张量概念及其基本运算
张量概念与基本运算
2
3
ii
2
( 11
22
33 )2
i1
33
ij ij
ij ij
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
★ 关于求和标号,即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示.
◆ 求和约定只适用于字母标号,不适用于数字标号.
、 、 、 当取n时,n阶张量,M = 3n.
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合.
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广.标量是0阶张量, 矢量是一阶张量,矩阵是二阶张量,而三阶张量 好比立体矩阵,更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示 物理量,可是标量加上向量都不能完整地表达所有 的物理量,所以物理学家使用的数学量的概念就 必须扩大,于是张量就出现了.
张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 .
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点.
◆ 所有与坐标系选取无关的量,统称为物理恒量.
◆ 在一定单位制下,只需指明其大小即足以被说明 的物理量,统称为标量.例如温度、质量、功等.
◆ 在一定单位制下,除指明其大小还应指出其方向 的物理量,称为矢量.例如速度、加速度等.
(3) ij jk i11k i2 2k i3 3k ik
(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii
(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )
(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j
张量第四章
第四章 张量代数§4.1 张量的基本运算一、加法阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。
张量的代数和，就是将对应的同名分量相加。
1、 张量加法满足交换律和结合律。
2、 张量加法对坐标变换是不变的。
二、乘法对任何阶与结构的张量都可施行乘法。
用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。
由这些乘积所组成的集合仍是一个张量，即两个张量的乘积。
j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 mkl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。
1、 张量乘法是不可交换的。
2、 张量乘法对坐标变换是不变的。
3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
三、连并与缩并连并：当两个张量相乘时，如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同，则按哑标求和，结果仍为一个张量。
这种乘积运算称为连并。
缩并：对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号，则对哑标求和，其结果仍为张量，称为缩并。
缩并只能对二阶以上的混变张量进行。
四、指标的上升与下降指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。
度量张量的逆变分量可以提升指标。
度量张量的协变分量可以下降指标。
kij ijl klT T g ⋅⋅= i j km likl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化1、对称化对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化，就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和，并除以!r 的算术平均值的运算。
其结果关于所参与的r 个指标对称，也即所得张量与对称化指标的位置元素，称为关于该r 个指标的对称张量。
一般把参与对称化的指标用（ ）括起来，未参与对称化的指标用一对竖线分开。
)(!21)(ji ij ij T T T +=)(!31)(ilkjm ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=2、反对称化反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标，通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。
张量算法简明教程
张量算法简明教程张量算法是一种基于张量的高阶线性代数和数学方法，其被广泛应用于计算机科学、机器学习、神经网络和人工智能等领域。
张量算法可以描述和处理诸如多维数组、多项式、图像、声音、文本等复杂的结构化数据，并且具有很高的灵活性和可扩展性。
