第6讲 不完美信息博弈与不完全信息博弈

第6讲不完美信息博弈与不完全信息博弈
在这一节，我们简单了解“不完美信息博弈(imperfect information games)”和“不完全信息博弈(incomplete information games)”，两者又都叫做“非对称信息博弈(asymmetric information games)”。

博弈中的非对称信息，是指某些参与人拥有但另外一些参与人不拥有的信息。

1. 不完美信息博弈
——不完美信息
每个参与人的每个信息集都是单结点信息集的博弈，就是“完美信息博弈(perfect information games)”。

与此相对，我们有“不完美信息博弈(imperfect information games)”的概念：至少部分参与人的部分信息集是多节点信息集的博弈。

换言之，在一个博弈中，如果当轮到一名参与人做出选择时，他不知道自己正处于其信息集之中的哪一个节点上，则称其信息是不完美的。

显然，在现实世界的各种博弈中，不完美信息是常见的。

——所谓“信念”
在分析不完美信息博弈及其均衡时，“信念(belief)”是一个基本的概念。

在轮到一名参与人做出选择时，即使他不知道自己正处于其信息集之中的哪一个节点上，他也必定对此拥有某种“信念”：即自己正以何种概率分布位于该信息集之中的各个节点之上。

提出“信念”这一概念，既是为了分析不完美信息博弈的方便，也是合乎逻辑的：即使没有完美的相关信息(实际情况往往如此)，当事人也要做出决策——这种情况下当事人的决策是任意的吗？
当然不是，他必定会对所有与其决策相关的信息做出“猜测”，其猜测的结果，就是其“信念”。

所以，我们也可以将“信念”解释为某人为将自己的行为“合理化”而找到的“理由”。

*********************************************************************************** ——信念：使行为“合理”
在博弈论所设定的纯粹(理性) 框架下，参与人任何信念的形成必须有着合理的基础。

在理论上，知识(信息) 决定着信念，信念决定着选择。

但是，在现实中情况似乎常常正好相反。

人们在决定将要采取任何一种行动时，总是会为自己寻找一个“理由”——无论通过什么办法或者基于什么理由，他往往会“成功地”在作出决定时形成一种信念，使得自己打算采取的行动是“合理的”。

换句话说，人们往往能够想到办法合理化(justify) 自己的行为——“欲盗铃，故掩耳”——显然无效的掩饰，也可以成为人们的“信念”，原因是人们的无知？不是——原因是人们欲进行某事。

这里有什么违背理性的吗？如果认为错误“信念”的形成，是由于人们缺乏信息与知识，那么即使是“错误”，实际上也已经是所能实现的最准确判断；如果认为错误“信念”的形成是基于某种故意，这也许只是证明在这种故意的背后，潜藏着另外一个偏好序…
聪明的你，请选择：是对自己显示真实的偏好，还是使自己形成错误的“信念”？——“聪明”之害
人们常说：“一个人做一件事，一定有他的‘理由’”——这是当然的，任何人在要做任何事之前，其内心的想法绝不会是“我要去做一件多么‘愚蠢’或者‘丑陋’的事”，相反，他必定有其“理由”：“这件事或许会被一些人认为‘愚蠢’或者‘丑陋’，但是，…”。

问题是，这个“理由”从何而来，无论是放诸众人之面前，亦或是放诸当事者之内心，这是不是能够一个真实的理由？
这就是“聪明”之害：人们做不应该做的事(这里，我们暂时不去讨论什么是‘不应该做的事’)，如果是由于他们不知道应该做什么，那么只需将事实(真相和知识) 告知——实际上，这一点从来就不是困难的；然而，如果人们做不应该做的事，是因为他们的“聪明”，使其能够“成功地意识不到”自己实际上意识到了的东西，告知又意味着什么呢？——困难的，不是让一个人知道什么，而是让一个已经知道了什么的人承认自己已经知道了什么。

