圆周运动专题复习——临界问题(精品课件)

教学目标:
1、掌握在竖直平面内做圆周运动的 几种常见模型及其做圆周运动的临界 条件，会用临界条件处理实际问题。
2、体会牛顿运动定律在曲线运动中 的具体应用
模型1 ：绳球模型
不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点的 质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。
v0 B 试分析： 当小球在最高点B的
o
L A
速度为v0 时，绳的拉力与速度 的关系？
当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；
思考：要使小球做完整的圆周运动， 在最低点的速度有什么要求？
vB B
由机械能守恒可的：
o
L
A
v v m g2r m m 2 2
vA
2 A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 B
当VB取得最小值时，即： B VA取得最小值即： A
v gr
v 5gr
结论：要使小球做完整的圆 周运动，在最低点的速度
A
B
F2
F3
v2
mg
v2 最高点：F2 mg m 拉力 L
2
o
v1
F1
A mg
v3 m g F3 m 支持力 L 思考:在最高点时，何时杆表现为 拉力？何时表现为支持力？试求 其临界速度。 临界速度：F 0, v0 gL
2
此时最低点的速度为：
vA 5gr
当v<v0，杆对球有向上的支持力； 当v>v0，杆对球有向下的拉力。
且指向圆心。
性质： 变速运动；非匀变速曲线运动；
向心力就是物体作圆周运动的合外力。 合外力不指向圆心，与速度方向不垂直； 非匀速 圆周运动
合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速 度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小。 当速率增大时，合外力与速度方向的夹角 为锐角；反之，为钝角。
一、匀速圆周运动中的极值问题
1、滑动与静止的临界问题
例1、在山东卫视的《全运向前冲》 节目中，有一个“大转盘”的关卡。 如图所示，一圆盘正在绕一通过它中 心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀 速转动，在圆盘上有一名质量为m的 闯关者（可是为质点）到转轴的距离 为d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因 素为μ ，且闯关者与圆盘间的最大静 摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关 者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转 动角速度的取值范围。
v2 由 mg＝m r 得 v 临＝ gr
由机械能守恒可得
v 5gr
v＞2 gr
轻绳模型 受 力 情 况 讨 论 分 析 (1)过最高点时 v≥ gr，FN＋mg＝ v2 m ，绳、轨道对球产 r 生弹力 FN≥0， 方向指 向圆心 (2)不能过最高点 v＜ gr，在到达最高点前 小球已经脱离了圆轨 道
问：当v2的速度等于0时，杆对球的 支持力为多少？
F支=mg
此时最低点的速度为： A
v 2 gr
vA＞2 gr
结论：使小球能做完整的 圆周运动在最低点的速度
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放置的管 型轨道，其半径为R，管内有一质量 为m的小球有做圆周运动，小球的直 径刚好略小于管的内径。 思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压 力，什么时候内管壁对小球有支持力?什么时候内 外管壁都没有压力？小球在最低点的速度v至少多大时，
变型题3、若在半圆的右侧加上匀强电场，并使物体带 上负电，已知物体受到的电场力等于其重力的√3倍， 则物体又能否运动到圆轨道的最高点呢？
E 45°（
点拨：将复合场等 效为重力场，找到 “力学最高点” 。
归纳总结
解决千变万化的圆周运动的问 题，基本思路方法一般有两条 途径：一、牛顿运动定律；二、 功能的关系。
任务 :
1、掌握处理圆周运动的基本思路 和方法； 2、掌握圆周运动中极值临界问题 的临界条件，会用临界条件处理 实际问题。
3、牛顿第二定律在曲线运动中的具体应用
角速度、周期、频率不变， 特点： 线速度、向心加速度、向心力的大小不变， 方向时刻改变；
圆 周 运 动
匀速 圆周运动 条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，
轻杆模型 (1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持力，沿半径背离圆心 (2)当 0＜v＜ gr时，mg－ v2 FN＝m ，FN 背离圆心，随 r v 的增大而减小 (3)当 v＝ gr时，FN＝0 (4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝ v2 m ，FN 指向圆心并随 v 的 r 增大而增大
例题:轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定 着小球A和B。A球质量为m，B球质量为2m，在竖直平面内 做圆周运动。 ⑴当杆绕O转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示 ，此时杆A点恰不受力，求此时O轴的受力大小和方向； ⑵保持⑴问中的速度，当B球运动到最高点时，求O轴的 受力大小和方向； ⑶在杆的转速逐渐变化的过程中， 能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。
才能使小球在管内做完整的圆周运动？
使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度： vA＞2
临界速度：F 0, v0 gR 当v<v0，内壁对球有向上的支持力； 当v>v0，外壁对球有向下的压力。
gr
轻绳模型 过最高 点的临 界条件
最低点 的临界 速度
轻杆模型 小球能运动即可，也就是 v 临＝0
小球能运动即可，也就是
模型二：球杆模型： 小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运 动，过最高点时杆与绳不同，杆对球既能产生 拉力，也能对球产生支持力；（管状轨道的口 径略大于小球的直径)
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使 小球在竖直平面内做圆周运动。 B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度 为v2时，杆的受力与速度的关 系怎样？ （2）当小球在最高点B的速度 为v1时，杆的受力与速度的关 系怎样？
v2 2 解析：⑴A端恰好不受力，则 mg m , v gL 2 v L B球： T 2mg 2m , T 4mg L 由牛顿第三定律，B球对O轴的拉力 T 4mg ，竖直向下。 2
v ⑵杆对B球无作用力，对A球:T mg m , T mg L 由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力
例2、如图所示，质量为m=100g的小物块（可视为 质点），从距地面高h=2.0m的斜轨道上由静止开 始下滑，与斜轨道相接的是半径r=0.4m的光滑圆 轨道，已知斜面的倾角为45°，与物体间的动摩 擦因数为0.2. (g=10m/s2） 问：物块运动到圆轨道的最低点时对轨道的压力 为多大？物体能否运动到圆轨道的最高点？
v mg FN m r
2
FN 0, v0 gr
当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点； 当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足： v

gr
规律总结：无支持物 物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收 缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力； 若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
（1）若m在最高点时突然与电机脱离， 它将如何运动? （2）当角速度ω为何值时，铁块在最高 点与电机恰无作用力? （3）本题也可认为是一电动打夯机的原 理示意图。若电机的质量为M，则ω多大 时，电机可以“跳”起来?此情况下，对 地面的最大压力是多少?