张量的基础概念：在计算机科学和机器学习中，张量是一种多维数组或矩阵的表示方式。
与标量和向量不同，张量可以具有任意次数的维度，并且每个维度可以具有任意数量的元素。
例如，一个三维张量可以看作是一个 $m \times n \times p$ 的数组，其中 $m$ 表示第一维的大小，$n$ 表示第二维的大小，$p$ 表示第三维的大小。
张量中的每个元素可以看作是一个标量或数字，但通常情况下，这些元素表示的是更高维度的结构化信息。
例如，一个 $n \times n$ 的矩阵可以看作是一个二阶张量，其中每个元素表示两个向量之间的关系。
张量的表示：在张量表示中，每个维度通常用一些符号来表示，例如 $i,j,k$ 表示第一、二、三维。
在这些符号后面，可以使用方括号表示下标来访问张量中的元素，例如$A_{i,j}$ 表示一个二维张量中第 $i$ 行，第 $j$ 列的元素。
在Python中，张量可以使用多种数据结构来表示，例如numpy数组、PyTorch张量等等。
例如，在numpy中，可以使用以下方式创建一个 $3 \times 3 \times 3 $ 的三维张量：```pythonimport numpy as npx = np.random.rand(3,3,3)print(x)```张量运算：张量运算是处理张量的基础操作，可以用于创建新的张量、计算相似度和距离、转换维度等等。
以下是一些常见的张量运算：1. 张量加法：两个张量中对应元素相加得到的一个新张量。
3. 张量转置：将张量的某些维度交换得到的一个新张量。
4. 张量求逆：对于可逆的张量，可以求得其逆或伪逆。
5. 张量降维：将高维张量转换为二维矩阵或向量。
张量运算基本手册
张量运算三维Descartes 坐标系中，一个含有3个与坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。
位移分量u ，v ，w 缩写记为u i （i =1, 2, 3）表示为u 1, u 2, u 39个独立变量的集合，两个下标来表示σij 和εij ——9个应力分量或应变分量σij,k ——27个分量D ijkl ——81个分量一基本概念张量定义求和约定张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和。
=A ji ij y x a =k k k b a ∑=31∑∑==11i j jiij yx a kk b a =哑标：出现两次的下标——求和后消失=A jij i y c x =333232131332322212123132121111y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ++=++=++=自由标：非重复下标自由标个数表示张量表达式代表的方程数特殊张量Kronecker (克罗内克尔) 张量δijji j i ij ≠==1δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001333231232221131111δδδδδδδδδδij 运算规律ijmj im i m im ii T T a a ===++=δδδδδδ3332211置换张量e ijk有相等下标时的奇排列，，为，，的偶排列，，为，，032113211k j i k j i e ijk −=偶排列有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字偶数次而得到的排列奇排列11213321132312231123−======e e e e e e二张量运算kjik εσ=⋅εσ定义jij n σ=⋅n σ)(:Tij ij tr εσεσ⋅==εσij δ==⋅I σσ-1ijσ=σij ε=εijklD =D im =m in =n ji m n =⊗m n ε:D σ===kl ijkl ij D εσklijkl ij D εσ=ε:D :σii m n =⋅m n转动张量j ij i e Q e =']sin ,[cos ]sin ,[cos ββαα=′=e e iji j e'Q e =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=θθθθcos sin sin cos Q ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⋅=′θαθαααθθθθsin cos sin cos cos sin sin cos e Q e kj kj j ij ik j ij kii kie e δe Q Q e Q Q e'Q ====-1T iik i T kik e Q e Q e ''==Tijij Q Q =-1jlj i T kij T lji T kil k il i T lil iik i T kik Q e'e'Q e'Q e'Q e e e Q e Q e e Q e Q e ======''''。
张量定义及算法
1
可乘张量
设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量 a , b 是已知的，则由等式
