对偶理论与灵敏度分析

对偶理论与灵敏度分析

对偶问题的提出

对偶理论

影子价格

对偶单纯形法

灵敏度分析

对偶问题的提出

定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题。

应用:

1. 在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易

2. 对偶变量有重要的经济解释(影子价格)

3. 作为灵敏度分析的工具

4. 对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)

5. 避免使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法则增加一倍的计算量)

一、对偶问题的提出

例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。

问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？

(2)假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。他就要考虑付给该车间每个工时的价格。他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。

解(1)：设该车间每日安排生产木门x 1扇，木窗x 2扇，则数学模型为

X*=(15,20)’ Z*=1440元

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x z

解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格

Y*=(2,24)’ W*=1440元

将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的练习与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。

二、L P 和D P 的联系与区别

(1)一个极大化，一个极小化

(2)L P 的价值系数行向量＝(D P 右端项)’ (3)L P 的系数矩阵＝(D P 系数矩阵)’ (4)L P 的右端项＝(D P 的价值系数)’ (5)L P 的约束个数＝D P 的变量个数 (6)L P 的变量个数＝D P 的约束个数

三、原问题与对偶问题的关系

1．对称形式下对偶问题的一般形式

定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：(1)其变量均为非负约束；(2)其约束条件当目标函数求极大时取“≤”号，当目标函数求极小时取“≥”号；(3)右端项b 可取负值。

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 2121212

1y y y y y y y w ⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥≤+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅≤+⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++

+⋅⋅⋅++=),,1(0max :221122222121112121112211n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z LP j m n mn m m n n n n n

n

对称形式下原问题及对偶问题的矩阵形式

对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 证明：在D P 中，令W ’ = -W

则有

⎩⎨

⎧≥-≤--=0

'max Y C YA bY

ω 其对偶问题为：

⎩⎨

⎧≥-≥--=0

'min X b AX CX

Z 令Z’=-Z ，则有

⎩⎨

⎧≥≤=0

max X b

AX CX

Z 所以，对偶问题的对偶是原问题。

例：写出L P 的对偶问题

2. 非对称形式的原－对偶问题关系

并非所有的LP 问题都有对称形式，故讨论一般情况下LP 问题如何写出其对偶问题

⎩⎨

⎧≥≤=0

max :X b AX CX z LP ⎩⎨

⎧≥≥=0

'''min :Y C Y A b Y w DP ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤+≤+≤++=0

2,1121214222max :21212121x x x x x x x x x x z LP ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥++≥++++=0,,2242

22min :3

21321321321y y y y y y y y y y y y w DP

例 写出下述线性规划的对偶问题

解：先化为对称形式，因为目标函数求极大，所以约束条件变为“≤”，决策变量≥0

令对应上述4个约束条件的对偶变量分别为'',',',3321y y y y 则有

令''','33322y y y y y -=-=，将上边3，4两个约束条件合并，得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≥=++

≥+-≤-

+++=无约束

3213213213213

21004163253234max x x x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≥=++-≤+-≥+

+++=无约束

3213213213213210

3

654313242min y y y y y y y y y y y y y y y w ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-≤+-+

-≤-+-

-≤++--≤+---+-=4''''4''''1''6'6'32''55'32''3'3'4max 33213321332133213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 0

'',',',3''''653''''654''''31''''32'

'4'4'2min 332133213321332133213321≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-≥+-+

≥

-+--≥+---≥

-+--+-=y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y w