函数极限的四则运算

2
( x + 2)( x + 3) = lim x → −2 ( x + 2)( x − 1) x+3 = lim x → −2 x − 1 −2+3 1 = =− − 2 −1 3
（4） ）
x + x −6 lim x→2 x −2
2
( x + 3)( x − 2) = lim x→2 x−2
= lim( x + 3)
2 x→2
2
解： ( x + 3 x ) = lim x + lim 3 x lim x→ 2 x→ 2
x → x0
lim [ f ( x ) ± g ( x ) ] = lim f ( x ) ± lim g ( x )
x → x0 x → x0
x → x0
lim x = x 0
n
n
x → x0
lim [Cf ( x )] = C lim f ( x )
1、请同学们回顾一下数列极限的运算法则： 、
如果
n→∞
liman = a
n→∞
limbn = b ，那么
n→∞
lim an ±bn ) = liman ± limbn = a ±b (
n→∞ n→∞
liman ⋅bn = liman ⋅ limbn = a⋅b
n→∞ n→∞ n→∞
an n →∞ a lim = = (b ≠ 0) n →∞ b lim bn b n
x → x0
lim f ( x )
x→x0
lim[Cf ( x)] = C lim f ( x)
x→x0
为常数） （C为常数） 为常数
x→ x0
lim[ f ( x)] = [ lim f ( x)] (n ∈ N )
n n * x→ x0
下面举例说明如何求函数的极限
例1 求
2 x→ 2
lim( x + 3 x).
x→x0 x→x0 x→x0 x→x0
x→x0
lim limf (x) = a ， x→x g(x) = b
0
那么
x→x0
lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = a ⋅ b
f ( x ) x → x0 a lim = = ( b ≠ 0 ). x → x0 g ( x ) lim g ( x ) b
n →∞
lim an
特别地，如果 是常数 是常数， 特别地，如果C是常数，那么
n →+∞
lim C ⋅ an = C ⋅ lim an = C ⋅ a
n →+∞
也就是说：如果两个数列都有极限，那么由 如果两个数列都有极限， 如果两个数列都有极限 这两个数列的各对应项的和、 这两个数列的各对应项的和、差、积、商组 成的数列的极限， 成的数列的极限，分别等于这两个数列的极 限的和、 限的和、差、积、商（各项作为除数的数列 的极限不能为0）。 的极限不能为 ）。
2
例3 求
x −16 lim . x→4 x − 4
2
分析： 分母的极限是0， 分析：当 x → 4 分母的极限是 ， 不能直接运用上面的极限运算法则。 不能直接运用上面的极限运算法则。 时函数的极限只与x 因为当 x → 4 时函数的极限只与 无限趋近于4的函数值有关 的函数值有关， 无限趋近于 的函数值有关，与x=4时 时 的函数值无关，因此可以先将分子、 的函数值无关，因此可以先将分子、 分母约去公因式x-4以后再求函数的极 分母约去公因式 以后再求函数的极 限。
注：使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在。 是各部分极限必须存在。
x + x−2 问题1：函数， f ( x) = ,当x →1时， 2 x −1
2
你能否直接看出函数值的变化趋势？ 问题2：如果不能看出函数值的变化趋势， 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函 数极限？转化的数学方法与依据是什么？
x → x0
lim f ( x )
也就是说：如果两个函数都有极限，那 如果两个函数都有极限， 如果两个函数都有极限 么由这两个函数的各对应项的和、 么由这两个函数的各对应项的和、差、 商组成的函数的极限， 积、商组成的函数的极限，分别等于这 两个函数的极限的和、 两个函数的极限的和、差、积、商（各 项作为除数的函数的极限不能为0）。 项作为除数的函数的极限不能为 ）。
x→x0
为常数） （C为常数） 为常数
x→ x0
lim[ f ( x)] = [ lim f ( x)] (n ∈ N )
n n * x→ x0
注意： 注意：使用极限运算法则的前提是 各部分极限存在！ 各部分极限存在！
由上面的运算法则可知： 由上面的运算法则可知：
x→x0
lim x = ( lim x) = x0 ,即lim x = x0 ;
2
( x + 1)( x − 2) (2) lim x →−2 ( x + 3)( x 2 + 2)
x + 5x + 6 (3) lim 2 x→−2 x + x − 2
2
x + x−6 ( 4 ) lim x→ 2 x−2
2
x − 4x +1 (1) lim x→ 2 2x +1 2 x − 4x +1 解： lim x→2 2x +1 2 2 − 4⋅ 2 +1 = 2⋅ 2 +1
x→x0
lim C = C, (C是常数 lim x = x , (k ∈ N ) );
k x→x0 k 0 *
作业： 作业： P91
2
思考：
ax + x − 1 = 2, 求实数 a的值 . 1、已知 lim 、 2 x →1 x +2
2
2、求 、
x + 5x + 6 lim 2 x→∞ x + x − 2
(−2+1)(−2−2) 4 2 = = = = 2 2 lim ( x + 3) ⋅ lim ( x + 1) (−2+3)(2 + 2) 6 3 x → −2 x → −2
x → −2
x→−2
lim ( x + 1) ⋅ lim ( x − 2 )
x + 5x + 6 （3） lim ） x→−2 x 2 + x − 2
2
通过例1、 同学们会发现 同学们会发现： 函数f（ ） 通过例 、例2同学们会发现：①函数 （x） 处有定义② 在 x = x0 处有定义②求这类函数在某一点 x=x0处的极限值时，只要把 处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解 析式中，就得到极限值。 析式中，就得到极限值。如：
