材料力学简单的超静定问题

3 40 10 20 44 8.75 kN FB 2 3 2 6 4 8 4
MA
确定A 端约束力
yB1
F
MC FC
y
0, FA FB 4q 0
FA FB
FB
FA 4q FB 4 20 8.75 71.25 kN
11
§6-2
拉压超静定问题
1 3 2
例2. 结构如图， 1、2杆抗拉刚度为 E1 A1 ,3杆为E3 A3 , 在F力作用下， 求各杆内力。 解:为一次超静定。 (1) 画A结点受力图，建立平衡方程

A

F
N1
N3
N2
F
x
0 : N1 N2
y
①
F
0 : 2 N 1 cos N 3 F
D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。
28
§6-3
扭转超静定问题
解： ①杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：
mA 2m mB 0
②几何方程 （变形协调方程）
BA 0
29
§6-3
扭转超静定问题
③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程：
2mA 40 T 2 mA 20x BA dx 0 dx 0 GIP GIP GIP
2、超静定问题存在温度应力。
装配应力：
超静定结构中由于加工误差，装配产生的应力。
1、静定问题无装配应力。 2、超静定问题存在装配应力。
20
温度应力
N1 a a a
a
a
N2
（a）
（b）
21
a
装配应力：
B 1 3 D 2 A1 C B 1 2 C


A
A
例4：如图，3号杆的尺寸误差为，
求各杆的装配内力。
15
§6-2
拉压超静定问题
解超静定问题的步骤：
1）用约束反力代替多余约束，得到静定结构。 2）利用虎克定律建立力与变形之间的关系 （物理关系） 3）利用变形协调关系建立补充方程 （几何关系） 4）利用平衡方程，解出全部的未知反力 （平衡关系）。
19
II. 温度应力和装配应力
温度应力
1、静定问题无温度应力。
解除B端多余约束，代之以约束反力 R B
8
§6-2
拉压超静定问题
A
E1 A1
（2）建立变形协调方程。
AB BF BB 0
（3）物理方程。
F 1 BF AC () E1 A1 BB AB RB ( 1 2 )() E1 A1 E2 A2
变形协调方程
（几何方程）
相结合，进行求解
物理方程(体现为力与变形关系。)
5
§6-2
1. 比较变形法
拉压超静定问题
I. 拉压超静定问题的解法：
把超静定问题转化为静定问题解， 但必须满足原结构的变形约束条件。
6
§6-2 拉压超静定问题
§6-2
A
E1 A1
拉压超静定问题
例1. 杆上段为铜，下段为钢杆，
L 0
mA 20 N m
④ 由平衡方程和补充方程得： mB 20 N m 另:此题可由对称性直接求得结果。
30
§6-4 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
(b) (b)
C C
( wB ) FBy
8FBy a 3 3EI
MA
MA MA
A A
B B (c) (c)
FA y
A A A
C C
所以
F F F
3 14 Fa 3 8FBy a 0 3EI 3EI 7 FBy F 4
C C C
4）由整体平衡条件求其他约束反力
MA Fa ( ), 2
(d)
§6-4 简单超静定梁
MA MA FA y FA y A A A A 2a 2a (a) (a) B B F F FBy FBy B B B (d) (d) B B a a F F C C
4）由物理关系，列出补充方程
F ( 2a ) 2 14 Fa3 ( wB ) F (9a 2a) 6 EI 3EI
22
装配应力：
B 1 3 D 解：、平衡方程: C

A1
2
X N sin N
1
2
sin 0

A
N3 N1
Y N cos N
1
2
cos N3 0
L3 A 1
、几何方程
N2
A1

L1
A
ΔL1 ΔL2 ( L3 ) cos1

L2
2EAcos3 N3 L3 1 2 cos3 EA / EA
24

§6-3
扭转超静定问题
例5：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受
外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。
25
解：
静力平衡方程为：m A mB m
变形协调条件为： AB AC CB 0
超静定次数： 未知力个数与独立平衡方程数之差，也等于多 余约束数。由于超静定结构能有效降低结构的内力 及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
4
二、求解超静定问题的基本方法
1.静定与超静定的辩证关系 多余约束的两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束 前者使问题变为不可解；后者使问题变为可解。 2.超静定的处理方法 平衡方程
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
31 目录
§6-4 简单超静定梁
MA MA FA y FA y A A A A 2a 2a (a) (a) B B F F FBy FBy B B B (d) (d) B B a a F F C C
例7 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。
解
C C
1）判定超静定次数
2）解除多余约束，建立相当系统
(b) (b)
A A (c) (c) MA MA A A A
B B
C C
F F F
C C C
3）进行变形比较，列出变形协调 条件
A
B FBy
C
wB (wB ) F (wB ) FBy 0
32 目录
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1
1
C
E 2 A2
下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
F
B
2
7
§6-2 拉压超静定问题
§6-2
A
E1 A1
拉压超静定问题
A
来自百度文库1
E1 A1
1
C
E 2 A2
F
B
C
2
F
B
E 2 A2
2
RB
解： （1）选取基本静定系（或相当系统如图），
MA
F
y
0, FB FC F 0
yB1
FA FB FB MC FC
M
C
0,
M C 2F 4FB 0
M C 4FB 2F 4 8.75 2 40 115 kN.m
yB2
36
§6-4 简单超静定梁
MA MC FC
A、B 端约束力已求出
26
解：
mA a mB b 0 AB AC CB 0 GI p GI p b m 联立解出： m A ab a mB m ab
27
§6-3
扭转超静定问题
例6:长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作
用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径
L2
23
装配应力：
N3 N1 、物理方程及补充方程：
N2
A1
N 3 L3 N1 L1 N 2 L2 ( ) cos EA EA EA
、解平衡方程和补充方程，得:
L3 A 1