图3-5
二、竖直平面内的圆周运动的临界问 题——球绳模型
如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物 体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光 滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O 点的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm ＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的 角速度ω的取值范围(取g＝10 m/s2)．
①临界条件：绳子或轨道对小球恰好没有弹力的 v2 临界 作用，重力提供向心力，即 mg＝m ， R 解得小球恰能通过最高点的临界速度为: v 临界＝ Rg. ②能过最高点的条件： v≥ gR，当 v> gR时，绳对 球产生拉力，轨道对球产生压力．
③不能过最高点的条件：V<V临界(实际上小球尚未到达 最高点时就脱离了轨道)． ④使小球做完整的圆周运动， 在轨道的最低点的速度应满足： v 5gr
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方 向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它 们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B 与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍， （g=10m/s2）求： （1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度； （2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
8．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水 平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上， AC和BC为抗拉能力相同的两根细线， C端固定在转轴 OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1， 当转轴的角速度逐渐增大时 ( ) A．AC先断 B．BC先断 C．两线同时断 D．不能确定哪根线先断
vA 5gr
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固 定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初 速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好 过最高点，则下列说法中正确的是：（ D ） A.小球过最高点时速度为零 2 v B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m 0 L C.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为 gL 变型题1：给小球多大的水平初速度， 才能使绳在小球运动过程中始终 绷紧？
2 5 (m / s)
实例一：水流星
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周 运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不 会流下来，为什么？ v2 对杯中水：mg FN m FN r FN = 0 当v gr 时， G
水恰好不流出 表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不 得小于 gr
T 2mg
，竖直向下。
⑶在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不 受力的情况？请计算说明。
【解答】 在小球运动过程中绳始终绷紧，有两种情况： (1)小球能通过最高点，做完整的圆周运动。
(2)小球只能摆动到悬点高度下的某一位置，做不完 整的圆周运动。
思考：当 2gr＜vA＜ 5gr时，
小球将做什么运动？
变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳 拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m， 现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则 小球在最低点的速度至少为多少？
解析 A
2、绳子中的临界问题
例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的 小球，上面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹 角分别为30°与45°。问球的角速度满足什么条 件，两绳子始终张紧？
A B
30° 45°
L C
ω
2.4rad/s≤ω ≤3.16rad/s
如图所示，直角架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点 各系一细绳，两绳共吊着一个质量1千克的小球于D点， 且BDCD，ABD=300，BD=40厘米，当直角架以AB为轴， 以10弧度/秒的角速度匀速转动时，绳BD的张力为 _______牛，绳CD的张力为_______牛。
v 即：
gr
重力的效果——全部提供向心力
实例二：过山车
思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？
拓展：物体沿竖直内轨运动
有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r， 质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动时，分 析小球在最高点的速度应满足什么条件？ A
v0
mg
FN
思考：小球过最高点的最小速度 是多少?
vA
v2
T
mg
v 最高点：T m g m L
2 0
o
v1
思考：小球过最高点的最小速 度是多少?
T 0, v0 gL
思考：当v=v0、 v>v0、v<v0时分别会发生什么现象？ 当v=v0，对绳子的拉力刚好为0 ，小球刚好能够通过（到） 最高点、刚好能做完整的圆周运动；
当v>v0，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。
3、脱离与不脱离的临界问题
可看成质点的质量为m的小球随圆锥体一 起做匀速圆周运动，细线长为L，求： （1）当 绳子的拉力； （2）当 绳子的拉力；
g /l
时
37°
2g / l时
例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的 铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转 动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为___.