第二章第2节(12.2)

(2) 设 ： 则： (3)利用图2—8所示方案来计算式(2—68)中两个序列的线性卷积。
(4)为了得到两个序列x[k]与h[k]最终的线性卷积结果，需将yn[k] 相邻两段的M—1个重叠点相加。 (5)在利用DFT求出各yn[k]后， x[k]与h[k]的线性卷积 yn[k]可表示为
x[k]与h[k]的线性卷积yn[k]可表示为：


重叠相加法
重叠相加法计算长、短序列线性卷积的基本思想：
将长序列x[k]分解为许多短序列xn[k]， 这些短序列xn[k] 分别与 短序列h[k]利用DFT求得其线性卷积yn[k] ，再将这些分段卷积得 到的各序列yn[k]进行重叠相加，即可得两序列的线性卷积。 (1)首先将长序列x[k]依次分解为若干段互不重叠的长度为L的序列
误差分析：
当N<N1+N2-1时，利用循环卷积做线性卷积会引起误差。 误差分析：令 max ( N1 , N2 )≤ N ≤( N1 + N2 - 1)
根据前面分析式：
令误差
x4 n x3 n rN N n r
en x4 n x3 n x3 n rN N n r 0
混 叠 现 象的结论
•由F = fs / N ≥2fh /N 看出： • 在 N 给 定 时, 为 避 免混 叠 失 真 而 一 味 提 高 抽 样 频 率 fs , 必 然 导 致 F 增 加, 即 频 率 分 辨 力 下 降; 反 之, 若 要 提 高 频 率 分 辨 力 即 减 小 F, 则 导 致 减 小fs, 最 终 必 须 减 小 信 号 的 高 频 容 量. •以 上 两 点 结 论 都 是 在记录长度内抽样点数 N 给 定 的 条 件 下 得 到 的. 所 以 在 高 频 容 量 fh 与 频 率 分 辨 力 F 参 数 中, 保 持 其 中 一 个 不 变 而 使 另 一 个 性 能 得 以 提 高 的 唯 一 办 法, 就 是 增 加 记 录 长 度 内 的 点 数 N, 即 fh 和 F 都 给 定 时, 则 N 必 须 满 足 N
单位圆上等间隔抽样，如图2—7所示。 ◆序列的DFTX[m]：可通过X(z)在z平面单位圆上等间隔样点值 ｚm ＝ｅ﹣ｊ（２π／Ｎ）ｋｍ（m＝０～Ｎ－１）获得序列的DFTX[m]。
X ( j )
n
x ( n )e


jn
X ( z)
n
x ( n) z
设ｘ［ｋ］是长度为Ｎ的有限长序列，
◆其离散傅立叶变换为： Ｘ［ｍ］＝∑ｘ［ｋ］ｅ﹣ｊ（２π／Ｎ）ｋｍ （ｋ＝０～Ｎ－１） ◆其z变换为： Ｘ［ｚ］ ＝∑ｘ［ｋ］ｚ﹣ｋ （ｋ＝０～Ｎ－１） 令ｚm ＝ｅ﹣ｊ（２π／Ｎ）ｋｍ ： Ｘ［ｚm］ ＝∑ｘ［ｋ］ｚ﹣ｋ︱Z=Zm ＝ ∑ｘ［ｋ］ｅ﹣ｊ（２π／Ｎ）ｋｍ （ｋ＝０～Ｎ－１） ◆序列ｘ［ｋ］的离散傅里叶变换X[m]等于其z变换X(z)在z平面
◆ 相邻的两个序列的非零部分的重
叠区间为： （n+1）L≤k≤（n+1）L＋M－2 ◆重叠的点数为： 〔（n+1）L＋M－2〕－（n+1）L ＝ M－1 即：每相邻的两段有M－1个点重叠。