i T ik a i b k , Tik ai bk , T.k a i bk , Tki ak b i
确定的都是二阶张量，称为可乘张量. 2
克罗内克尔符号
克罗内克尔符号 ij 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是
[张量的商律] 任一指标 jk， j k' 使
' ' 1 m
k Tlm ail a jmT ijk , Tlmp ail a jm akpT ijk
i1 il il i i i 设 Tji11 jm 和 Tj ' j ' 各为一组 x 和 x 的函数，如果对任意逆变矢量 与 及
因为从
x i x i ij i j x x
可得
ij
x i x i x i x j i j x i x j x i x j
[二阶对称张量与反对称张量]
若张量满足等式
Tik Tki , T ik T ki , Tki Ti k
则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式
i
x j1 x jl x i1 x im j1 jl j j T i1im x 1 x l x i1 x im
N
j1 jl i1 im
jl 是 x i 的函数， 则量 Ti1j1 im (共有 n 个分量)称为 l 阶逆变(或抗变)m
r1 rl s1 s k r1 rl s1 s k Tp p t t T p p Tt t
1 m 1 h 1 m 1 h
《张量分析本科》课件
2
流体力学
流体力学中的张量可描述液体和气体的流动性质，从而帮助工程师设计和优化流体系 统。
3
材料科学
张量在材料的力学行为、热膨胀和磁性等方面的研究中起着重要作用，有助于材料性 能的改进。
经济学中的张量应用
金融风险评估 市场分析 关联性， 对风险评估和投资决策具有重要意义。
《张量分析本科》PPT课 件
这个课程将介绍张量的定义、基本概念、运算和性质，以及它在物理学、工 程学和经济学等领域的应用。
张量的定义和基本概念
张量是一个多维数组，具有特定的变换规律。它在数学和物理学中扮演着重 要角色，能够描述物体在各个方向上的变化。
张量的运算和性质
张量可以进行加法、乘法等运算，还具有一些特殊的性质，如对称性、反对称性和行列式等。这些运算 和性质是研究和应用张量的基础。
学科交叉
张量分析作为一门综合性学科， 促进了不同学科之间的交流与 合作，推动了学科发展的跨越 性进展。
学习资源推荐
1 书籍和教材推荐
2 网上教程和视频
《张量分析导论》、《张量分析教程》等 是学习和研究张量分析的重要参考资源。
有许多免费的网上教程和视频，可以帮助 初学者快速入门和掌握张量分析的基本概 念和应用。
张量在市场需求、价格和产量之间的关系分 析中，能够提供深入洞察和科学决策支持。
张量分析可以用于挖掘大规模数据集中的模 式和趋势，为经济预测和决策提供准确和可 靠的依据。
张量分析的重要性
科学研究
张量分析在各个学科的科学研 究中发挥着重要作用，帮助解 决复杂问题和揭示自然规律。
技术发展
随着科技的发展和应用领域的 拓展，张量分析为新技术的发 展提供了关键理论基础。
张量的坐标表示和变换规律
张量乘积运算证明
张量乘积运算证明张量乘积是张量运算中的重要概念，它描述了两个张量之间的运算规则。
在数学和物理学领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍张量乘积的定义、性质和证明。
1. 张量乘积的定义在研究张量乘积之前，我们需要了解张量的定义。
张量是多维数组的扩展，它可以表示任意维度的向量、矩阵和数。
在多维空间中，张量的性质可以用矩阵和向量的乘积来描述。
两个张量的乘积可以表示为它们的对应分量乘积之和。
具体地，假设A和B是两个张量，它们的乘积C可以表示为：C_i^j = A_{i_1 i_2 i_3 ... i_n}B^{i_1 i_2 i_3 ... i_n}_j其中i和j表示分量的下标，n表示张量的维度。
乘积的结果是一个新的张量，它包含了A和B的所有信息。
2. 张量乘积的性质张量乘积具有以下性质：（1）结合律。
对于三个张量A、B和C，它们的乘积可以表示为：(A B) C = A (B C)即无论先做哪个乘积，结果都是相同的。
（2）交换律。
对于两个张量A和B，它们的乘积可以表示为：A B = B A即乘积的顺序可以随意变换。
（3）分配律。
对于三个张量A、B和C，它们的乘积可以表示为：A (B+C) = AB + A C即可以将一个张量的乘积分解成两个张量的乘积之和。
3. 张量乘积的证明我们可以通过把张量分解成坐标形式来证明张量乘积的性质，具体地：（1）结合律的证明设A的坐标表示为a_{i_1 i_2 ... i_n}，B的坐标表示为b_{i_1 i_2 ...i_n}，C的坐标表示为c_{i_1 i_2 ... i_n}，则有：(A B) C_k = (a_{i_1 i_2 ... i_n} b_{i_1 i_2 ... i_n}) c_{k_1 k_2 ... k_n} = a_{i_1 i_2 ... i_n} b_{i_1 i_2 ... i_n} c_{k_1 k_2 ... k_n}= A (B C_k)其中第二步和第三步都是用了张量乘积的定义。
张量和外代数的基本概念和运算法则
张量和外代数的基本概念和运算法则在现代数学中，张量和外代数是重要的代数结构。
