空间力系和重心

第六章空间力系和重心
教学目标
1 能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。

2 了解空间力系向一点简化的方法和结果。

3 能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。

4 能正确地画出各种常见空间约束的约束力。

5 对重心应有清晰的概念，能熟练地应用组合法求物体的重心。

本章重点
1 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。

2 空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。

3 各种常见空间约束的约束力。

4 重心的坐标公式。

本章难点
空间矢量的运算，空间结构的几何关系和立体图。

教学过程（下页）
一、空间力系的简化 1．空间力系向一点简化
刚体上作用空间力系),,(21n F F F
，将力系中各力向任选的简化中心O 简化。

主矢：∑∑='=C i F F F
，与O 点选择无关。

（6-1）
主矩：∑∑∑⨯===)()(00i i i i F r F M M M
，与O 点的选择有关。

（6-2） 主矢F
和主矩0M 的解析表达式
222)()()(∑∑∑++=iz iy ix F F F F （6-3） F
F
x F ix
∑=
),cos(
，F
F
y F iy
∑=
),cos(
，F
F
z F iz
∑=
),cos(
2
220))(())(())((i z i y i x F M F M F M M ∑∑∑++= （6-4）
0)
(),cos(M F M
x M i x
∑=
，0
0)
(),cos(M F M
y M i y
∑=
，0
0)
(),cos(M F M
z M i z
∑=
结论：空间力系向任一点简化，一般可得到一力和一力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。

2．空间力系简化的最后结果 （1）空间力系平衡
0=F ，00=M
，此空间力系为平衡力系。

（2）空间力系简化为一合力偶
0=F ，00≠M ，此空间力系简化为一合力偶，合力偶矩矢等于力系主矩0M
与简
化中心的位置无关。

（3）空间力系简化为一合力
a ．0≠F ，00=M
，此空间力系简化为过O 点的一合力，合力的大小和方向与主
矢相同。

b ．0≠F ，00≠M ，00=⋅M F ，这时，F 与0M
共面，可看作一平面力系，由平面力系简化理论知，此时空间力系简化为一合力。

此合力F '
的作用线过O '点，大小和方向决定于主矢，其作用线到O 点的距离
F M d 0= （6-5）
合力矩定理： 由图6-2知
F
F
∑=='⨯'=')()(000C F M M F O O F M
（6-6）
将上式向通过 点O 的任一轴z 投影，有
∑=')()(C z z F M F M （6-7）
若空间力系可以合成为一合力，则合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩
的矢量和；或合力对任一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和。

（4）空间力系简化为力螺旋（由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系）
M
∥
O
0≠F ，00≠M ，00≠⋅M F
小结：空间力系可简化为四种情况，可用主矢F
与主矩0M 的点积是否为零分为两
大类，即
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠⎪⎩⎪⎨⎧≠===⋅力系简化为一合力
力系简化为一合力偶力系平衡
00000000F M M F M F
（2）00≠⋅M F
力系简化为力螺旋。

二、空间力系的平衡方程及其应用
从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩为零，即：
0=F ，00=M
（6-8）
其解析式为：
⎪⎭
⎪
⎬⎫======∑∑∑∑∑∑0)(,0)(,0)(0
,0,0i z i y i x iz iy ix
F M F M F M
F F F （6-9）
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零，对每一坐标轴之矩的代数和为零。

特例：空间平行力系的平衡方程 令z 轴与力系各力的作用线平行，有
0=∑iz
F ，0)(=∑i x F M ，0)(=∑i y F M
（6-10） 例1．镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力z F 径向力y F 和轴向力x F 的作用，如图6-5所示。

各力的大小 kN F z 5=，kN F y 5.1=，75.0=x F ，刀尖B 的坐标mm x 200=，mm y 75=，0=z 。

试求镗刀杆根部约束力。

M
解：1 取研究对象：镗刀杆。

2．分析受力：镗刀杆根部是固定端约束，由于镗刀杆受天的主动是空间力系，因此当镗刀杆平衡时，固定端的约束力也是一个空间力系，将此力系向点O简化，得到
一约束力一约束力偶。