注意：“聪明”不同于理性，“聪明”之害，也并非理性之害。

*********************************************************************************** 2. 不完全信息博弈
——不完全信息
博弈论中所谓的“不完全信息(incomplete information games)”，是指参与人不能确定其他参与人的支付函数(偏好) 和战略空间(在各个阶段可以采取的行动)。

不能确定其他参与人的战略空间，可以等价于不能确定其他参与人的支付函数。

不能确定其他参与人的支付函数，也称作不能确定其他参与人的“类型(type)”。

——不完全信息与不完美信息
Harsanyi (1968) 证明：给定若干条件，可以将不完全信息转换为不完美信息。

例如，考虑飞行员-劫机者博弈：假设劫机者有两种可能的类型(或者说，劫机者实际上的类型是给定的，但是飞行员不能确定劫机者的类型) ——“怕死的”和“不怕死的”：
-——那么不妨引入一个在原假设劫机者属于前者的概率是p，劫机者属于后者的概率是1p
博弈所有参与人行动之前行动的“新的参与人”，一般称之为“自然(nature) (也就是说实话博弈
-将中的‘game master’)”，它(自然) 以概率p将劫机者“选择成‘怕死的’类型”，以概率1p
劫机者“选择成‘不怕死的’类型”：
如何理解在博弈中增加的这一个参与人“自然”？
(i) 对于博弈中不了解其它参与人类型信息的一方而言，只能将其它参与人类型当作服从某种由自然决定的分布；
(ii) “自然”作为博弈的一个参与人，严格说来也应该为其规定支付，我们假设“自然”不关心博弈的任何结果，因此只需将“自然”在任何一个结果下获得支付规定为一个任意的常数；
(iii) “自然”的策略，(),1p p -
，是先验给定的。

不完美信息的实质，是博弈的参与人不知道其对手做了什么；不完全信息的实质，是博弈的参与人不知道其对手是谁。

如果将“自然”也当作是博弈的对手之一，那么两者就没有区别。

基于Harsanyi 的证明，在考虑不完全信息博弈时，我们一般先引入“自然”，将其转换为一个不完美信息博弈，再进行分析。

3. 不完美信息博弈与“声誉” —— 所谓“声誉”：再看合作解
在此前完美且完全信息的框架下，我们证明：如果阶段博弈的占优策略均衡是“不合作，不合作”，那么这一阶段博弈重复任意有限次的重复博弈，都只可能得到在各期都不合作的SPNE 解。

但是，现实中的任何博弈恐怕都只会重复有限次——那么，合作真的无法出现？亦或如果出现了合作解，应当如何解释？实际上，Axelrod (1981) 实验确实表明：即使在有限次博弈中，合作行为也频繁出现。

问题出在哪里？
一个直觉来自于现实之中的谈判。

如果信息是完全的，谈判一开始就达成协议，但现实中的谈判不是这样，为什么？——原因很可能在于信息不对称：如果参与人对其他参与人的效用函数和战略空间的信息不完全，即使博弈重复的次数是有限的，人们也有积极性建立一个合作的“声誉”，合作有可能会出现。

博弈论之中的所谓“声誉(reputation)”，是指先行动的参与人通过其前期的选择，向后期行动的参与人传递关于自身类型的信息。

——声誉：一个例子
假定有两个参与人，A和B，进行如下的囚徒困境博弈：
假设参与人B一定是理性的，参与人A有两种可能的类型：(i) “非理性”型——在第一期采取“合作”，之后各期(if any)采取“以牙还牙(tit-for-tat, TFT)”策略——概率为p；(ii)“理。

性”型——根据自身的最大化，可以选择任何战略——概率为1p
如何理解参与人A的“非理性”？这里的“非理性”型只是一种提法，代表参与人A可能是有着不同支付函数(偏好) 的人(例如：讲情义重义气的) ——“非理性”型的参与人A实际上仍然是理性的。