重叠保留法
重叠保留法的基本思想：
重叠保留法也是将长序列x[k]分段，然后利用各段序列xn[k] 与序列h[k]进行循环卷积，再从各循环卷积的结果中提取相当于 线性卷积的部分。由于M点序列h[k]与L点各段序列xn[k]进行L点 循环卷积时，与此两个序列线性卷积相比，前M－1个点存在混叠， 只有剩下的L－（M－1）点与线性卷积得到的点相同。为此，在 将长序列x[k]分解成长度为L的各段序列xn[k]时，每段序列与前 一段序列保留M－1点重叠，故称为重叠保留法。
频谱无法利用解析方法直接计算，一般需采用数值方 法进行近似计算。 数字系统如计算机需要对计算的连续变量进行离散 化，以近似分析相应的频谱。 有限长序列的DFT可以由数字方法直接计算，可以 利用DFT对连续非周期信号频谱进行近似分析。 近似分析过程中一般将会出现三种现象：即混叠现 象、泄漏现象和栅栏现象。
h［ｋ］的线性卷积可以可以通过DFT来计算。
序列线性卷积一般通过序列的循环卷积来计算。
◆ 由于序列的循环卷积可通过DFT快速计算，因而在许多情况下，
通过DFT计算线性卷积的计算步骤
设ｘ［ｋ］是长度为Ｎ1的有限长序列，设h［ｋ］是长
度为Ｎ2的有限长序列，计算步骤如下（见图2-8）： (1)将序列x[k]和h[k]分别补零成为L点的有限序列xL[k] 和hL [k] ，且满足L≥N1+N2－1； (2)对序列xL[k]和hL[k]进行L点DFT，并将之相乘得Y[m] Y[m] ＝DFT｛xL[k]｝.DFT｛hL[k]｝ (3)对序列Y[m]进行L点IDFT得： Y[k] ＝IDFT｛ Y[m] ｝
+ FIR滤波器一般都用线性卷积实现；
+ DFT是在频域实现线性系统运算的实际途径。 － DFT实现的是循环卷积，我们想要的是线性卷积，如何由 DFT实现线性卷积？
2．4．1 两个有限长序列的线性卷积
设ｘ［ｋ］是长度为Ｎ1的有限长序列，设h［ｋ］是
长度为Ｎ2的有限长序列： ◆两序列的线性卷积定义为： y［k］ ＝ｘ［ｋ］※ h［ｋ］ （2－59） y［k］也是一有限长序列，长度为M=Ｎ1 ＋Ｎ2 ，起点等 于ｘ［ｋ］与h［ｋ］起点之和。 ◆由序列DTFT的卷积性质，序列y[k]的离散时间傅里叶变换 Y（ｅｊΩ ）可表示为： Y（ｅｊΩ）＝Ｘ（ｅｊΩ）.H（ｅｊΩ） ◆长度为Ｎ1的有限长序列ｘ［ｋ］与长度为Ｎ2的有限长序列
2.3
离散FT变换与z变换的关系
有限长序列ｘ［ｋ］存在：