约束力用直角坐标轴的三个分量
Ox
F、
Oy
F、
Oz
F表示，约束
力偶用三个正交分力偶矩
x
M、
y
M、
z
M表示，如图6-5所示。

3．列平衡方程求解：
∑=0
ix
F：0
=
-
x
Ox
F
F，kN
F
Ox
75
.0
=
∑=0
iy
F：0
=
-
y
Oy
F
F，kN
F
Oy
5.1
=
∑=0
iz
F：0
=
-
z
Oz
F
F，kN
F
Oz
5
=
∑=0
x
M：0
075
.0=
-
z
x
F
M m
kN
M
x
⋅
=375
.0
∑=0
y
M：0
2.0=
+
z
y
F
M m
kN
M
y
⋅
-
=1
∑=0
z
M：0
2.0
075
.0=
-
+
y
x
z
F
F
M m
kN
M
z
⋅
=244
.0
例2．图6-6所示传动系统，A是止推轴承，B是向心轴承，在把手端部施加一力N
F200
=，方向如图所示，试求系统平衡时所需重物的重量P以及A、B轴承的约束力。

图中长度单位为mm。

解：1 取研究对象：整体系统。

2．分析受力：如图6-6所示。

3．列平衡方程求解：
∑=0z
M ： 060sin 25.01.0=- F P ， N P 433=
∑=0y
M ： 060sin 175.015.025.0=++-
F F P Bz ， N F Bz 520= ∑=0x
M ： 045sin 60cos 175.045cos 60cos 25.015.0=-+- F F F By ,
N F By 4.35=
∑=0iz
F ： 045cos 60cos =- F F Ax , N F Ax 7.70= ∑=0iy
F
： 045sin 60cos =-+ F F F By Ay , N F Ay 3.35= ∑=0ix
F
： 060sin =--+ F P F F Bz Az , N F Az 8.86=
本题也可将作用于传动轴上的各力投影在坐标平面上，把空间力系的平衡问题转化
为平面力系的平衡问题来处理，对此读者可自行考虑。

例3．边长为l 、重量为W 的均质正方形平台，用六根不计自重的直杆支承如图6-7所示。

设平台距地面高度为l ，处载荷F 沿AB 边，试求各杆内力。

4y
解：
1． 取研究对象：平台。

2． 分析受力，如图6-7所示，六根支承杆均为二力杆。

3． 列平衡方程求解：
∑=0GC M ： 02
2
6=+-
Fl l F ， F F 26= ∑=0BC M ： 022261=⋅--
-l W l F l F ， 2
1W F F --= ∑=0HG M ： 02
21=++l
W l F l F ， F F =2 ∑=0FB M ： 0222265=-l F l F ， F F 25= ∑=0HD M ：
02
2
3=+Fl l F ， F F 23-= ∑=0AB M ： 022254=--
-l W l F l F ， 2
4W F F --= 三、 重心
众所周知，重心在力学及工程技术中具有重要的意义。

本小节将以平行力系中心为基础，引出重心概念及其计算公式。

1．平行力系中心
先以两个平行力为例，说明平行力系中心的概念
A
B
F 1
F
2
F
1F 、2F 的合力21F F F +=
合力作用线位置用合力矩定理确定
假定合力作用线与AB 连线交于C ，则0)()()(21=+=F M F M F M C C C
即：0sin sin 21=-ααCB F CA F 可得：
1
2
F F CB CA = 从动画可以看出，不管平行力方向如何，合力作用线总过C 点，此点称为两平行力
中心。

A 3
1
-Cn
显然，可以把上述概念及方法推广至任意平行力系，设几个力组成一平行力系
),,(21n F F F
如图6-9，我们可以逐渐运用两平行力合成的方法求得合力∑=-i Cn F F
1。