它们在物理、工程、计算机科学等领域中被广泛应用。
本文将介绍张量和外代数的基本概念和运算法则，帮助读者对这些代数结构有更深入的认识。
一、张量的基本概念张量可以看作是线性函数的扩展。
线性函数接受向量作为输入，并输出一个标量。
而张量接受向量作为输入，并输出一个向量或张量。
因此，张量有多个分量，每个分量可以是标量、向量或张量。
在二维欧几里得空间中，一个二阶张量可以表示为一个矩阵。
设$T$是一个二阶张量，它的第$i$行第$j$列的分量为$T_{ij}$。
假设$u$和$v$是两个向量，它们的分量分别为$u_i$和$v_j$。
则$T(u,v)$可以表示为：$T(u,v)=T_{ij}u_iv_j$这里的$u_iv_j$表示一个标量的乘积，$T_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素。
因此，$T(u,v)$是一个标量。
同样的，对于$n$维欧几里得空间中的$k$阶张量，它可以表示为一个$n^k$维的数组。
二、张量的运算法则张量有多种运算法则，包括张量的加法、张量的数乘、张量的乘法和张量的缩并等。
这里介绍其中的几种基本运算法则。
1. 张量的加法设$T$和$S$是两个$k$阶张量，它们的分量分别为$T_{i_1i_2...i_k}$和$S_{i_1i_2...i_k}$。
则$T$和$S$的和可以表示为：$(T+S)_{i_1i_2...i_k}=T_{i_1i_2...i_k}+S_{i_1i_2...i_k}$即将$T$和$S$的每个对应分量相加，得到一个新的$k$阶张量$T+S$。
2. 张量的数乘设$a$是一个标量，$T$是一个$k$阶张量，它的分量为$T_{i_1i_2...i_k}$。
则$aT$可以表示为：$(aT)_{i_1i_2...i_k}=aT_{i_1i_2...i_k}$即将$T$的每个分量乘以标量$a$，得到一个新的$k$阶张量$aT$。
张量乘法规则
张量乘法规则一、张量的定义和表示方式1. 张量的定义张量是一种数学对象，它可以看作是向量、矩阵等数学对象的推广。
张量是一个多维数组，它可以表示各种物理量，如位移、速度、加速度等。
2. 张量的表示方式张量用一个字母加上下标来表示。
字母表示张量的名称，下标表示张量在各个维度上的编号。
二、张量乘法规则1. 向量与向量的乘法向量与向量的乘法有两种形式：点积和叉积。
（1）点积：两个向量a和b的点积为a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
（2）叉积：两个向量a和b的叉积为a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
2. 矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指将一个矩阵M与一个列向量v相乘得到一个列向量w。
w = Mv其中，w为结果列向量，M为矩阵，v为列向量。
3. 矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法是指将一个矩阵M1与另一个矩阵M2相乘得到一个矩阵M3。
M3 = M1M2其中，M3为结果矩阵，M1和M2为两个矩阵。
三、张量的乘法规则1. 张量的乘法张量的乘法是指将一个张量T1与另一个张量T2相乘得到一个张量T3。
Tijk = ∑l∑m Tijl Tlmk其中，Tijk为结果张量，Tijl和Tlmk为两个张量。
2. 张量的缩并张量的缩并是指将一个张量T在某些维度上进行求和得到一个新的张量。
Ti...j...k... = ∑l Tijlk...其中，Ti...j...k...为结果张量，Tijlk...为原始张量。
四、张量乘法规则的应用1. 牛顿第二定律牛顿第二定律可以用向量形式表示：F = ma，其中F、a均为向量。
可以使用向量点积来计算力和加速度之间的关系。
F·a = m|a|^22. 矢场理论在电场中存在电荷q时，其所受力可以表示为F = qE，其中F、E均为向量。
可以使用向量点积来计算电荷和电场之间的关系。
F·E = q|E|^23. 张量积分张量积分是指将一个张量在某个区域上进行积分得到一个标量。
张量与张量积的定义与计算
张量与张量积的定义与计算张量是现代数学与物理学中非常重要的概念。
它广泛应用于各个领域，包括线性代数、微积分、物理学、工程学等。
在本文中，我们将介绍张量的基本概念、定义以及张量积的计算方法。
一、张量的定义张量可以看作是向量和矩阵的推广。
在物理学和工程学中，张量用于描述空间中的物理量。
在数学上，张量可以定义为多维数组，在不同的坐标系下有不同的分量表示。
在线性代数中，张量的定义可以从张量空间的角度看待。
假设V是一个n维向量空间，那么V的p阶张量空间可以表示为V ⊗ V ⊗⋯⊗V（一共p个V）。
其中⊗表示张量积，它是一种多重线性映射的二元运算。
二、张量积的定义张量积是以外积的方式组合两个向量的操作。
设有两个向量a和b，它们的张量积可以表示为a⊗b。
具体来说，张量积的结果是一个矩阵，其中每个元素由两个向量的对应元素相乘而得。
如果a是一个m维列向量，b是一个n维行向量，那么a⊗b的结果是一个m×n的矩阵。
矩阵中的每个元素由a和b的对应元素相乘得到。
三、张量积的计算计算张量积需要按照一定的规则进行。
