复变函数(第四版余家荣)5

2. 设a e, 证明ez azn在 | z | 1内有n个根. 解令
则当| z | 1时，
由于f (z) azn 在 | z | 1内有n个零点，所以ez azn 在 | z | 1内有n个零点.
3. 利用儒歇定理证明代数基本定理.
证明 如果
,则
所以只要R充分大，不妨设R max{| a1 | | a2 | | an |,1},当| z | R时，有 即 由儒歇定理知p(z)在 | z | R内有n个零点.
解令 则
因此
§2 留数计算的应用
1. 计算积分 令z eit ,则| z | 1, 且
例1 计算积分 解
和 1阶极点.
均为函数
2. 计算积分 例 计算积分
解
r
A
B
r
r
令r , 得 所以
3. 计算积分
引理（Jordan）设 f (z)在区域 D {z rei : 0 1 2 , r0 r } 内连续，r表示弧z rei (1 2 ). 如果
例 计算积分 解
因为
R
r
R
r r
R
所以令 r 0, R , 得
由此得
例 计算积分
其中0 1.
解 沿正实轴割破平面. 令(z )0 表示z 在正实轴上沿取实数的单值解 析分支，即
如果z x在正实数上沿，则 (x )0 x (实幂函数）.
如果z x在正实数上沿，则
r
r
令 0, r , 得
对任意z* c, 存在z *的邻域，使得 Lnf (z)在此邻域内能分出单值解析分支.
且每一个单值解析分支均为 f (z) 在 f (z)
此邻域内的一个原函数. 由有限覆盖定理，存在有限个圆盘 V1,V2 ,,Vn , 使得
V2
V3 • z3
• z4
V4 •
z•2
V1 z*
•
•
z1
Vn
C
z•n
Vn 1
证明 设 f 及 f g在 D内的零点个数分别为N f 及N f g. 则
z
C
D
由于对任意z c, 有| g(z) || f (z) |, 所以 所以
w g(z)
w
f (z)
1
例 1. 计算方程z8 5z5 2z 1 0在 | z | 1内根的个数. 解令
则当| z | 1时，
由儒歇定理知 f (z) g(z) 与 f (z) 在 | z | 1内有相同的零点数. 由于 f (z) 5z5 1在 | z | 1内有5个零点，所以方程 z8 5z5 2z 1 0在 | z | 1内有5个 根.
第五章 留数
1. 留数定理
§1 留数理论
设 z0为 f (z) 的孤立奇点，且
则
定义 设 z0为 f (z) 的孤立奇点，且
R
c •z0
则称 a1为 f (z)在孤立奇点z0 处的留数，记作
c0
• z3
c1
31 • z1源自•2z2
c2
留数定理 设 D是有界区域，其边界c由有限条简单闭曲线c0 , c1,, cn 组成，f (z)在D内除去有孤立奇点z1, z2 ,, zn外处处解析，并且在c上解析， 则
r
,
则
2 1
r0
r
证明 设
因为 所以 令r , 得
则
r
2 1
r0
r
例 计算积分 解
令r , 得
r
A
B
r
r
因此
引理 设 f (z)在区域 D {z a rei :1 2 ,0 r r0}内解析， r表示弧z a rei (1 2 ), 如果
则 证明
r
2
•a
1
当
时，
另一方面，如果 | z | R,则
0 所以，p(z)在 | z | R内没有零点.
所以
5. 亚纯函数的零点与极点的个数儒歇定理
定义 若函数 f (z) 在区域 D内除有极点外处处解析,则称 f (z) 为D内的 亚纯函数.
设D是有界区域，边界曲线为c. f (z)是D内的亚纯函数. f (z)在边界曲线c 上解析且没有零点，那么
(1) f (z)在D内能否有无限多个零点？ （2） f (z)在D内能否有无限多个极点？
2. 留数的计算
(1) 如果 z0 是 f (z) 的可去奇点，则
(2) 如果 z0 是 f (z) 的m阶极点，则
定理 如果 z0 是 f (z) 的m阶极点，则
推论 如果 z0 是 f (z) 的1阶极点，则
推论
设
f
(
z)
(z) (z)
,
(
z)和
(
z)在z0的邻域内解析，
(
z0
)
0,
(
z0
z n 1•
Vn2
•
•
•
•
选取 设g1(z) ln f (z)是Lnf (z)在V1内的一个单值解析分支. 选取Lnf (z)在Vk中的 单值解析分支如下：
对任意
有
问：是否对每一个z Vn V1时，有gn (z) g1(z) ?
答：不一定.
其中zn1 z1. 由于
V2
V3 • z3
• z4
V4 •
解设
则
所以
5.计算 解
所以
定义 设 f (z)在 R | z | 内解析,则称积分
c
R
为 f (z)在 z 处的留数，记作 如果
则
定理 如果 f (z)在扩充复平面上除去有限个孤立奇点z1, z2 ,, zn , 外 处处解析，则
证明 即
c1
C
• z1
z2 • c2
z•3
• zn
c3 cn
例 计算积分
V1 z*
•
Vn
•C
z•2
z1
z•n
Vn 1
z n 1•
Vn2
•
•
•
•
所以 从而得
幅角原理
儒歇定理 设 D是有界区域，边界曲线为c由有限条简单闭曲线构成, f (z)和g(z)在D 上解析. 如果在边界曲线c上，| g(z) || f (z) |, 则f (z) g(z) 和f (z)在D内的零点个数相同.
设 f (z) 在 z0 解析，且 z0为 f (z)的 m 级零点，则 其中g(z)在 z a 解析，且 g(a) 0. 因此
z a是 f (z) 的一阶极点，且 f (z)
若 f (z) 在 z0有m 阶极点, 则
所以
z a是 f (z) 的一阶极点，且 f (z)
定理5.1 设 D是有界区域，边界曲线为c由有限条简单闭曲线构成. f (z)是 D内的亚纯函数. f (z)在c上解析且没有零点，那么 其中N和P分别表示f (z)在D内的零点及极点的总数，重零点或重极点按 重数计算.
答： （1） 零点不能有无限个. 否则，零点集合在D 上有极限点z0. z0必为奇点，(为什么？) 且为本性奇点，(为什么？) 矛盾.
(2) 极点不能有无限个. 否则，极点集合在D 上有极限点z0. z0为非孤 立奇点，矛盾.
引理5.1 设D是有界区域，边界曲线为c. f (z)是D内的亚纯函数. f (z)在 边界曲线c上解析且没有零点，则f (z)在D内至多只有有限个零点和极点.
)
0,
(z0 ) 0,则
证明
例 计算函数 f (z)在指定孤立奇点处的留数：
解 z i是一阶极点.
sec z 2. f (z) z3 , z 0 解 z 0是三阶极点.
方法一
方法二
3.
设
f
(z)
z4 (2 3z2)4
,
z
2i 3
解 令a 2i,t z a,则 3
所以
4.计算
证明 由引理5.1知，f (z)在D内至多有有限个零点和极点. 设这些零点 和极点分别为a1, a2 ,, an和b1,b2 ,, bm. 则
推论 设 D是有界区域，边界曲线为c由有限条简单闭曲线构成. f (z) 在D 上解析且在c上没有零点，那么f (z)在D内的零点数
若f (z)在D上解析，在边界曲线c上不等于a,那么 表示什么意思？