易拉罐尺寸的最优设计方案
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min s(r, h)
精选ppt
g (r, h) r 2h v 0
s.t.r 0
h 0
4
二、模型建立
问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型
模型一：
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图1可知：
Vr2h
容积为 ： Vr2h
表面积为 ：M S 2 r r h 2 r 2 2 r 2 rh
精选ppt
3
一、摘要
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易
拉罐用料模型
s(r)2r
v
d (r2
2r),
由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉 罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：
精选ppt
高铁1602
314宿舍
1
销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？？？
精选ppt
2
问题：
• 1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设 计？
• 2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧面厚 度的3倍），如何设计最优？
Y r 2 h r c 2 h a d 应使Y取最小值，
模型二：
m M Y i n r 2 h r c 2 h a d
s.t. Vrc2had
a,c,d0 精选ppt
图2 有不同罐壁厚 度的圆柱形易拉罐
6
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同
Vrc2had
s.t.
1, 2 精0选ppt
（此模型即为求解问 题二的完善模型） 7
三、模型求解
1. 问题一的求解 表1
数项 值目
种类
10种355ml易拉罐饮料的相关测量数据
精选ppt
8
表2 GB／T 9106—2001中规定的罐体主要尺寸(单位：毫米)[5
精选ppt
9
Leabharlann Baidu
然后分别对
（2）易拉罐有不同罐壁， 厚度的情形，根据模型二，
模型一：
min S 2 r 2 rh
V r 2h
s.t. r, h 0 精选ppt
图1 各点罐壁厚度相 同的圆柱形易拉罐
5
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形
模型二：
易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，
根据材料的用量与其体积成正比。
容积一定时，所用材料的体积最小时的尺 寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：
2 2 rV r2 2 r 2 2 r3V r2 0r 3
V
2
hV r2
3
4 2V3 2V2
3
8 2V 2r
r 图7 体积一定时 S 随 变化的曲线
即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱精选形p）pt 时，所需材料最少。
11
根据问题一中测得的实际数据可以得到 表3 检验数据表
h: 2r
用拉格朗日乘数法求解新的函数： ，
Vrc2had
m M Y i n r 2 h r c 2 h a d s.t.
a,c,d0
F r 2 h r c 2 h a d r c 2 h a d V
Fr 2rh2rchad2rchad0
F h
由表3可知：所有 h: 2r
均在此范围内，在1与3之间必有一 个最优值符合实际条件，从结果可大 致得出此最优值应该在1.5附近。
因此，实际值是合理的，而 h r
的比例关系式也符合实际情况。
精选ppt
12
精选ppt
13
2r2
2rc2
2rc2
0
即 圆柱体的高与半径 之比为6时为最优尺寸
F
rc2hadV0
解得：
h ad
r
c
精选ppt
2 h 6 r
10
，
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 根据模型一知： Matla6.b5
min S 2 r 2 rh
V r 2h
s.t. r, h 0
S 取最小值时，必定有
工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝 长度也尽量取到最小。
根据模型分析，可得焊缝长度： Z2r
将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以
将二者直接相加。
模型三： m M 1 Y 2 Z i 1 n r 2 h r c 2 h a d 2 2 r
精选ppt
g (r, h) r 2h v 0
s.t.r 0
h 0
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二、模型建立
问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型
模型一：
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图1可知：
Vr2h
容积为 ： Vr2h
表面积为 ：M S 2 r r h 2 r 2 2 r 2 rh
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一、摘要
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易
拉罐用料模型
s(r)2r
v
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2r),
由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉 罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：
精选ppt
高铁1602
314宿舍
1
销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？？？
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问题：
• 1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设 计？
• 2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧面厚 度的3倍），如何设计最优？
Y r 2 h r c 2 h a d 应使Y取最小值，
模型二：
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图2 有不同罐壁厚 度的圆柱形易拉罐
6
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同
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1, 2 精0选ppt
（此模型即为求解问 题二的完善模型） 7
三、模型求解
1. 问题一的求解 表1
数项 值目
种类
10种355ml易拉罐饮料的相关测量数据
精选ppt
8
表2 GB／T 9106—2001中规定的罐体主要尺寸(单位：毫米)[5
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Leabharlann Baidu
然后分别对
（2）易拉罐有不同罐壁， 厚度的情形，根据模型二，
模型一：
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图1 各点罐壁厚度相 同的圆柱形易拉罐
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（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形
模型二：
易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，
根据材料的用量与其体积成正比。
容积一定时，所用材料的体积最小时的尺 寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：
2 2 rV r2 2 r 2 2 r3V r2 0r 3
V
2
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3
4 2V3 2V2
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8 2V 2r
r 图7 体积一定时 S 随 变化的曲线
即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱精选形p）pt 时，所需材料最少。
11
根据问题一中测得的实际数据可以得到 表3 检验数据表
h: 2r
用拉格朗日乘数法求解新的函数： ，
Vrc2had
m M Y i n r 2 h r c 2 h a d s.t.
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F r 2 h r c 2 h a d r c 2 h a d V
Fr 2rh2rchad2rchad0
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由表3可知：所有 h: 2r
均在此范围内，在1与3之间必有一 个最优值符合实际条件，从结果可大 致得出此最优值应该在1.5附近。
因此，实际值是合理的，而 h r
的比例关系式也符合实际情况。
精选ppt
12
精选ppt
13
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0
即 圆柱体的高与半径 之比为6时为最优尺寸
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解得：
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，
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 根据模型一知： Matla6.b5
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V r 2h
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S 取最小值时，必定有
工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝 长度也尽量取到最小。
根据模型分析，可得焊缝长度： Z2r
将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以
将二者直接相加。
模型三： m M 1 Y 2 Z i 1 n r 2 h r c 2 h a d 2 2 r