具体来说，如果矩阵a和矩阵b的大小分别是m×n和p×q，那么它们的张量积可以通过以下步骤计算：1. 创建一个大小为(m×p)×(n×q)的零矩阵。
2. 遍历矩阵a的每个元素aij。
3. 将矩阵b的每个元素乘以aij，并将结果放入零矩阵中对应的位置。
计算完所有的元素后，得到的零矩阵就是矩阵a和矩阵b的张量积。
四、应用场景张量和张量积在各个领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，张量用于描述力、能量、电磁场等物理量。
在工程学中，张量可用于描述应力、应变、磁场等。
此外，张量积还在机器学习和神经网络中扮演重要的角色。
在深度学习中，神经网络的参数可以表示为张量，通过计算张量积可以进行复杂的运算。
总结：本文介绍了张量与张量积的定义与计算方法。
张量是一种多维数组，在物理学和工程学中被广泛应用。
张量的计算
张量的计算张量的计算一、张量的概念张量（tensor），是一个包含多个数字（多维数组）的数学实体，它是一种多维数据的数据抽象。
它可以有任意多个维度，可以表示向量，矩阵，多维数组等形式，可以看作是多维空间中的一个点。
张量的主要组成元素有：1.张量的值：所有多个数字的集合。
2.张量的维度：指明了多个数字的结构形式。
3.张量的大小：表示多个数字的总数，也就是值的长度。
二、张量的基本操作张量计算有一系列基本操作，例如加，减，乘，除，这些操作可以用来对张量进行数学运算，它们可以用于计算机视觉，机器学习，深度学习等领域的复杂算法。
1.张量加法（tensor addition）张量加法是将两个张量中的每个元素进行相加，这里的元素可以是数字、向量、矩阵等。
形式上，可以表示为A + B，其中A、B为两个张量，加号代表的是每个元素之间的加法操作。
2.张量减法（tensor subtraction）张量减法是将两个张量中的每个元素进行相减，形式上，可以表示为A-B，其中A、B为两个张量，减号代表的是每个元素之间的减法操作。
3.张量乘法（tensor multiplication）张量乘法是将两个张量中的每个元素进行相乘，形式上，可以表示为A×B，其中A、B为两个张量，乘号代表的是每个元素之间的乘法操作。
4.张量除法（tensor division）张量除法是将两个张量中的每个元素进行相除，形式上，可以表示为A÷B，其中A、B为两个张量，除号代表的是每个元素之间的除法操作。
5.张量维度变换（tensor reshape）张量维度变换是指将张量的维度变为另一种维度，它可以改变张量的大小，使张量各个维度之间的联系更加明显，从而更好地实现张量运算。
三、张量计算的应用1.机器学习领域：张量计算可以为神经网络模型提供高效的数据处理能力，可以有效解决神经网络中的计算复杂度问题。
2.图像处理领域：张量计算可以用于图像特征提取，可以用于图像分割，分类，检测等，可以有效提升图像处理系统的性能。
2第02章张量分析(第01讲)
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
附录I：张量概念及其基本运算
Tx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫ ⎪ Ty = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎬ ⎪ Tz = τ xz l + τ yz m + σ z n ⎭
T j = σ ij li
◆重复出现的角标称为哑标，不重复出现的角标称 为自由标。 ◆自由标不包含求和的意思，但它可表示该表达式 的个数。
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 13
Mechanics of Elasto-Plasticity
2 2 2 a = ∑ aii = a11 + a 22 +a 2 ii j =1 3
(σ ii )
2
⎛ ⎞ = ⎜ ∑ σ ii ⎟ = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 2 ⎝ i =1 ⎠
石家庄铁道大学工程力学系 16
Mechanics of Elasto-Plasticity
σ = σ x l 2 + σ y m 2 + σ z n 2 + 2 (τ xy lm + τ yz mn + τ zx nl )
σ = σ ij li l j
( i , j = x, y , z ) ( i , j = x, y , z )
(aii ) 2 = (a11 + a 22 + a33 ) 2
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 18
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 17
Mechanics of Elasto-Plasticity
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算 前优先求和。例：
《张量基础知识》课件
提供数学工具
详细描述
弹性力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和 计算弹性材料的应力和变形，如弹性波传播、材料稳定 性等。
04