L1
A
EAcos2 N1 N 2 L3 1 2 cos3 EA / EA
第 六 章
简单的超静定问题
1
第六章 简单的超静定问题
第六章 简单的超静定问题
§6-1 §6-2 超静定问题及其解法 拉压超静定问题
§6-3
§6-4
扭转超静定问题
简单超静定梁
目录
2
§6-1
超静定问题及其解法
一. 静定与超静定的概念
静定问题：若未知力（外力或内力）的个数 等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡 方程即可解出全部未知力，这类问题称为静 定问题.相应的结构称静定结构。
M
A
0,
M A 4q 2 4FB 0
yB2
M A 4q 2 4FB 4 20 2 4 8.75 125 kN m
35
§6-4 简单超静定梁
确定C 端约束力
FC F FB 40 8.75 48.75 kN
1.94
37
小 结
1、明确超静定、超静定次数、多余约束、 多余未知力、基本静定系等基本概念。 2、能判断超静定次数。 3、理解超静定问题的基本解法为考虑静 力平衡、变形相容和物理关系三个方面。 4、对于二次或二次以下的超静定问题， 能合理地选取基本静定系，正确地列出 变形几何方程。 5、初步学习利用对称性降低超静定次数、 选取基本静定系的技巧。
RB
E1 A1 2 F E2 A2 1 F RA , RB E2 A2 1 E1 A1 2 E1 A1 2 E2 A2 1 )
10
§6-2
2. 几何分析法
拉压超静定问题
解超静定问题的关键是找出求解所有未知约 束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间 必须象原来一样完整、连续、满足约束条件---即满足变形相容条件。
超静定问题：若未知力（外力或内力）的个 数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平 衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称 为超静定问题或静不定问题.相应的结构称超 静定结构或静不定结构。
§6-1 超静定问题及其解法
3
§6-1
多余约束：
超静定问题及其解法
在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维 持平衡来说是不必要的约束（但对于特定的工程要 求是必要的）称为多余约束。对应的约束反力称为 多余未知力。
1
C
E 2 A2
F
B
2
RB
Fl1 l1 l2 RB ( ) E1 A1 E1 A1 E2 A2
——补充方程
9
§6-2
RA
E1 A1
拉压超静定问题
Fl1 l1 l2 RB ( ) E1 A1 E1 A1 E2 A2
A
（4）联立求解。
1
C
E 2 A2
F
B
2
RA RB F 0
MA
物理关系
yB1
FB
FB
FA
q 44 FB 43 yB1 8EI 3EI
MC FC
FB FB
yB2
yB 2
F 2 3 4 2 6 EI 3 EI
2
' FB 43
34
§6-4 简单超静定梁
代入得补充方程：
q 44 FB 43 F 22 FB 43 3 4 2 8EI 3EI 6 EI 3EI
(3)代入物理关系，建立补充方程
②
2
A
3
N3 L N1 L cos E1 A1 cos E3 A3
④
14
§6-2
(4)联立①、④求解：
拉压超静定问题
N1 N 2
F 2 cos E3 A3 2 E1 A cos 1
N3
F E1 A 1 1 2 cos 3 E3 A3
②
2
A
3
N 3 3 E3 A3
③
13
§6-2
拉压超静定问题
1 3 2
(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结， 画A节点位移图,列出变形相容条件。要 注意所设的变形性质必须和受力分析所 中设定的力的性质一致。由对称性知

A

1
1 Δl2 3 cos
FA 71.25 kN( ) M A 125 kN m( )
FA
71.25
FS ( )
FC 48.75 kN( )
M C 115 kN m( )
kN
8.75
()
48.75 115 17.5
()
最后作梁的剪力图和弯矩图
(kN m ) ( ) M
125

A F
12
§6-2
拉压超静定问题
1 3 2
(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结， 画A节点位移图,列出变形相容条件。要 注意所设的变形性质必须和受力分析所 中设定的力的性质一致。由对称性知

A

1
1 Δl2 3 cos
(3)代入物理关系，建立补充方程
1 N1 1 N1 E1 A1 E1 A1 cos
目录
A
B FBy
C
(d)
3 FAy F ( ) 4
33
§6-4 简单超静定梁
例 8 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度 均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。 解 从B 处拆开，使超静定结构变 成两个悬臂梁。 变形协调方程为： yB1 yB 2