ｚ变换Ｘ（ｚ）（ＲＯＳ：∣ｚ∣＞０）、离散时间傅立 叶变换Ｘ（ｅｊΩ ）和离散傅立叶变换Ｘ［ｍ］； Ｘ（ｚ）、Ｘ（ｅｊΩ ）、Ｘ［ｍ］与序列 ｘ［ｋ］ 存在一一对应关系； Ｘ（ｚ）、Ｘ（ｅｊΩ ）、Ｘ［ｍ］之间存在相互 关系。
２．３．１ 由序列ｚ变换表示序列ＤＦＴ
X[m]可以经IDFT得到原序列x[k]，对序列x[k]进行z变换即可得到 X(z)。即当有限长序列的z变换在单位圆上的N个抽样值确定后，z 变换在整个z平面的取值也就随之确定：
Ｘ［ｚ］ ＝∑ｘ［ｋ］ｚ﹣ｋ （ｋ＝０～Ｎ－１） ＝∑（1/N ∑Ｘ［ｚm］W﹣ｍｋ）ｚ﹣ｋ （ｋ＝０，1～Ｎ－１，m=0，1～Ｎ－１）
≥2fh /F
•这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，为 实现基本DFT算法所必须满足条件。
•有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数 例： 幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为： （1）频率分辨力≤10Hz;(2)信号的最高频率≤4kHz 试确定以下参量： （1）最小记录长度T0； （2）抽样点的最大时间间隔T； （3）在一个记录中的最少点数N。 解： （1）由分辨力的要求确定最小记录长度T0. T0=1/F=1/10=0.1(s) 故最小记录长度为0.1秒。 （2）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T. fs≥2fh, T=1/fs ≤1/2fh=0.125*10-3 (s) (3)最小记录点数N，它应满足 N≥2fh /F=800 该处理器所需最少采样点数为N=210=1024点。（因为 N=29=512点不够）
2．4．2 有限长序列和无穷长序列的线性卷积
分段卷积：
◆不论从运算的时延，还是运算的效率，长短序列的线 性卷积存在其特殊性。如果能够在长序列数据没有全部 得到的情况下，先得到的一段长序列与短序列进行线性 卷积，最后依次将各段卷积结果通过某种方式组合起来， 则既可以满足实时性的要求，又可以利用DFT快速计算各 段卷积。这种卷积方式称为分段卷积。 ◆分段卷积主要有两种方法：重叠相加法与重叠保留法。
因为N≥ max ( N1 , N2 )，上式仅有对应于r=±1的两项保 留
en x3 n N x3 n N N n
例题：
来自百度文库
考虑前面例子的序列x1(n)和x2(n)，求N=6,5和4 的循环卷积，并在每种情况下验证误差关系。
解： 线性卷积x3(n) ={1，1，-1，-2，-1，1，1}
当N=6时
>> x4=circonvt(x1,x2,6) x4 = 2 1 -1 -2 -1 1 e(n)={2，1，-1，-2，-1，1} - {1，1，-1，-2，-1，1} ={1，0，0，0，0，0}=x3(n+6) >> x4=circonvt(x1,x2,5) x4 = 2 2 -1 -2 -1 e(n)={2，2，-1，-2，-1} - {1，1，-1，-2，-1} ={1，1，0，0，0}=x3(n+5) >>x4=circonvt(x1,x2,4) x4 = 0 2 0 -2 e(n)={0，2，0，-2} – {1，1，-1，-2} ={-1，1，1，0 }=x3(n+4)
◆交换求和次序得： ◆X(z)的内插公式： ∵
∴
2.4 利用DFT变换计算线性卷积
线性卷积是离散信号处理中的重要运算。 离散系统的时域响应就是通过系统输入序列与系统 单位脉冲响应的线性卷积而得到。 利用DFT可以极大地提高计算线性卷积的效率。
DFT的应用
DFT在线性系统中最重要的运算之一是线性卷积。
•
2．5．2
泄漏现象
时域加窗(time-windowing)：
◆如果连续信号x(t)在时域无限长，则离散化后的序列 x[k]也为无限长，无法适用DFT分析，需要对其进行加窗 wN[k]截短使之成为有限长序列xN[k]。 ◆加窗序列xN[k]的频谱为：
n
对比上面两个式子发现:
X ( j ) X ( z ) | z e j
此式表明:单位圆上的z变换就是序列的FT.如果知 道序列的ZT,根据上式,可以很快在求出它的FT,其 条件是ROC中包含单位圆
２．３．2 由序列ＤＦＴ表示序列ｚ变换
设ｘ［ｋ］是长度为Ｎ的有限长序列，
◆有限长序列的z变换也可以由X[m]唯一表示。因为由
当N=5时
当N=4时
结论：当选取N=max(N1,N2)做循环卷积时，前(M-1)个样本在误 差中，其中M=min(N1,N2).且N每增大一个，M随之减小一个。
2.5 利用DFT分析连续非周期信号的频谱
在已知连续信号数学解析式的情况下，非周期信号 的频谱可以根据傅里叶变换的定义进行解析计算。 实际应用中的多数信号不存在数学解析式，信号的

2．5．1
混叠现象
离散信号x[k]的DTFT
X(ｅ ｊΩ )与连续信号x(t)的傅 里叶变换X(jω )的关系为：
◆其中：ωsam＝2π/T＝2πf sam
ωsam ——对连续信号抽样的角频率； f sam——抽样频率。
当信号的抽样间隔T满足T≤π/ω时，根据信号时域抽
样定理，在X(ｅ ｊΩ)中可以得到完整的X(jω)。这样可 以通过分析X(ｅ ｊΩ)来实现分析X(jω)，而X(ｅ ｊΩ)可 以通过频域抽样由DFT来计算。 当信号的抽样间隔T不满足T≤π/ω时，在连续信号离 散化时，就会出现信号频谱的混叠。
•利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换 ,为 避 免 混 叠 失 真, 要求满足抽样定理，即 奈奎斯特准则： fs≥2fh •其中fs为抽 样 频 率 , fh 为信号最高频率.但此条件 只规定出fs的下限为fh , 其上限要受抽样间隔 F的约 束. • 抽 样 间 隔 F 即 频 率 分 辨 力, 它是 记 录 长 度 的 倒 数, 即 T0 = 1 / F •若 抽 样 点 数 为 N, 则 抽 样 间 隔 与 fs 的 关 系 为 F = fs / N ≥2fh /N
y[k]＝y0[k] ， 0≤k≤L－1
y[k]＝y0[k]＋y1[k －L] ，
y[k]＝ y1[k －L] ， y[k]＝ y2[k －2L] ， …
L≤k≤L＋M－2
L＋M－1≤k≤2L－1
2L＋M－1≤k≤3L－1
y[k]＝y1[k －L]＋y2[k －2L] ， 2L≤k≤2L＋M－2
相邻两段的卷积结果的重叠情况