张量在机器学习中的应用
深度学习中的张量
深度学习中的张量用于表示多维 数据，如图像、语音和文本等。
张量可以高效地存储和计算大规 模数据，支持自动微分和反向传 播算法，使得深度学习模型能够
总结词
描述微观粒子的自旋和角动量
详细描述
量子力学中的张量也用于描述微观粒子的自旋和角动量等 性质，这些性质在量子力学中非常重要，是理解微观粒子 行为的关键。
总结词
提供数学工具
详细描述
量子力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和计 算微观粒子的状态和相互作用，如量子纠缠、量子门操作 等。
弹性力学中的张量
张量的分类
根据不同的分类标准，可以将张量分为多种类型。
根据张量的阶数，可以分为零阶张量（即标量）、一阶张量（即向量）、二阶张量（即矩阵）等。根据张量的变数个数，可 以分为纯量张量、二阶张量、三阶张量等。根据张量的对称性，可以分为对称张量、反对称张量、正交张量等。根据张量的 具体应用领域，可以分为物理张量、工程张量、医学张量等。
总结词
提供数学工具
详细描述
广义相对论中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述 和计算引力场中的物理现象，如光线传播、星体运动等 。
量子力学中的张量
总结词
描述微观粒子的状态和相互作用
详细描述
在量子力学中，张量被用来描述微观粒子的状态和相互作 用，如狄拉克符号中的矩阵和向量等。这些张量提供了描 述微观粒子波函数的数学工具。
快速训练和优化。
张量在深度学习中还用于实现各 种复杂的神经网络结构，如卷积 神经网络、循环神经网络和注意
弹性力学-张量
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母替代。
为简化体现式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中反复一次，就表达对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这么反复旳指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
1
例如： e123 e231 e312 1 3
k
循环方向 j
1 若(i, j,k) (1,2,3)或(2,3,1)或(3,1,2)时 正排列顺序
eijk －1 若(i, j,k) (2,1,3)或（1，3，2）或（3，2，1）时 逆排列顺序
0 若i, j,k中任意两指标相同时
1
1
3
2
eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素
ai，i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
ij, j
ij
x j
i1
x1
i2
x2
i3
x3
*若反复出现旳标号不求和，应尤其申明
1.2.3 自由指标
一种体现式中假如出现非反复旳标号或一种方程每项中出现非
反复旳旳指标，称为自由指标。对于自由指标能够从最小数取
到最大数。
例如
xi aijxj
aij x j xi (aij ij )x j
② 微分运算
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
aij aklBiblioteka 1 2(ik
jl
il jk )
张量的概念及基本运算
张量的概念及基本运算
张量是一种多维数组或矩阵的扩展，它在数学和物理学中被广泛使用。
它具有多个维度，可以表示向量、矩阵、高维数据等。
在数学中，张量可以用来描述线性映射和向量空间中的向量运算。
它有以下几个重要的基本运算：
1. 张量加法：对应位置上的元素相加。
例如，对于两个2×2的张量A和B，其加法运算可以表示为A + B = [a11+b11, a12+b12; a21+b21, a22+b22]。
2. 张量乘法：张量的乘法分为两种情况，即内积和外积。
- 内积：也称为点积或数量积，用于计算两个张量之间的标量结果。
对于两个向量A和B，内积可以表示为A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
- 外积：也称为叉积或向量积，用于计算两个向量之间的向量结果。
对于两个向量A和B，外积可以表示为A×B = [a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1]。
3. 张量的转置：将张量的行和列进行交换，得到的新张量。
例如，对于一个2×3的张量A，其转置可以表示为A^T = [a11, a21; a12, a22; a13, a23]。
4. 张量的缩并：也称为张量的收缩，是指对张量中的某些维度进行求和运算。
例如，对于一个3维的张量A，可以通过缩并某个维度，得到一个降维后的张量。
这些是张量的一些基本概念和运算，它们在数学、物理学、计算
机科学等领域都有广泛的应用。
张量
(i, j 1,2,3)
约定： 在该约定 下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
i, j, k , 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.