如果上述博弈只进行一次，那么结论是显然的：(i) 如果是理性的A遇到(理性的) B，那么双方都采取“不合作”是一个占优策略均衡；(ii) 如果是“非理性”的A遇到(理性的) B，A将采取“合作”，B将采取“不合作”。

现在假设这一囚徒困境博弈作为一个阶段博弈，考虑其重复进行两次的情况。

我们仍然采取逆向归纳的方法。

在博弈的第二阶段，B一定采取“不合作”，理性的A也一定采取“不合作”，“非理性”的A将选择B在第一阶段采取的行动，不妨设之为“X”。

预期到了在博弈第二阶段将会发生的情况，在博弈的第一阶段，理性的A一定采取“不合作”，“非理性”的A一定采取“合作”；唯一的问题是：B应该做何选择？
在选择第一阶段的行动时，B需要对A的类型进行判断：如果A是“非理性”型，那么B在第一阶段选择“合作”将可以换来A在第二阶段选择“合作”；但是，B若真在第一阶段采取“合作”，就必须面对A是理性型的风险。

由此可见，对于第一阶段的B而言，选择“合作”不差于选择“不合作”，当且仅当：
()()()()()()
++--+≥++-+
3411040100
p p p p
⇔
p≥
0.25
即，如果B认为A属于“非理性”型的概率不小于0.25，B在第一阶段就会选择“合作”，即使博弈只重复两次。

由此可见，这一博弈的均衡取决于B认为A属于“非理性”型的概率：
p≥，如下表所示的策略组合是一个SPNE：
(i) 如果0.25
p<，如下表所示的策略组合是一个SPNE：
(ii) 如果0.25
我们可以怎样理解上述结果？这里，B所认为的“A是理性型的‘非理性型’的概率”，实际上可以被视作A的“声誉”——正是A在多大程度上可能是某种类型的参与人(这一声誉)，决定了B的最优选择是什么。

注意在这一囚徒困境博弈只进行两次的情况下，B在第一阶段对于A的类型的判断只能是依靠“猜测”——A无法影响B对于其类型的判断，也就是，A没有建立声誉的时间。

——建立声誉：(来自Kreps, Milgrom, Roberts & Wilson (KMRW, 1982))
现在考虑这一阶段博弈重复进行三次的情况。

我们将会发现：这时，处在第一阶段的理性型的A，将有可能通过其选择建立其“可能属于‘非理性’型”的声誉，从而影响B在第二阶段的选择。

在博弈的第三阶段：B一定采取“不合作”，理性的A也一定采取“不合作”，“非理性”的A将选择B在第二阶段采取的行动，不妨将其设为“X”。

在博弈的第二阶段：(如前所述) B选择“X”，理性的A一定选择“不合作”，“非理性”的A将选择B在第一阶段采取的行动，不妨将其设为“Y”。

在博弈的第一阶段：(如前所述) B将选择“Y”，“非理性”的A将选择“合作”，问题是：理性的A应该做何选择？
如果理性的A在第一阶段直接选择“不合作”，那么之后的博弈就再无“秘密”可言(因为只有理性型的A，才会在第一阶段选择“不合作”)——在之后的所有阶段，双方必定都选择“不合
作”；如果理性的A在第一阶段选择“合作”，这一选择与“非理性型”的A在第一阶段做出的选择完全相同，因此B将(只能) 继续认为A“以概率p可能是‘非理性’型的”(注意：B不会因为A在第一阶段选择“合作”，而认为A一定是“非理性”型的)，那么之后两个阶段的博弈就与上面得到的两阶段博弈完全相同。

p≥，那么理性的A只要在第一阶段选择“合作”，就将获得B在第二阶段的
(i)如果0.25
选择“合作”：
如果理性的A只要在第一阶段选择“不合作”，那么在之后各期双方都选择“不合作”：
如果只看在博弈的最后两个阶段获得支付，与在第一阶段选择“不合作”相比，理性的A在第一阶段选择“合作”能够使其多获得4单位的支付(来自博弈的第二阶段)；但是，在博弈的第一阶段，理性的A选择“合作”将为其带来当期的损失。