2x + x +1 求 lim 3 . 2 x →1 x + 2 x − 1 2 2x + x +1 2 × 12 + 1 + 1 解： lim 3 = 3 =2 2 x →1 x + 2 x 2 − 1 1 + 2 ×1 −1
观察图象
x −16 例3 求 lim x − 4 . x→4 2 x − 16 lim 解： lim x→ 4 x−4 ( x + 4)( x − 4) = lim x→4 ( x − 4)
2
x → x0
lim f ( x ) f (x) a x → x0 = = ( b ≠ 0 ). g (x) lim g ( x ) b
如：求
= lim( x + 4) = lim x + lim 4
x →4 x →4 x →4
x 2 − 16 ( x + 4)(x − 4) lim . = lim x→ 4 x − 4 x→4 ( x − 4)
练习： 练习： 求下列函数的极限
x − 4x +1 (1) lim x→2 2x +1
2
2
2 ×1 + 1 + 1 = = 3 =2 3 2 2 limx + lim2x − lim1 1 + 2 ×1 − 1
x→ 1 x→ 1 x→ 1
2
lim2x + limx+ lim1
2 x→ 1 x→ 1
x −1
x→ 1
观察图象
(1) 总结提高：
lim( x + 3 x)
2 x→2
(2)
2x + x +1 lim 3 . 2 x →1 x + 2 x − 1
x → x0
Hale Waihona Puke Baidu
= 2 + 3 × 2 = 10
2
观察图象
2x + x +1 例 2 求 lim . 3 2 x→1 x + 2x −1
2
x → x0
lim
lim f ( x ) f (x) a x → x0 = = ( b ≠ 0 ). g (x) lim g ( x ) b
x → x0
lim(2 x + x + 1) 2x + x +1 x →1 lim 3 解： = 2 3 2 x →1 x + 2 x − 1 lim( x + 2 x − 1)
n n n n n x→x0 x→x0
(n ∈ N )
*
利用函数极限的运算法则， 利用函数极限的运算法则，我们可以根据 已知的几个简单函数的极限， 已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的 函数的极限。 函数的极限。
请同学们记清函数极限的运算法则
函数极限运算法则 如果
x→x0
lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g( x) = a ± b
注：使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在。 是各部分极限必须存在。
lim lim lim 不难得到： 由 x → x [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = x → x f ( x ) ⋅ x → x g ( x)不难得到：
0 0 0
x→x0
lim[Cf ( x)] = C lim f ( x)
2
3 =− 5
( x + 1)( x − 2) (2) lim x →−2 ( x + 3)( x 2 + 2)
解：
( x + 1)( x − 2) lim x →−2 ( x + 3)( x 2 + 2)
= lim( x + 3)(x + 2)
2
x → −2
x→−2
lim( x +1)(x − 2)
2
ax + x − 1 lim = 2, 求实数a的值. 2 x →1 x +2 2 ax + x − 1 =2 解： Q lim 2 x →1 x +2 2 ∴ a ⋅1 + 1 − 1 =2 2 1 +2
2
例5 已知
∴
x → x0
= lim( x + 4) = lim x + lim 4
x →4 x →4 x →4
= 4+4 =8
x −1 lim 2 . 例4 求 x →1 2 x − x − 1 2 x −1 lim 2 . lim gf (( xx )) = 解： x →1 2 x − x − 1
2
x→ x0
x → x0 x→ x0
lim
f (x) g (x)
lim
=
a ( b ≠ 0 ). b
( x + 1)( x − 1) = lim x →1 ( x − 1)( 2 x + 1)
x +1 = lim x→1 2 x + 1
1+1 2 = = = lim ( 2 x + 1) 2 + 1 3
x →1 x →1
为了解决这些问题，我们有必要给出函数极限的运算法则： 为了解决这些问题，我们有必要给出函数极限的运算法则： 函数的极限与数列的极限有类似的四则运算法则， 函数的极限与数列的极限有类似的四则运算法则，即
2、 x → x0时 函数极限运算法则 、 " " 如果
x→x0
lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g( x) = a ± b
x→x0 x→x0 x→x0 x→x0
x→x0
lim limf (x) = a ， x→x g(x) = b
0
那么
x→x0
lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = a ⋅ b
f ( x ) x → x0 a lim = = ( b ≠ 0 ). x → x0 g ( x ) lim g ( x ) b
lim ( x + 1)
观察图象
总结与提高： 总结与提高： 2 x −16 例3 求 lim . x→4 x − 4
例4
x −1 lim 2 . x →1 2 x − x − 1
2
通过例3、 同学们会发现 同学们会发现： 函数f（ ） 通过例 、例4同学们会发现：①函数 （x） 处无定义② 在 x = x0处无定义②求这类函数在某一点 x=x0处的极限值时，必须通过代数变形转化 处的极限值时， 为第一种类型。 为第一种类型。
x→2
=5
小结： 小结：
（1）概述极限的运算法则。 ）概述极限的运算法则。 （2）本节课学习了两类计算函数极限 ） 的方法。 的方法。 （3） 通过各例求极限的过程可以看出， ） 通过各例求极限的过程可以看出， 在求有理函数的极限时， 在求有理函数的极限时，最后总 是归结为求下列极限： 是归结为求下列极限：