n阶张量可表示为
ai1i2i3 ...in (i1 1,2,3;i2 1,2,3; ;in 1,2,3)
② 可进行换标或运算
ij kj ik ij ij ii jj 3 lm mn np lp
ai ij a j aij ij aii
i1a1 i 2 a2 i 3a3 ij a j (i )(i ) ai ai
1111 1212 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
含偏导数项的下标记号表示法：
ai a1 a2 a3 ai， i xi x1 x2 x3
张量基本知识
第一章 张量代数
1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
1.1 基本概念
1. 标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选 择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量 无下标。
r 2. 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑 u 、力 F 等。矢量可用一个有向线段来确定。 体）、位移
（或黑体字母） r
（2）分解式记法：同时写出矢量的分量和相应 分解分量的基。
3 r r1e1 r2 e2 r3 e3 ri ei i 1
（3）分量记法： 将矢量用其全部分量的集合 来表示
r（ r1、r2、r3 )
张量定义及算法概要
和它们是关于指标 k 协变的二阶张量，分别称为矢量 a i 和 a j 的协变导数，分别记作 a i ;k 和或和张量的绝对微分与平行移动及其协变微分法] 由乘积的微分公式和张量的定义可以推出张量的平行移动规律. 例如，三阶张量的平行移动规律为
四阶张量的平行移动规律
为可以看出,张量平行移动规律中所包含的项数与张量的阶数是相同的, 对于张量的逆变指标, 类似于逆变矢量平行移动的规律; 对于张量的协变指标, 类似于协变矢量平行移动的规律.记
则称 DTijlk 为张量 Tijlk 的绝对微分. [张量的协变导数及其运算法则
称为张量 Tijlk 的协变导数，它是一个五阶张量的分量. 在普通导数中，对于已微分的张量的每个指标再加上一项就可以构成任意张量的协变导数，对于逆变指标，这项的形式是 i
对于协变指标是
协变导数的运算法则如下：若干个同样结构的张量之和的协变导数等于各个张量的协变导数之和，即
满足积的微分法则，即
自平行曲线] i 在仿射联络空间中，如果切于曲线上一点 M0 的每个矢量 a 0 沿这曲线平行移动时是切于这曲线的，则称这曲线为自平行曲线.
dx i 设曲线的方程为 x =x (t, 它的切矢量为，它沿曲线平行移动的条件为 dt i i
这就是联络的自平行曲线的微分方程.设 S i上面的微分方程可写成
jk dt dt dt 2 i 系数 S ijk 显然关于 j 和 k 是对称的，并构成一个仿射联络.称 S ijk 构成伴随于的对称仿射联络， i i 如果关于 j , k 也是对称的，则 S ijk 与一致.。
02 张量概念
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02 张量概念
1.2 指标记法
在张量的讨论中，都采用下标字母符号， ◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区 别该张量的所有分量。 别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号称为自由标号 自由标号。 ◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其 方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 方程内只罗列不求和。 阶次。 阶次。 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 ◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 如不特意说明，今后张量下标符号的变程， ◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三 维空间，即变程为3。 维空间，即变程为3
i =1 j =1
j =1 3 3
+a21b2c1 + a22b2c2 + a33b2c3
+a31b3c1 + a32b3c2 + a33b3c3
aijk xi x j xk = ∑∑∑aijk xi x j xk
i =1 j =1 k =1
3
3
3
展开式（ 项 展开式（9项）
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展开式（ 项 展开式（27项）
哈工大 土木工程学院
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02 张量概念
若我们以r 表示维度（如三维空间）， ），以 表示阶数， ◆ 若我们以 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数， 则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成： 则描述一切物理恒量的分量数目 可统一地表示成：
M =r
n
统一称这些物理量为张量（ 统一称这些物理量为张量（Tensor） 。 ） 0时 零阶张量， 1，标量； 当n = 0时，零阶张量，M = 1，标量； 矢量； 当n = 1时，一阶张量，M = 31，矢量； 时 一阶张量， 当n = 2时，二阶张量，M = 32，矩阵； 时 二阶张量， 矩阵； 阶张量， 当取 n 时，n 阶张量，M = 3n。
matlab张量运算
matlab张量运算Matlab张量运算张量是一种多维数组，它可以表示各种物理量，如位移、速度、加速度、电场、磁场等。
Matlab是一种强大的数学计算工具，可以实现张量运算。
本文将从基本概念、张量的表示方法、张量的运算等方面进行介绍。
一、基本概念张量是一种多维数组，可以表示各种物理量。
张量的阶数是指张量中包含的下标的个数，例如，一个二阶张量有两个下标，一个三阶张量有三个下标。
在Matlab中，张量可以表示为一个多维数组，可以使用Matlab中的矩阵运算函数进行计算。
二、张量的表示方法在Matlab中，可以使用三种方式表示张量：一维数组、矩阵、多维数组。
其中，一维数组表示一阶张量，矩阵表示二阶张量，多维数组表示高阶张量。
例如，一个二阶张量可以表示为一个2x2的矩阵，一个三阶张量可以表示为一个3x3x3的多维数组。
三、张量的运算张量的运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在Matlab中，可以使用矩阵运算函数进行张量的运算。
例如，可以使用矩阵加法函数“+”进行张量的加法运算，可以使用矩阵乘法函数“*”进行张量的乘法运算。