显然，若力系中各力大小和作用点保持不变，各力沿一转向转动任
一α角后，其合力仍然通过同一点，并且也转动α角，此点称为平行力系中心。

用上述的方法求平行力系是非常麻烦的，在工程实际一般用合力矩定理直接求合力
作用线的位置。

设),,(21n F F F
是平行力系，令坐标系z 轴与力的作用线平行。

各
力作用点为),,(),,(),,(1111n n n n i i i i z y x A z y x A z y x A 假定平行力系小心C 的坐标为),,(C C C z y x ，则由合力矩定理 对ox 轴取矩
∑==n i i x x F M F M 1
)()(
得 ∑=-=-n i i i C y F Fy 1
对oy 轴取矩∑==n i i y y F M F M 1
)()(
得∑==n i i i C x F Fx 1
将力系转过
90，使各力与oy 轴平行 对ox 轴取矩
∑==n i i x x F M F M 1
)()(
∑==n i i i C z F Fz 1
由上三式可得
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
===
=∑∑∑∑∑∑∑======n i i n i i i C n i i i i C n
i i
n
i i
i n i i i C F z F z F y F y F
x
F F x F x 1111
1
1
（6-11）
2．重心
作用在一物体各质点上的重力可近似地看成是一平行力系，此平行力系中心就称为物体的重心。

如将物体分割成许多微单元，每微单元的重力为
C P
∆),,(i i i i z y x C )3,2,1(n i =，则由式（6-11）可得重心C 的近似公式为
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∆=
∆=∆=
∑∑∑===P z P z P y P y P x P x n
i i i C n i i i C n
i i i C 1
11
（6-12）
在极限情况下，∞→n ，0→∆i P 时 重心坐标的一般公式为
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎬⎫=∆==∆==
∆=⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑=∞→=∞→=∞→V
V
n
i i
i n C V V
n
i i
i n C V V
n
i i
i n C gdV gzdV P z P z gdV gydV P y P y gdV gxdV P x P x ρρρρρρ111lim lim lim （6-13）
若物体是均质的，则比重g ρ对于整体物体是恒量，由（6-12）、（6-13）知，此时重
心位置与比重无关，仅决定于物体的几何形状和尺寸，故又称为物体的形心；或者说均质物体的重心与形心是重合的。

V V x x i
i C ∑∆= V V y y i
i C ∑∆= V V z z i
i C ∑∆=
若物体是均质的等厚薄板，设板厚用“t ”表示，则微小部分的体积i i S t V ∆=∆，板的整个体积tS V =（∑∆=
i S
S 是板的整个面积），利用式Ⅳ可导出等厚薄板的面积公式为 S S x x i
i C ∑∆= S S
y y i i C ∑∆= S S z z i
i C ∑∆=Ⅴ
3．求形心的几种方法
（1）（1）（2）（3）（4）积分法（简单形体的形心可查表）；
（2）组合法（分割法）；
（3）负面积法（负体积法）；
（4）实验法：悬挂法、称重法。

例4．用积分法求如图6-1的半径为R ，圆心角为α2的扇形OAB 的形心。

r dr θ
解：建立坐标系如图，由于关于x 轴对称，所以形心必定在x 轴上，即0=C y ，只需求C x 即可：
ααθθθααααsin 32cos 0202⋅===⎰⎰⎰⎰⎰⎰--R d dr r d dr r ds xds x R R s s
C ∑=0ix F ∑=0iy F
∑=0iz F
当2π
α=时，扇形OAB 为半圆其重心为)0,34(π
R 。

例5．用分割法求图6-13所示均质面积重心的位置。

设cm a 20=，cm b 30=，cm c 40=。

解：因ox 轴为对称轴，重心在此轴上，0=C y ，只需求C x ，由图上的尺寸可以算出这三块矩形的面积及其重心的x 坐标如下：
S I 2300cm =， cm x 151=
S II 2200cm =， cm x 52=
S III 2300cm =， cm x 153=
得物体重心的坐标：cm S S S x S x S x S x C 5.123
21332211=++++= 例6． 用负面积法求例5所示面积重心的位置。

解：这个复合形体也可以看由矩形ABCD 挖去矩EFGH 而得。

按照例5所示的尺寸，可得这两个矩形的面积及其重心的坐标如下。

对于矩形ABCD ：
211200cm S =， cm x 151=， 01=y
对于矩形EFGH ：
22400cm S =， cm x 202=， 02=y
故两块矩形重心C 的坐标为：
cm S S x S x S x C 5.122
12211=--= 0=C y
结果与前相同。