大学物理第6章-真空中的静电场-课后习题及答案
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若把半径为 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为 的半径为 的带电圆盘，由场强叠加原理知， 点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“无限大”带电平面在 点产生的场强大小为
，方向沿 轴正方向
半径为 、电荷面密度 的圆盘在 点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）
解：电场具有球对称分布，以 为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理 得
当 时， ，所以
当 时， ，所以
当 时， ，所以
11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为 和 （ ），若大球面的面电荷密度为 ，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。
解:（1）电场具有球对称分布，以 为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理 得
（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 的立方体，使 处于边长 的立方体中心，则通过边长 的正方形各面的电通量
对于边长 的正方形，如果它不包含 所在的顶点，则 ，如果它包含 所在顶点，则 。
9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 和 ，试求空间各处场强。
解：如图所示，电荷面密度为 的平面产生的场强大小为
，方向沿 轴负方向
故 点的场强大小为
方向沿 轴正方向。
8.(1)点电荷 位于一边长为 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?
解：（1）由高斯定理 求解。立方体六个面，当 在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以通过各面电通量为
当 时， ， ，所以
（2）当 时， ，所以
当 时， ，所以
负号表示场强方向沿径向指向球心。
12. 一厚度为 的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为 ，求板内外的场强。
解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为 ，底面圆的面积为 。由高斯定理 得
第6章真空中的静电场习题及答案
1.电荷为 和 的两个点电荷分别置于 m和 m处。一试验电荷置于 轴上何处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 位于点电荷 的右侧，它受到的合力才可能为 ，所以
故
2.电量都是 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
当 时（平板内部）， ，所以
当 （平板外部）， ，所以
13. 半径为 的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为 ，求其场强分布。
解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为 ，底面圆半径为 ，应用高斯定理求解。
(1)当 时， ，所以
(2)当 时， ，所以
14.一半径为 的均匀带电圆盘，电荷面密度为 ，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心 点的电势。
解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取 ， 在 点产生的场强大小为
，方向沿 轴负方向。
故 点场强大小为
方向沿 轴负方向。
6. 一半径为 的均匀带电半球面，其电荷面密度为 ，求球心处电场强度的大小。
解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。
在半球面上取宽度为 的细圆环，其带电量 ， 在 点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
，方向垂直于该平面指向外侧
电荷面密度为 的平面产生的场强大小为
，方向垂直于该平面指向外侧
由ຫໍສະໝຸດ Baidu强叠加原理得
两面之间， ，方向垂直于平面向右
面左侧， ，方向垂直于平面向左
面右侧， ，方向垂直于平面向右
10.如图所示，一球壳体的内外半径分别为 和 ，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为 （ ）。试求各区域的电场强度分布。
解：取半径为 、 的细圆环 ，则 在 点产生的电势为
圆盘中心 点的电势为
15. 真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为 。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是 和 。取两环的轴线为 轴，坐标原点O离两环中心的距离均为 ，如图所示。求 轴上任一点的电势。设无穷远处为电势零点。
解：在右边带电圆环上取 ，它在 轴上任一点 产生的的电势为
根据电荷分布的对称性知，
式中： 为 到场点的连线与 轴负向的夹角。
下面求直线段受到的电场力。在直线段上取 ， 受到的电场力大小为
方向沿 轴正方向。
直线段受到的电场力大小为
方向沿 轴正方向。
4. 一个半径为 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 。求：
（1）圆心处 点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处 点场强。
解：(1) 以 处点电荷为研究对象，由力平衡知， 为负电荷，所以
故
(2)与三角形边长无关。
3.如图所示，半径为 、电荷线密度为 的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 、电荷线密度为 的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取 ， 在带电圆环轴线上 处产生的场强大小为
，方向沿 轴负方向
利用几何关系， ， 统一积分变量，得
因为所有的细圆环在在 点产生的场强方向均沿为 轴负方向，所以球心处电场强度的大小为
方向沿 轴负方向。
7.一“无限大”平面，中部有一半径为 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为 ，如图所示。试求通过小孔中心 并与平面垂直的直线上各点的场强。
解：应用补偿法和场强叠加原理求解。
解：（1）在半圆环上取 ，它在 点产生场强大小为
，方向沿半径向外
根据电荷分布的对称性知，
故 ，方向沿 轴正向。
（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。
5．如图所示，真空中一长为 的均匀带电细直杆，总电量为 ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为 的 点的电场强度。
右边带电圆环在 产生的的电势为
同理，左边带电圆环在P产生的电势为
由电势叠加原理知， 的电势为
16. 真空中一半径为 的球形区域内均匀分布着体电荷密度为 的正电荷，该区域内 点离球心的距离为 ， 点离球心的距离为 。求 、 两点间的电势差
“无限大”带电平面在 点产生的场强大小为
，方向沿 轴正方向
半径为 、电荷面密度 的圆盘在 点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）
解：电场具有球对称分布，以 为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理 得
当 时， ，所以
当 时， ，所以
当 时， ，所以
11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为 和 （ ），若大球面的面电荷密度为 ，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。
解:（1）电场具有球对称分布，以 为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理 得
（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 的立方体，使 处于边长 的立方体中心，则通过边长 的正方形各面的电通量
对于边长 的正方形，如果它不包含 所在的顶点，则 ，如果它包含 所在顶点，则 。
9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 和 ，试求空间各处场强。
解：如图所示，电荷面密度为 的平面产生的场强大小为
，方向沿 轴负方向
故 点的场强大小为
方向沿 轴正方向。
8.(1)点电荷 位于一边长为 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?