四、张量的类别根据张量的对称性，可以将张量分为对称张量和反对称张量。
对称张量的下标可以任意交换，而反对称张量的下标必须按照一定的顺序进行交换。
在Matlab中，可以使用张量函数进行对称张量和反对称张量的计算。
五、张量的应用张量在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，张量可以表示物理量的空间分布规律，如电场、磁场等；在工程学中，张量可以表示材料的机械性能、热力学性能等；在计算机科学中，张量可以用于图像处理、模式识别等领域。
综上所述，Matlab是一种强大的数学计算工具，可以实现张量运算。
张量在各个领域都有广泛的应用，是一种重要的数学工具。
通过学习张量的基本概念、表示方法、运算方法和应用领域，可以更好地理解和应用张量。
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4.张量的基本运算
A、张量的加减：
张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：
a11 a12 aij a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。 即：
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合。
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0阶张量，
矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量 好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示
物理量，可是标量加上向量都不能完整地表达所有 的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就 必须扩大，于是张量就出现了。
a i b jk cijk
若 ai a1 a2 a3 b j b1 b2 b3
则：
a1b1 ai b j a2b1 a3b1 a1b2 a2b2 a3b2 a1b3 a2b3 a3b3
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
(aij bij )ck aij ck bij ck ； 或 (aij bk )cm aij (bk cm )
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 Ai j ， 就表示对一阶张量 Ai 的每一个分量对坐标参数
张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。 ◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 ◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。 ◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。 ◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。 ◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。
2 ii i 1 2 ii 2 11 2 22
3
2 33
ii
2
2 ii ( 11 22 33 ) i 1
3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
★
关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii a a a
2 2 11 2 22
2
2 33
2
(aii ) (a11 a22 a33 )
★ 关于自由标号：
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表
示成： M
= 3n
◆ 现令 n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n=1时，一阶张量，M = 3，矢量； 、 、 、 当取n时，n阶张量，M = 3n。
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
ij 的作用与计算示例如下：
(1) ii 11 22 33 3 ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) 2 2 2 ij ij ( 11 ) ( 22 ) ( 33 ) 3 ij jk i 1 1k i 2 2 k i 3 3 k ik aij ij a11 11 a22 22 a33 33 aii ai ij a1 1 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 ) ij l j l i ij l j ij l j ( ij ij )l j
xj求导。
◆ 如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则
算子 i 作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号， 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：
'i , , xi x1 x2
x3
ui u1 u2 u3 ui 'i xi x1 x2 x3
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和， 这就叫做求和约定。 例如：
a i bi a i bi a1b1 a 2 b2 a 3 b3
i 1
3
aij b j aij b j ai 1b1 ai 2b2 ai 3b3
j 1
3
a a a a a
2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
3.求和约定
a b c
ij ij ij
其中各分量（元素）为：
aij bij cij
B、张量的乘积
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的
每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：
◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同，
即同阶且标号字母相同。
◆自由标号的数量确定了张量的阶次。
★
关于Kronecker delta（ ）符号：
ij
ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号
（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：
1 , 当i j时； ij 或： 0 , 当i j时；