 很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an=a1＋（n－1）d是关于n的一 次函数，其图象是一条直线上的一些点列.等比数列的通项公式bn=a1qn－1是关于n的 指 数 函 数 ， 其 图 象 是 指 数 函 数 上 的 一 些 点 列 . 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出ai≥bi 则S12＞T12，即m＞N. 故选A.
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思路2:利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再 进行计算： ∵x2＋3x＋2=x2＋(3x＋2)=(x2＋2)＋3x=(x2＋3x)＋2 =(x＋1)(x＋ 2)=(1＋x)(2＋x)， ∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法.①如利用x2＋3x＋ 2=x2＋(3x＋2)转化，可以发现只有C 5 (3x＋2)5中会有x项，即 5 4 (3x)·24=240x，故选B；②如利用x2＋3x＋2= (x2＋2)＋3x进 C 5 行转化，则只C 1 (x2＋2) 4·3x中含有x一次项，即 5 4 C 1 ·3x·C 4 ·24=240x；③如利用x2＋3x＋2=(x2＋3x)＋2进行转 5 4 化，就只有C 5 ·(x2＋3x)·24中会有x项，即240x；
3.在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为（ A.160 B.240 C.360 ） D.800
［分析］本题要求(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数，而我们只学 习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的 计算用两种思路进行转化. ［解析］思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解， 则(x2＋3x＋2)5展开式是一个关于x的10次多项式，(x2＋3x＋2)5 =(x2 ＋3x＋2) (x2＋3x＋2) (x2＋3x＋2) (x2＋3x＋2) (x2＋3x＋2)，它的展开 式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并 在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为 C1 ·(3x)·C 4·24=5×3×16x=240x，所以应选B. 4 5
⇒
5
4 . 5
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（3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角 形三边的中点.由此得：AB=BC=AC=a.在三棱锥中， 取AC中点D.连PD、BD ⇒ AC⊥PD，AC⊥BD， 故AC⊥平面PDB， 且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离d，
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3.转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件， 所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等 价 转 化 ， 应 附 加 限 制 条 件 ， 以 保 持 等 价性，或对所得结论进行必要的验证.
4.化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利 于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.
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7. 已 知 二 次 函 数 f （ x ） =ax2 ＋ 2x － 2a － 1 ， 其 中 x=2sinθ （0<θ≤ 恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围. ［分析］注意0<θ≤ 等价的不等式组. ［解析］由以上分析，问题转化为二次 方程ax2＋2x－2a－1=0.在区间［－1,2］上 恰有两个不相等的实根，由y=f（x）的图象 （如图所示）， －1≤x≤2，问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出
［解析］ 令f(x)=(2x＋ 3 )4 =a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4 (a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2=(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4) =f(1)·f(－1)=(2＋ 3 )4(－2＋ 3 )4=1,所以选C. ［点评］ 本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题， 关键是要看清(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的结构特点，可以分解因式， 而分解因式后与前面式子联系起来看，就不难转化为一个函数问 题了.
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［点评］把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小， 而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的.在对问题的化归 过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问 题直观、形象，使解答更清新.
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5.若关于x的方程cos2x＋4asinx＋a－2=0在区间［0,π］上有两 个不同的解，则实数a的取值范围是 . ［解析］ cos2x＋4asinx＋a－2＝1－2sin2x＋4asinx＋a－2 =－2sin2x＋4asinx＋a－1 令t=sinx，t∈［0,1］，则原题转化为方程－2t2＋4at＋a－1＝0 在［0,1］上有两个根. ∆ > 0
令f(x)=－2t2＋4at＋a－1，由二次函数图象可知： f (1) ≤ 0
解得：
1 3 <a≤ 2 5 ［点评］本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名，
f ( 0) ≤ 0 0 < 4a < 1 4
三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.
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7π ，则－1≤2sinθ≤2，即 6 7π ）. 若二次方程f（x）=0 6
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得等价不等式组：
∆ = 4 + 4a (2a + 1) > 0 − 1 < 2 < 2 2a af (−1) = a (−a − 3) ≥ 0 af (2) = a (2a + 3) ≥ 0
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④如选择x2＋3x＋2=(1＋x)(2＋x)进行转化，(x2＋3x＋2)5=(1＋x)5×(2＋x)5 展开式中的一次项x只能由(1＋x)5中的一次项乘以(2＋x)5展开式中的常数项加 上(2＋x) 5 展开式中的一次项乘以(1＋x) 5 展开式中的常数项后得到，即为： 故选B.
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［解析]（1）在平面图中P1A⊥P2B，P2B⊥P2C. 故三棱锥中，PB⊥PA，PB⊥PC， ∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC.
（2）由（1）在三棱锥中作PD⊥AC于D， 连结BD.由三垂线定理得BD⊥AC， ∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展开图中， 连BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E，得AE=P1P2=4.
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（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的 解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与 形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其变为有利于运用某种数 学方法或使其方法符合人们的思维规律. （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决. （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获解.
3 解得实数a的取值范围为［－3，－ ］. 2
［点评] 本题体现了函数与方程的转化、数与形的转 化，直观明了.Leabharlann 转化与化归的思想方法 考题剖析
8.如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥P－ABC. （1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直 角梯形P1P2P3A，如图（b）所示.求证：侧棱PB⊥AC； （2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求 侧面PAC与底面ABC所成角； （3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个 三角形P1P2P3，如图（c）所示.已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三 棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积.
∴x>3或x<－1. ［点评］在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要 地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题 时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在 某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元 在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来 处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一 次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.
6.若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值 范围.
［解析］ ∵x2＋px>4x＋p－3 ∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0 令g(p)=(x－1)p＋x2－4x＋3， 则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有
g ( 0) > 0 g ( 4) > 0
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5.利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：
考题剖析
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1. （2008·麻城一中模拟题）若(2x＋ 3 )4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为（ A.0 B.－1 C.1 ） D.2
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1. 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难.通过观察、分析、类比、 联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题 （相 对 来 说 ， 对 自 己 较熟 悉 的 问 题） ， 通 过 新问 题的求 解，达 到解决 原问 题的 目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.
即可以看作是动点（x,y)到点（－3,1）的距离与到定直线x－y＋ 3=0的距离的比为 2 ，故点M(x,y)的轨迹是双曲线. ［点评］ 本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的， 效率也不高，但将式子转化为这种公式之后，它的几何意义就凸 现出来了，解题时要有一定的转化能力与数形结合的能力.
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x CE=EP3= 3 =
设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，
x2 − 42
，∴EP3= 2 .
故CP3=2 2 ，P2P3=4
2，
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DP3= 8 ， 3 又BP3= BP22 + P2 P32 =6，且BD= 10 . 4， 3 在△PDB中，cos∠PDB= 由AC·DP3=CP3·AE ∴侧面PAC与底面ABC所成的角的大小为arccos
［点评］ 化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知.
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4.某厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改 造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增 加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产 利 润 相 同 ， 问 全 年 总 利 润 m 与 全 年 总 投 入 N 的 大 小关系是（ A.m>N ） B.m<N C.m=N D.无法确定
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2. 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问 题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意 义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想 是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程. 数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化， 新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的 转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代 数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.