第4章6节 高斯求积公式

解
令公式(5.3)对于
准确成立， f ( x) 1, x ,x ,x
2 3
得
2 A A ; 0 1 3 x A x A 0 0 0 0 2 2 1 x0 A0 x1 A 3 3 x0 A0 x1 A 1 2 5 2 7
2 9
q ( x) ( x)dx A ( x) ( x)dx. k a q k 0
b a
b
n
f ( xk ).
11
可见求积公式对一切次数不超过 确成立. 因此， 定理表明在 为高斯点 xk (k 0, 1 , , n ) . 上带权 [a , b]
的多项式均精 2n 1
的 次正交多项式的 ( x) n 1
1.
一般理论
b n
求积公式

f ( x )dx
a
A
k 0
k
f ( xk )
含有 2n 个待定参数 2
k
xk , Ak (k 0,1 , , n).
当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少 x 为 次 . n
1
为具有一般性，研究带权积分
这里 为权函数， ( x)

b a
I
零点就是求积公式的高斯点. 有了求积节点
n
，再利用 xk (k 0 ,1 , , n )
k
A
k 0
xk
m

b
a
x ( x )dx
m
对 m 0,1, 成立， , n
定义 若n+1个互异节点的插值型求积公式 的代数精度达到2n+1次，则称此n+1个互 异节点为高斯点， 此求积公式为高斯型 求积公式。
4
根据定义要使求积公式具有
f ( x) x
m
2n 次wk.baidu.com数精度，只要对 1
(m 0,1 , ,2n 1),
令
b
n
f ( x ) ( x )d x
n
f ( x) P( x) n 1 ( x) 精确成立，

因
b
a

n P ( x ) ( x ) dx b ( x ) n 1 a
f ( x ) ( x )dx

k 0
A P( x A f ( x ),
k
kk 0 k
k
)n 1 ( xk ).
n 1 ( xk ) 0(k 0,1, , n),
而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
8

b
n
a
f ( x ) ( x )dx
A
k 0
k
f ( xk ),
定理5
插值型求积公式的节点
a x0 x1 xn b
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
n 1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
b

再注意到
a
q ( x ) ( x )dx
A
k 0
k
q ( xk ).
n1 ( xk ) 0 (k 0,1,, n),
知
q( xk ) f ( xk ) (k 0,1,, n),
从而有
a
b a
b
f ( x) ( x)dx f ( x) ( x)dx
a

k 0
Ak f ( x k ),
精确成立，
n
Ak xk
m k 0

b
a
x ( x )dx,
m
m 0,1, ,2n 1.
当给定权函数 ( ，求出右端积分，则可解得 x)
xk 及Ak (k 0,1 , , n).
5
例5

1 0
试构造下列积分的高斯求积公式：
x f ( x)dx A0 f ( x0 ) A f ( x1 ). 1
其中 P( x), q( x.) H n

b
a
P( x) ( x) ( x)dx q 0. ( x 1) ( x)dx fn ( x) ( x)dx.
b b a a
10
由于求积公式是插值型的， 即
它对于
n
是精确的， q( x) Hn

b
a
P( x) n 1 ( x) ( x)dx 0.

b
a
f ( x) ( x)dx,
求积公式为
n
f ( x ) ( x )dx
A
k 0
k
f ( xk ),
. x) Ak (k 0,1 , , n) 为不依赖于 f (的求积系数 为求积节点， xk (k 0, 1 , , n) 适当选取 使其具有最高 次代数精度
xk 及Ak
2 n 1
故成立.
n 1
b 对于 用 除 ， 充分性. P( x x) f (x ) H ,) ) (x )(x dx 0.( f ( x) n 1 a 记商为 P ( x ), 余式为 q ( x), 即 f ( x) P( x) ,( x) q( x)
n 1
2
定理 n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 不超过2n+1. 证：令g(x)=(x-x0)2…(x-xn)2
I (g)
n

b
a
( x) g ( x)dx 0
I n Ak g ( xk ) 0( g ( xk ) 0)
k 0
对2n 2次多项式不精确成立。
3
b m m 这样，高斯公式是 A x x k k a ( x)dx,

k 0 1
x f ( x)dx 0.389111 f (0.821162)
0
0.277556 f (0.289949).
由于非线性方程组较复杂， 故一般不通过解方程 求
通常
就很难求解 . n2
， xk 及Ak ( k 0,1,, n)
与任何次数不超过 n 的多项式
带权 P( x)
正交， ( x)
即

证明
b
a
P( x) n 1 ( x) ( x)dx 0.
必要性.
设 P( x) H n , 则 P( x) n1 ( x) H 2 n1 ,
9
因此，如果
x0 , x1 , , xn
是高斯点，则求积公式对于 即有
; ;
.
6
由此解出
x0 x1
5 21
,
x0 x1
10 9
,
从而
7

1
0
x f ( x)dx A0 f ( x0 ) A f ( x1 ). 1
x0 0.821162, A0 0.389111,
n
x1 0.289949; A 0.277556. 1
m 0,1, ,2n 1.