解：（1）由高斯定理 求解。立方体六个面，当 在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以通过各面电通量为
当 时， ， ，所以
（2）当 时， ，所以
当 时， ，所以
负号表示场强方向沿径向指向球心。
12. 一厚度为 的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为 ，求板内外的场强。
解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为 ，底面圆的面积为 。由高斯定理 得
第6章真空中的静电场习题及答案
1.电荷为 和 的两个点电荷分别置于 m和 m处。一试验电荷置于 轴上何处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 位于点电荷 的右侧，它受到的合力才可能为 ，所以
故
2.电量都是 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
当 时（平板内部）， ，所以
当 （平板外部）， ，所以
13. 半径为 的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为 ，求其场强分布。
解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为 ，底面圆半径为 ，应用高斯定理求解。
(1)当 时， ，所以
(2)当 时， ，所以
14.一半径为 的均匀带电圆盘，电荷面密度为 ，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心 点的电势。
解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取 ， 在 点产生的场强大小为
，方向沿 轴负方向。
故 点场强大小为
方向沿 轴负方向。
6. 一半径为 的均匀带电半球面，其电荷面密度为 ，求球心处电场强度的大小。
解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。
在半球面上取宽度为 的细圆环，其带电量 ， 在 点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
，方向垂直于该平面指向外侧
电荷面密度为 的平面产生的场强大小为
，方向垂直于该平面指向外侧
由ຫໍສະໝຸດ Baidu强叠加原理得
两面之间， ，方向垂直于平面向右
面左侧， ，方向垂直于平面向左
面右侧， ，方向垂直于平面向右
10.如图所示，一球壳体的内外半径分别为 和 ，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为 （ ）。试求各区域的电场强度分布。
解：取半径为 、 的细圆环 ，则 在 点产生的电势为
圆盘中心 点的电势为
15. 真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为 。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是 和 。取两环的轴线为 轴，坐标原点O离两环中心的距离均为 ，如图所示。求 轴上任一点的电势。设无穷远处为电势零点。
解：在右边带电圆环上取 ，它在 轴上任一点 产生的的电势为
根据电荷分布的对称性知，
式中： 为 到场点的连线与 轴负向的夹角。
下面求直线段受到的电场力。在直线段上取 ， 受到的电场力大小为
方向沿 轴正方向。
直线段受到的电场力大小为
方向沿 轴正方向。
4. 一个半径为 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 。求：
（1）圆心处 点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处 点场强。
解：(1) 以 处点电荷为研究对象，由力平衡知， 为负电荷，所以
故
(2)与三角形边长无关。
3.如图所示，半径为 、电荷线密度为 的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 、电荷线密度为 的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取 ， 在带电圆环轴线上 处产生的场强大小为
，方向沿 轴负方向
利用几何关系， ， 统一积分变量，得
因为所有的细圆环在在 点产生的场强方向均沿为 轴负方向，所以球心处电场强度的大小为
方向沿 轴负方向。
7.一“无限大”平面，中部有一半径为 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为 ，如图所示。试求通过小孔中心 并与平面垂直的直线上各点的场强。
解：应用补偿法和场强叠加原理求解。
解：（1）在半圆环上取 ，它在 点产生场强大小为
，方向沿半径向外
根据电荷分布的对称性知，
故 ，方向沿 轴正向。
（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。
5．如图所示，真空中一长为 的均匀带电细直杆，总电量为 ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为 的 点的电场强度。
右边带电圆环在 产生的的电势为
同理，左边带电圆环在P产生的电势为
由电势叠加原理知， 的电势为
16. 真空中一半径为 的球形区域内均匀分布着体电荷密度为 的正电荷，该区域内 点离球心的距离为 ， 点离球心的距离为 。求 、 两点间的电势差