一般地，这一损失的大小取决于B在第一阶段的选择。

但是，在本例中，无论B在第一阶段的选择“合作”还是“不合作”，理性的A在第一阶段选择“合作”为其带来的当期损失都是
p≥
1单位支付。

因此，这时理性的A在第一阶段的最优选择是“合作”，即保持“以概率0.25可能是‘非理性’型的”的声誉。

给定理性的A在第一阶段选择“合作”，从而B在第二阶段选择“合作”，不同类型的A在博弈各个阶段的选择如下：
如果B 在博弈第一阶段选择“合作”，其获得的期望支付是：
()()()()334131082p p p +++-+-+=+
如果B 在博弈第一阶段选择“不合作”，其获得的期望支付是：
()()()()()414141043p p p +-++-+-+=+
由于0.25p ≥，
B 在第一阶段将会选择“合作”。

可见，只要0.25p ≥，如下表所示的策略组合是博弈唯一的SPNE ：
(ii) 如果0.25p <，那么理性的A 无论在第一阶段选择“合作”还是“不合作”，B 在第二阶段都会选择“不合作”：
而给定B 在第二阶段选择“不合作”，理性的A 在第一阶段没有理由选择“合作”。

因此，如果B 在第一阶段选择“合作”，其获得的期望支付是：
()()()340110081p p p +++--++=-
如果B 在第一阶段选择“不合作”，其获得的期望支付是：
()()()40010004p p p +++-++=
由于0.25p <，B 在第一阶段将会选择“不合作”。

可见如果0.25p <，如下表所示的策略组合是博弈唯一的SPNE ：
—— 一般情况 (只作了解)
可以证明，如果博弈重复T 次：
(i) 只要0.25p ≥，对于所有的3T ≥，下列策略组合构成博弈唯一的SPNE ：理性型的A 在1,2,
,2t T =-阶段选择‘合作’，在1T -和T 阶段选择‘不合作’；B 在1,2,,1t T =-阶
段选择‘合作’，在最后一阶段选择‘不合作’”。

也就是：“背叛”只在最后两阶段出现。

(ii) 如果0.25p <，对于所有的3T ≥，下列策略组合构成博弈唯一的SPNE ：理性型的A 和B 从博弈的第一阶段开始，就都选择“不合作”。

以上考虑的是“只有一个参与人可能是‘非理性’型”的情况，Kreps, Milgrom, Roberts & Wilson (1982) 也考虑了“两个参与人都有可能是‘非理性’型”的情况，并证明：如果两个参与人都有可能是‘非理性’型”的，那么即使每名参与人是“非理性”型的概率很小，也可以导致合作行为，只要博弈重复的次数足够多 (但不需要是无限次)。

直观解释是：如果博弈重复的次数足够多，未来的合作潜力足够大，那么就没有任何一方愿意一开始就把自己的名声搞坏。

限于篇幅和课程要求，此处不做详细介绍。

我们完全也可以回避“声誉”一词而不谈，来理解不完全信息博弈中所谓“声誉”的实质和作用：
在一个不完全信息博弈的框架下，不同类型的参与人往往有着不同的最优选择。

正是根据这一点，缺少私人信息的一方又是能够根据拥有私人信息一方参与人的行动，来判断其类型。

对方会依据其行为对其类型作出判断，则是拥有私人信息一方在选择其行动时必须要考虑的因素。

*********************************************************************************** 行为表现，在什么情况下能够代表真实的类型，在什么情况下可能仅仅是“策略性的”？日须多久，方可见人心？
——关于声誉的确立、混淆和分辨，从来不缺乏话题：
赠君一法决狐疑，不用钻龟与祝蓍。

试玉要烧三日满，辨材须待七年期。

周公恐惧流言日，王莽谦恭未篡时。

向使当初身便死，一生真伪复谁知？
——白居易《放言五首》之三***********************************************************************************
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